zadania wybrane z rachunku różniczkowego 2

Zadanie 1
Dla jakich wartości parametru p  R spełniona jest nierówność
. Wskazówka: pamiętać o pochodnej funkcji
Odp.
wewnętrznej
Zadanie 2
Dla jakich wartości parametru m prawdziwa jest nierówność
Odp.
Zadanie 3
Niech f ( x)  lim 1 | cos x |
n
n


a) Wyznaczyć f (A) , gdzie A    2k , k  C 
2

1
b) Wyznaczyć f 0
Odp. a)
b)
Zadanie 4
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
Odp. Minimum lokalne w punkcie
Zadanie 5
 | x  3 | 1
Dana jest funkcja f ( x )  
 arctgx
dla x  0
.
dla x  0
Wyznaczyć f (A) , gdy A   1,1 ,
Odp. f(A)=
Zadanie 6
Wyznaczyć prostą styczną do wykresu funkcji f ( x)  x  2 x w punkcie o odciętej xo  1 .
Odp.
Zadanie 7
Wyznacz przedziały, w których funkcja
rośnie coraz szybciej.
Odp. Funkcja rośnie coraz szybciej w przedziale
oraz w przedziale
Zadanie 8
Dla jakich x  R zachodzi nierówność
x
 ln x  1  0 ?
x 1
Odp. Dla wszystkich x z dziedziny, tj. dla
Wskazówka: Wyznaczyć pochodną
i pokazać, że największa wartość tej funkcji wynosi 0.
funkcji
Zadanie 9
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
Odp. Max lok. dla
oraz min lok. dla
Zadanie 10
Dla jakiej wartości parametru
funkcja
posiada minimum lokalne w punkcie o odciętej
Odp. Dla
Zadanie 11 a) Wyznacz ekstrema lokalne i zbiór wartości funkcji (naszkicuj przybliżony
wykres funkcji). Zbadaj ciągłość funkcji.
1
 1 3
2
 3 x  2 x  3x  3 dla x  0

f ( x)  
 ex
dla x  0


Odp. Funkcja przyjmuje max lok. dla x=-3 oraz min lok. dla x=-1.
Zbiór wartości funkcji:
Funkcja nie jest ciągła w punkcie x=0 (czyli nie jest funkcją ciągłą).
b)Dla jakiej wartości parametru
funkcja
posiada ekstremum lokalne w punkcie x=0.
Odp. dla
Zadanie 12
Wyznacz prostą styczną do wykresu funkcji
.
w punkcie o odciętej
Odp.
Zadanie 13
Wyznaczyć przedziały, w których funkcja f rośnie coraz
Dana jest funkcja
szybciej. Odp.
.
Zadanie 14
. Wyznacz styczną do wykresu funkcji w punkcie przegięcia
Dana jest funkcja
o dodatniej odciętej. Odp.
.
Zadanie 15
Określ tempo zmian wartości funkcji
szybciej.
w przedziale (1,2). Odp. maleje coraz
Zadanie 16
Wyznacz przedział, w którym funkcja
maleje coraz wolniej. Odp. (-1,0).
Zadanie 17
Wyznacz ekstrema lokalne oraz wszystkie asymptoty funkcji
Odp. x = - 1 min, x = 2 min; asymptota pozioma w
o równaniu y=0.
Zadanie 18
Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji
w przedziale
przedziale
. Odp. Asymptota pozioma w
funkcja rośnie coraz szybciej.
oraz określ tempo zmian tej funkcji
iw
o równaniu y=0. W