rezonator cylindryczny

napisał Michał Wierzbicki
Rezonatory
Rezonatorem jest odcinek falowodu, zamknięty z obu stron płaskimi powierzchniami
przewodzącymi. W rezonatorze mamy do czynienia ze stojącą falą elektromagnetyczną.
W technice wysokich częstotliwości pojedynczy rezonator zastępuje cały obwód rezonansowy RLC. Zmianę częstości drgań rezonatora (przestrajanie) otrzymujemy za pomocą zmiany jego długości.
Własności modów falowodowych
niezależne od kształtu przekroju poprzecznego falowodu
W falowodach decydujące znaczenie dla opisu fali elektromagnetycznej rozchodzącej
się wzdłuż osi z falowodu ma składowa podłużna pola:
a) dla modów TM składowa podłużna pola elektrycznego:
Ez (x, y, z, t) = ψ(x, y) ei(kz−ωt)
b) dla modów TE składowa podłużna pola magnetycznego:
Bz (x, y, z, t) = ψ(x, y) ei(kz−ωt)
gdzie ψ(x, y) jest profilem modu w przekroju poprzecznym falowodu. Funkcja ψ(x, y)
spełnia równanie Helmholtza:
∆⊥ ψ + α 2 ψ = 0
(1)
gdzie ∆⊥ oznacza laplasjan w płaszczyźnie przekroju poprzecznego falowodu1 , a stała
α wynosi
ω2
− k2
c2
Na powierzchni falowodu musi być spełniony warunek brzegowy:
α2 =
a) dla modów TM:
ψ=0
1
W układzie kartezjańskim: ∆⊥ =
∂2
∂2
+
.
∂x 2 ∂y2
1
(2)
b) dla modów TE:
∂ψ
=0
∂n
gdzie n jest kierunkiem prostopadłym do powierzchni falowodu.
Równanie Helmholtza (1) wraz z warunkiem brzegowym a) lub b) ma rozwiązanie tylko
dla dyskretnych wartości parametru α. Wartości parametru α są numerowane podwójnym indeksem, który oznacza także numery modów. Składowe poprzeczne pola elektrycznego modów TM można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
ik
E~⊥ = 2 ∇⊥ Ez
α
Składowe poprzeczne pola magnetycznego modów TE wynoszą:
(3)
~⊥ = ik ∇⊥ Bz
(4)
B
α2
Związek pomiędzy polem elektrycznym i magnetycznym modów jest następujący:
1
B~⊥ = e~z × E~⊥
v
lub
E~⊥ = −v ~ez × B~⊥
(5)
a) dla modów TM v jest prędkością grupową2 :
kc2
v = vg =
ω
b) dla modów TE v jest prędkością fazową:
v = vf =
ω
k
Mody TM w rezonatorach
Rezonator tworzymy z falowodu ograniczając go płaszczyznami z = 0 i z = a. Mod
rozchodzący się w falowodzie będzie odbijał się od tych płaszczyzn. Powstanie wskutek
tego fala stojąca. Składowa podłużna pola elektrycznego modu TM będzie miała wówczas postać superpozycji dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach wzdłuz osi z:
Ez (x, y, z, t) = ψ(x, y) e−iωt (Aeikz + Be−ikz )
(6)
Dalej czynnik e−iωt pomijamy. Na powierzchniach granicznych z = 0 i z = a muszą
znikać składowe pola elektrycznego styczne do tych powierzchni, czyli składowe poprzeczne E x oraz E y . Obliczamy je na podstawie wzoru (3), uzwględniając fakt że fali
biegnącej w kierunku przeciwnym do osi z odpowiada wartość −k.
2
Prędkości fazowa i grupowa w falowodzie spełniają relację: v f · v g = c2
2
1
E~⊥ = 2 ∇⊥ ψ (ikAeikz − ikBe−ikz )
(7)
α
~
~
Warunek E(0)
= 0 oznacza równość A = B. Warunek E(a)
= 0 oznacza równość dla
fali stojącej: sin ka = 0. Składowa podłużna modu TM w rezonatorze wynosi więc3 :
Ez = ψ(x, y) cos kz
(8)
gdzie k = pπ/a. Liczba p = 0, 1, 2, . . . jest dodatkowym trzecim numerem dla modów
TM w rezonatorze. Na podstawie wzoru (7) składowe poprzeczne pola elektrycznego
modu TM wynoszą
−k
E~⊥ = 2 ∇⊥ ψ sin kz
(9)
α
Składowe poprzeczne pola magnetycznego wynikają ze wzoru (5). Należy w nim uwzględnić zmianę znaku prędkości grupowej dla fali biegnącej w lewo, biorąc E~⊥ ze wzoru (7).
~⊥ = iω ~ez × ∇⊥ ψ cos kz
B
α 2 c2
Częstość drgań modu obliczamy na podstawie relacji dyspersji (2):
√
ω = c k 2 + α2
(10)
(11)
Dla modu TM o najniższej częstości p = 0, stąd częstość drgań modu ω = cα nie zależy
od długości a rezonatora4 . Przyjmując k = 0 widzimy, że struktura pola elektromagnetycznego takiego modu jest prosta, gdyż zgodnie ze wzorem (9) nie ma on składowych
poprzecznych pola elektrycznego.
Mody TE w rezonatorach
Wyrażenie na składową podłużną pola magnetycznego modu TE w rezonatorze jest analogiczne do wzoru (6)
Bz (x, y, z, t) = ψ(x, y) e−iωt (Aeikz + Be−ikz )
(12)
Na powierzchniach granicznych z = 0 i z = a musi znikać składowa pola magnetycznego
prostopadła do powierzchni, czyli składowa Bz . Z warunku Bz (0) = 0 otrzymujemy B =
−A, z warunku Bz (a) = 0 otrzymujemy warunek na falę stojącą: sin ka = 0. Składowa
podłużna pola magnetycznego modu TE w rezonatorze ma więc postać5 :
Możemy przyjąć A = B = 1/2, ponieważ ψ zawiera nieoznaczoną amplitudę modu.
Co oznacza, że rezonatora nie da się przestroić.
5
Przyjmujemy A = −B = −i/2.
3
4
3
Bz = ψ(x, y) sin kz
(13)
gdzie k = pπ/a, liczba p = 1, 2, . . . jest trzecim dodatkowym numerem modu TE w
rezonatorze, w stosunku do nieskończonego falowodu6 . Składowe poprzeczne pola magnetycznego modów TE w rezonatorze obliczamy za pomocą wzoru (5), uwzględniając
zmianę znaku k dla fali biegnącej w lewo:
k
B~⊥ = 2 ∇⊥ ψ cos kz
(14)
α
Składowe poprzeczne pola elektrycznego modów TM w rezonatorze obliczamy na podstawie wzorów (4) i (5)
iω
−iω
E~⊥ = − 2 ~ez × ∇⊥ Bz = 2 ~ez × ∇⊥ ψ sin kz
(15)
α
α
Częstości drgań modów TE w rezonatorze dane są wzorem (11). Ponieważ dla modów
TE liczba p zaczyna się od 1, więc najniższa częstość modu TE zależy od długości a
rezonatora.
Mody TM w falowodzie cylindrycznym
Falowód cylindryczny ma przekrój poprzeczny w kształcie okręgu o promieniu R, Poprzez rozdzielenie zmiennych dla laplasjanu w równaniu (1) zapisanym w układzie cylindrycznym, dochodzi się do rozwiązania na profil modu w następującej postaci:
ψ(ρ, ϕ) = ψ0 Jm (αρ) eimϕ
(16)
gdzie Jm (x) jest funkcją Bessela pierwszego rodzaju, m = 0, 1, 2, . . ., a ψ0 jest amplitudą
modu. Warunek brzegowy dla modów TM oznacza, że ψ(R, ϕ) = 0. Można go spełnić
zakładając, że funkcja Bessela przyjmuje wartość zero dla ρ = R. Parametr α może więc
przyjmować następujące wartości
xn,m
(17)
R
gdzie xn,m oznacza n-te miejsce zerowe m-tej funkcji Bessela Jm (x) = 0. Poniższa tabelka
podaje kilka wartości zer funkcji Bessela7
αn,m =
6
7
Dla modów TE liczba p zaczyna się od 1.
W Mathematice obliczamy je za pomocą funkcji BesselJZero[m,n]
4
m=0
m=1
m=2
m=3
n=1
2,405
3,832
5,136
6,380
n=2 n=3
5,520 8,653
7,016 10,174
8,417 11,620
9,761 13,015
Składowe poprzeczne pola elektrycznego w falowodzie cylindrycznym obliczamy na
podstawie wzorów (3), stosując wyrażenie na gradient w układzie biegunowym:
Eρ =
ik ∂ψ
,
α2 ∂ρ
Eϕ =
ik 1 ∂ψ
α2 ρ ∂ϕ
(18)
Składowe poprzeczne pola magnetycznego obliczamy wykonując we wzorze (5) iloczyn
wektorowy we współrzędnych cylindrycznych.
Bϕ =
ω
Eρ ,
kc2
Bρ = −
ω
Eϕ
kc2
(19)
Mody TE w falowodzie cylindrycznym
Profil ψ(x, y) modu TE dany jest wzorem (16). Warunek brzegowy wymaga, aby na powierzchni cylindra znikała pochodna ψ po ρ. Można go spełnić, zakładając że pochodna
funkcji Bessela przyjmuje wartość zero dla ρ = R. Parametr α może więc przyjmować
następujące wartości
yn,m
(20)
R
gdzie yn,m oznacza n-te miejsce zerowe pochodnej m-tej funkcji Bessela Jm0 (y) = 0. Poniższa tabelka przestawia kilka miejsc zerowych pochodnej funkcji Bessela8
αn,m =
m=0
m=1
m=2
m=3
n=1
3,832
1,841
3,054
4,201
n=2 n=3
7,016 10,174
5,331 8,536
6,706 9,969
8,015 11,346
Składowe poprzeczne pola magnetycznego w falowodzie cylindrycznym obliczamy na
podstawie wzorów (4), stosując wyrażenie na gradient w układzie biegunowym:
Bρ =
ik ∂ψ
,
α2 ∂ρ
Bϕ =
8
ik 1 ∂ψ
α2 ρ ∂ϕ
(21)
Można je było obliczyć w Mathematice za pomocą funkcji BesselJPrimeZeros. W ramach „ulepszenia” została ona usunięta z nowej wersji.
5
Składowe poprzeczne pola elektrycznego obliczamy wykonując iloczyn wektorowy we
wzorze (5) w układzie cylindrycznym
Eϕ =
ω
Bρ ,
k
Eρ = −
ω
Bϕ
k
(22)
Mody TM w rezonatorze cylindrycznym
Własności modów TM w rezonatorze cylindrycznym o długości d i promieniu podstawy
R łatwo obliczyć na podstawie wzorów otrzymanych w powyższych paragrafach. Drgania
poprzeczne magnetycznie numerujemy trzema liczbami: TMm,n,p , gdzie m i p liczymy
od zera, a n liczymy od 1. Zgodnie ze wzorami (11) i (17) częstość drgań modu TMm,n,p
wynosi
r
xm,n 2 pπ 2
ωm,n,p = c
+
(23)
R
a
W prowadzając bezwymiarowy stosunek ξ = 2R/a średnicy rezonatora do jego długości,
powyższy wzór można zapisać jako:
c q 2
ωm,n,p = · xm,n
+ (pπξ/2)2
(24)
R
Najniższą częstośc rezonansową ma mod TM0,1,0 . Wynosi ona
cx0,1
1
≈ 72 GHz ·
(25)
R
R
gdzie x0,1 ≈ 2,405 jest pierwszym zerem funkcji Bessela J0 (x), a promień falowodu jest
mierzony w metrach9 . Zgodnie ze wzorami (8) i (16) składowa podłużna pola elektrycznego modu TMm,n,p wynosi:
ω0,1,0 =
Ez (ρ, ϕ, z) = ψ(ρ, ϕ) cos kz
(26)
ψ(ρ, ϕ) = ψ0 Jm (αρ) eimϕ
(27)
gdzie profil modu wynosi
gdzie α = xm,n /R, k = pπ/a. Składowe poprzeczne pola elektrycznego obliczamy na
podstawie wzoru (9) wykonując gradient w układzie biegunowym:
−k ∂ψ
−k 1 ∂ψ
sin kz , Eϕ = 2
sin kz
(28)
2
α ∂ρ
α ρ ∂ϕ
Składowe poprzeczne pola magnetycznego obliczamy na podstawie wzoru (9) wykonując gradient i iloczyn wektorowy w układzie biegunowym:
Eρ =
9
Aby otrzymać częstotliwość f drgań pola elektromagnetycznego, należy wzór podzielić przez 2π.
6
iω ∂ψ
−iω 1 ∂ψ
cos kz , Bρ = 2 2
cos kz
(29)
2
2
α c ∂ρ
α c ρ ∂ϕ
Dla modu o najniższej częstości TM0,1,0 liczba m = 0. Ze wzoru (27) wynika, że profil
modu nie zależy od kąta ϕ. Ze wzorów (29) wynika, że Bρ = 0. Ponieważ p = 0 i k = 0
więc ze wzorów (28) wynika, że pole elektryczne nie ma składowych poprzecznych.
Pole magnetyczne wiruje więc wokół osi rezonatora, a pole elektryczne jest skierowane
wzdłuż osi rezonatora.
Bϕ =
Rysunek 1: Mod TM0,1,0 : pole magnetyczne (linie niebieskie) w przekroju poprzecznym
rezonatora i pole elektryczne (linie czerwone) w przekroju podłużnym rezonatora.
Mody TE w rezonatorze cylindrycznym
Drgania poprzeczne elektrycznie numerujemy trzema liczbami: TEm,n,p , gdzie m liczymy
od zera, a n i p liczymy od 1. Zgodnie ze wzorami (11) i (20) częstość drgań modu TEm,n,p
wynosi
r
ym,n 2 pπ 2
ωm,n,p = c
+
(30)
R
a
W prowadzając bezwymiarowy stosunek ξ = 2R/a średnicy rezonatora do jego długości,
powyższy wzór można zapisać jako:
q
c
2 + (pπξ/2)2
(31)
ym,n
ωm,n,p =
R
Z tabelki zer pochodnych funkcji Bessela wynika, że najniższą częstość ma mod TE1,1,1 ,
dla którego y1,1 ≈ 1,841. Wynosi ona10 :
q
p
c
1
2
ω1,1,1 =
+ (πξ/2)2 ≈ 55,2 1 + 0,728 ξ 2 GHz ·
(32)
y1,1
R
R [m]
10
Aby otrzymać częstotliwość f należy wzór podzielić przez 2π.
7
Jeśli spełniony będzie warunek:
2
2
y1,1
+ (πξ/2)2 < x0,1
(33)
to częstość modu TE1,1,1 będzie mniejsza od częstości TM0,1,0 . Jest to korzystne z przyczyn praktycznych: rezonator można wzbudzić na pojedynczej częstości podstawowej
i jest on przestrajalny. Warunek (33) będzie spełniony dla ξ < 0,985 ≈ 1, czyli gdy
rezonator będzie dłuższy niż szerszy.
Zgodnie ze wzorami (13) i (16) składowa podłużna pola magnetycznego modu TEm,n,p
wynosi:
Bz (ρ, ϕ, z) = ψ(ρ, ϕ), cos kz
(34)
ψ(ρ, ϕ) = ψ0 Jm (αρ) eimϕ
(35)
gdzie profil modu wynosi
gdzie α = ym,n /R, k = pπ/a. Składowe poprzeczne pola magnetycznego obliczamy na
podstawie wzoru (14) wykonując gradient w układzie biegunowym:
Bρ =
k ∂ψ
cos kz ,
α2 ∂ρ
Bϕ =
k 1 ∂ψ
cos kz
α2 ρ ∂ϕ
(36)
Składowe poprzeczne pola elektrycznego obliczamy na podstawie wzoru (15) wykonując gradient i iloczyn wektorowy w układzie biegunowym:
Eϕ =
−iω ∂ψ
sin kz ,
α2 ∂ρ
Eρ =
iω 1 ∂ψ
sin kz
α2 ρ ∂ϕ
(37)
Rysunek 2: Mod TE1,1,1 : pole magnetyczne (linie niebieskie) w przekroju poprzecznym
i podłużnym rezonatora oraz pole elektryczne (linie czerwone) w przekroju podłużnym
rezonatora.
Z rysunku 2 wynika, że mod TE1,1,1 jest dwukrotnie zdegenerowany, to znaczy istnieje
rozkład pola elektromagnetycznego obrócony o 90◦ , mający tą samą częstość drgań. Jest
8
to skutkiem symetrii obrotowej rezonatora walcowego. Formalnie we wzorze na profil
modu można przyjąć ujemne wartości liczby m, co nie wpływa na częstość drgań, gdyż
dla funkcji Bessela zachodzi zależność: J−m (x) = (−1)m Jm (x).
9