parkiet

Parkietaze
korelacja: sztuka, historia, matematyka,
H
olenderski malarz i grafik Escher Maurits Cornelis
tworzył dzieła, którymi interesowali się matematycy.
Były to dzieła inspirowane matematyką, w których formy
przestrzenne były ukazywane w sposób sprzeczny z doświadczeniem.
Jego grafiki były prezentowane na Międzynarodowym Kongresie Matematycznym w Amsterdamie w 1964r.
Celem projektu jest zbadanie różnych możliwości parkietowania płaszczyzny, czyli wypełniania jej wielokątami lub innymi rodzajami figur.
Parkiety
• Co to jest parkiet, posadzka, mozaika?
Gdzie się z nimi spotykamy? Od jak dawna
były stosowane? Jakie są ich najsłynniejsze
przykłady?
• Zbierz zdjęcia lub szkice przykładowych
parkietów i mozaik. Co je różni? W czym są
podobne? Opisz ich własności.
• Zbadaj różne kształty kostek chodnikowych. jakie chodniki można z nich układać? Zaprojektuj własny kształt takiej
kostki (zestawu kostek).
• Co łączy chodniki, parkiety, mozaiki i puzzle? Co je różni?
• Czy podobne zjawiska występują w naturze?
"Day and Night" - February 1938
ESCHER MAURITS
Wielokąty foremne
• Co to są wielokąty foremne? Jakie posiadają własności?
• Wykonaj konstrukcję w Cabri II, za pomocą której uzyskasz
wielokąty foremne.
Parkietowanie wielokątami foremnymi. Rodzaje parkietazy
• Wytnij z papieru modele różnych wielokątów foremnych o tej
samej długości boku. Spróbuj układać z nich posadzki. Których możemy użyć, jeśli posadzka może mieć tylko jeden typ
kafelka? A jeśli można, użyć dwóch lub trzech różnych kształtów?
• Czy używając dwóch rodzajów wielokątów foremnych możemy
dostać tylko jeden parkiet? A używając trzech?
• Czy w tych parkietażach wszystkie punkty styku kafli (nazwijmy je wierzchołkami parkietażu) są identyczne? Czym mogą się różnić? Zaprojektuj odpowiednie parkiety.
Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas
• Parkietaże uzyskane z jednego wielokąta foremnego nazywamy foremnymi (lub platońskimi), a uzyskane z różnych wielokątów foremnych, ale w taki sposób, że
wszystkie wierzchołki wyglądają identycznie - półforemnymi (lub archimedesowymi). Czy domyślasz się, skąd
wzięty się takie nazwy? Parkietaże, w których wszystkie
płytki są foremne, ale wierzchołki nie są identyczne, nazywamy foremnościennymi (lub Johnsona). Podaj przykłady różnych takich parkietaży. Czy istnieją parkietaże
jeszcze innych typów?
• Ile najmniej, a ile najwięcej płytek może stykać się w
wierzchołku każdego rodzaju parkietażu? Czy
wszystkie liczby pośrednie też można uzyskać? Podaj
odpowiednie przykłady parkietaży.
• Ile parkietaży platońskich udało Ci się uzyskać. Powinny być tylko 3. Czy potrafisz uzasadnić, że innych
nie ma?
• Czy w jednym wierzchołku parkietażu archimedesowego mogą stykać się:
a) cztery trójkąty i sześciokąt?
b) kwadrat i dwa sześciokąty?
c) trzy trójkąty i dwa kwadraty?
d) dwa trójkąty, kwadrat i dwunastokąt?
• Czy potrafisz uzasadnić swoje odpowiedzi,
nie posługując się modelami wielokątów?
• Pierwszy z wymienionych wyżej układów możemy oznaczyć jako [3, 3, 3, 3, 6]. Parkietaż
tego typu jest tylko jeden.
Trzeci z przykładów możemy oznaczyć [3, 3,
3, 4, 4], ale można go zrealizować także w
wersji [3, 3, 4, 3, 4]. Zaprojektuj te parkietaże.
• Można obliczyć, że jest 9 różnych parkietaży
archimedesowych. Spróbuj zaprojektować
ich jak najwięcej, być może uda Ci się znaleźć wszystkie.
• Mniej regularnych parkietaży foremnościennych jest nieskończenie wiele. Zaprezentuj
kilka ciekawych przykładów.
"Bond of Union" - April 1956
ESCHER MAURITS
"Belvedere" - May 1958
ESCHER MAURITS
"Relativity" - July 1953 - ESCHER MAURITS
Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas
Parkietowanie niewielokatami
• Przyjrzyj się poniższym rysunkom. Pokazują one, w jaki
sposób można zaprojektować własną „klepkę podłogową”, zaczynając np. od prostokąta.
"High and low"
ESCHER MAURITS
• Zaprojektuj w podobny sposób kilka własnych „klepek" i sprawdź, czy parkietują one płaszczyznę.
Zacznij od jednego typu przekształcenia boków, a potem wprowadź ich kilka jednocześnie.
Oto przykłady różnego rodzaju wypełniania powierzchni płaskiej wykonane przez ESCHER MAURITS’a, który stosował w swojej twórczości elementy geometrii.
Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas
Parkietowanie przestrzeni
• Czy zagadnienie parkietowania można
przenieść do przestrzeni trójwymiarowej? Ustal potrzebną terminologię.
• Gdzie na co dzień spotykamy takie
„parkietaże"? Jakich wielościanów się
do tego używa.?
• Zbadaj, jakie wielościany foremne
(platońskie) „parkietują" przestrzeń. A
jakie graniastostupy? Spróbuj znaleźć
inne przykłady wielościanów wypukłych
„parkietujących" przestrzeń.
• Zaprojektuj własny model bryły „parkietującej" przestrzeń.
Forma prezentacji
Wykonanie albumu lub serii plakatów z
systematycznym przeglądem różnych
typów parkietaży oraz projektami płytek
do parkietowania płaszczyzny.
"Mosaic"
ESCHER MAURITS
Udane projekty dla gimnazjum nie tylko z matematyki, Agnieszka Wojtas