c) −3 1 1 1 −1 0 1 0 −1 - E-SGH

Seria 6.
1. Zbadać okresloność macierzy


−3
1
1
−2
3
−2
3
0 ,
a)
, b)
c)  1 −1
3 −5
3 −4
1
0 −1




1 0 −2
3 3 1



0 3
1 , e) 3 3 1  .
d)
−2 1
2
1 1 0
2. Zbadać określoność formy kwadratowej f : R3 −→ R, gdzie
a) f (x) = −3x21 − x22 − x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 ,
b) f (x) = 2x21 + x22 + x23 + 2x1 x2 − 2x1 x3 ,
c) f (x) = −mx21 − mx22 + 2x23 − 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 , (tu w zależności
od parametru m ∈ R).
3. Narysować dziedzinę funkcji f , gdzie:
√
√
√
√
x2 +y 2 −1
a) f (x, y) = x− y, b) f (x, y) = ln(x+y) , c) f (x, y) = sin x − 1.
4. (egzamin 2007) Dana jest funkcja
−2xy ,
x2 + y 2
gdzie x, y ∈ R oraz (x, y) 6= (0, 0), a exp(t) = et .
f (x, y) = exp
a) Pokazać, że każdy punkt (x0 , y0 ) należący do dziedziny funkcji f i taki,
że |x0 | = |y0 | jest jej punktem stacjonarnym.
b) Znaleźć kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie (−2, 4).
c) Sprawdzić, że dla funkcji f (x, y) spełniona jest następująca równość:
3
− f (−2, 4) = 2fx0 (−2, 4) − fy0 (−2, 4).
5
5. Znależć największą i najmniejszą wartość funkcji f na zbiorze A:
a) (egzamin 2005)
f (x, y) = x2 + y 2 ,
A = {(x, y) ∈ R2 : (x + 4)2 + (y + 3)2 ≤ 25},
b) f (x, y) = 2x − y, A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 1 ∧ y ≥ 0},
c) f (x, y) = xy, A jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (−2, 0), (−2, −3).
6. (egzamin 2005) Dana jest funkcja f (x, y, z) = 2x2 − xy + z 3 , gdzie
(x, y, z) ∈ R3 .
a) Wyznaczyć pochodną kierunkową ∇h (x0 , y0 , z0 ), dla h = [1 − 1, 1]T .
b) W którym punkcie prostej L([1, 2, 1]T ) ta pochodna kierunkowa ma
najmniejszą wartość?
Odpowiedzi będą dopiero po długim weekendzie...