Emilia Gosińska Testowanie zmiany strukturalnej w

Transkrypt

B ank i Kredy t 46(6), 2015, 579-600
Testowanie zmiany strukturalnej w modelu VEC
Emilia Gosińska*
Nadesłany: 27 sierpnia 2015 r. Zaakceptowany: 15 października 2015 r.
Streszczenie
Wprowadzenie do przestrzeni kointegrującej zmiennej zero-jedynkowej charakteryzującej zmianę
strukturalną w okresie t jest równoważne przyjęciu, że w procesie generującym dane zmiana strukturalna nastąpiła w okresie t − 1. Jednocześnie, jeśli to zmiana strukturalna jest przyczyną wprowadzenia zmiennej zero-jedynkowej do przestrzeni kointegrującej, to odpowiednie zmienne zero-jedynkowe
muszą się znaleźć także poza przestrzenią kointegrującą.
Aby przetestować zmianę wyrazu wolnego w składowej deterministycznej, zastosowano statystykę
Walda. Wartości krytyczne i moc testu zostały wyznaczone symulacyjnie w zależności od rzędu kointegracji, liczby zmiennych endogenicznych, wielkości zmiany strukturalnej, momentu wystąpienia zmiany strukturalnej oraz rozkładu składników losowych (normalnego i t-Studenta). Moc testu zmiany wyrazu wolnego zależy głównie od wielkości zaburzenia oraz liczebności próby.
Model VECM ze zmianą wyrazu wolnego został wykorzystany do modelowania kursu walutowego złoty/euro. W systemie zidentyfikowano dwa wektory kointegrujące, z których jeden można interpretować jako długookresowe równanie kursu walutowego złoty/euro. Drugi wektor kointegrujący
jest równaniem krajowych, realnych, długookresowych stóp procentowych uwzględniających ryzyko.
W celu określenia momentu wystąpienia zaburzenia w składowej deterministycznej procesu generującego dane wykorzystano statystykę supWALD.
Słowa kluczowe: zmiana strukturalna, VECM, test Walda, testowanie występowania zmiany
strukturalnej, modelowanie kursu walutowego złoty/euro
JEL: C1, C12, C32
* Uniwersytet Łódzki, Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Katedra Modeli i Prognoz Ekonometrycznych;
e-mail: [email protected].
580
E . Go siń ska
1. Wstęp
Gospodarki podlegają transformacjom, które niejednokrotnie mają gwałtowny charakter. Jest to skutkiem rozwoju gospodarczego, ale również przeprowadzanych reform, polityki ekonomicznej oraz wydarzeń o charakterze zewnętrznym (np. wpływ kryzysu greckiego na gospodarki europejskie). Gospodarka Polski podlegała transformacjom, które w ciągu ostatnich 30 lat miały znaczenie fundamentalne.
Należy do nich, po pierwsze, zmiana ustroju, polegająca na przejściu od gospodarki centralnie planowanej do gospodarki rynkowej. Kolejną była zmiana reżimu kursu walutowego, a następną − przystąpienie do Unii Europejskiej. W ostatnim okresie zaburzenia struktury są utożsamiane ze skutkami kryzysu finansowego. Zmiany strukturalne są istotnym elementem rzeczywistości ekonomicznej, gdyż mają
wpływ na funkcjonowanie mechanizmów ekonomicznych, co powoduje konieczność ich uwzględnienia w modelach ekonometrycznych. Pojawienie się zaburzeń struktury sprawia, że standardowo stosowane metody weryfikacji hipotez nie dają satysfakcjonujących rezultatów i wymagają odpowiednich
modyfikacji. Ponadto nieuwzględnienie w modelu istotnej zmiany strukturalnej pociąga za sobą błąd
specyfikacji.
W przypadku modelowania zmiennych ekonomicznych generowanych przez niestacjonarne procesy stochastyczne wykorzystywany jest model VAR z restrykcją kointegracji − CVAR (Johansen 1995;
Welfe 2009). W modelach VAR zaburzenia struktury ujawniają się jako niezwykle silne szoki, które powodują, że składniki losowe nie pochodzą z rozkładów normalnych. Zignorowanie tego problemu ma
zatem poważne konsekwencje dla wnioskowania statystycznego. Proces generujący dane można przedstawić jako sumę składowej stochastycznej i deterministycznej (Lütkepohl 2005). Pojawienie się zaburzeń struktury może się wówczas objawiać odpowiednim uzmiennieniem parametrów w części deterministycznej, a końcowa postać modelu VEC ulega odpowiednim modyfikacjom.
W przypadku modelowania z uwzględnieniem zmian strukturalnych ważnym elementem wnioskowania statystycznego jest testowanie występowania zmiany strukturalnej. W wielowymiarowym modelu korekty błędem o standardowej postaci (Johansen 1995) testowanie występowania zmiany strukturalnej było rozważane przez kilku autorów (zob. porównanie metod u Perrona 2006). Z badań wynika,
że do testowania zmiany w wyrazie wolnym i trendzie w przypadku znanego momentu przełączenia
można wykorzystać statystykę LR (Johansen 1995). Z kolei w przypadku nieznanego momentu zaburzenia można zastosować statystykę LM oraz jej modyfikacje: Sup LM, Mean LM i Exp LM (Seo 1998).
Do testowania stabilności parametrów modelu wykorzystuje się wartości własne wyznaczone na podstawie estymacji rekursywnej (Hansen, Johansen 1999).
Jeśli proces generujący dane jest sumą składowej deterministycznej i stochastycznej (Lütkepohl
2005), to zmiana strukturalna może wystąpić w każdej z nich, co wymaga oddzielnego testowania. Jeśli
składowa deterministyczna procesu generującego dane zawiera wyraz wolny, wówczas zmiana strukturalna może być reprezentowana przez uzmiennienie wyrazu wolnego. Do testowania zmiany strukturalnej składowej deterministycznej w znanym okresie zaproponowano statystykę Walda, natomiast
w przypadku nieznanego momentu zaburzenia statystykę supWALD.
Cel pracy sformułowano następująco. Po pierwsze, wyprowadzono końcową postać modelu VEC
przy założeniu, że zmiana strukturalna następuje w składowej deterministycznej procesu generującego dane. Po drugie, opracowano statystykę służącą do testowania występowania zmiany strukturalnej
składowej deterministycznej procesu generującego dane. Po trzecie, zastosowano model VEC ze zmianą strukturalną składowej deterministycznej do modelowania kursu walutowego złoty/euro.
Testowanie zmiany strukturalnej...
581
2. Wektorowy model korekty błędem ze zmianą strukturalną w części
DGP y = [ y ... y ] T
ydeterministycznej
= [ y ... y ] T
t
1t
Mt
t
1t
Mt
yt = [ y1 t ... yMt ] T
yt = [ y1 t ... yMt ] T
T
ΠNiech
( L)y t y=t ξ=t [ y1 t ... yMt ] reprezentuje
Π( L)wektor
y t = ξt M zmiennych zintegrowanych w stopniu pierwszym.
JeśliΠwymiar
kointegrującej
wynosi R ∈ (0, M), to dla modelu VAR Π( L)y t = ξt , gdzie
( L)y t = ξprzestrzeni
t
T ξ
(
L
)
y
=
ξ
...
]
ξt = [ ξΠ
t
t
jest wektorem białoszumowych
losowych o wymiarach M × 1, istnieje po]T
ξt = [ ξ1t ... ξMt składników
1t
Mt
T
ξt = [ ξ1t ... ξMt ]T
ξ
ξ
=
[
...
]
ξ
1(por.
t
t
Mt
stać VECM
Johansen
1995;
Majsterek
2008):
T
ξt = [ ξ1t ...
S 1ξ Mt ]
S 1
Δyt = Πy t 1 + Σ ΓTs S Δ1y t s + ξt
S 1
Δyt = Πy t 1 + Σ Γs Δy t s + ξt
(1)
yt
y1 tΠ
...y ys Mt
=1 ]
s =1
y
=
y
+
Π
Δ
1
S
Γ
y
+
+
Δ=yt[ =
Δ
ξ
Σ Γs Δy t s + ξt
1
t
t
Σ
t
t 1
s
t s
s =1
gdzie: S Δyt = Πy t 1 s+=1 Σ Γs Δy t s + ξt S
yt = [ y1 t ... yMt ] T
s =1
S
= Σ s – I,
Π=( LsΣ
)y =sS–ξtI,
T
yt ==1=[ tyΣ
...
y
]
s =1 y = [ y ... y
= Σ s – I,
–
I
,
S
]T
1t
s Mt T
1
t
t
Mt
Π( L)y t = ξt
s =1
–TI,
yyt t ==S [[ yys=1=1t1t...
...ξ yyMtMt
Ts]]
S
ξt = [ ξ1t ...sΣ
=1Mt ]
= (–LΣ
= – (Π i +1 + Π i + 2 + ... + Π
Γi Π
)y Π
S
+ Π S ),
Γi S =), – Σ
t =sSξt
ΠΠ
( Ls )=y t– =(ξΠξit=+1 [+ξ Π...i +ξ2 + ...
]T
+1 –
s = i=
1
t
t
Mt
–
S
=
Γ
–
=
+
s
i
1
Π
=
+
+
+
(
...
),
Π
Π
Γ
Π
Π
L
y
(
)
=
ξ
Π( Li )ytt =Σξtt s S 1 i +1
Σ Π s = – (Π i +1 + Π i +2 + ..
i
i +2
S
s = i +1
=
s = i–+1Σ ΠTs = – (Π i +1 + Π i + 2 + ... + Π S ),
Γ
i
...y ξ 1 +] Σ Γs TΔy t s + ξt
ξ y=t [=Tξ1Π
T
Π =ΔtAB
. t s[=t iyMt
+ 1 ...
S 1
]
Π = ABξT.t = [ ξ1t ... ξMt ]
1 t ]TTs =y
ξξt t ==y[[ξtξ11t=t ...
...TξξMtMt
] 1Mt
y
=
y
+
Π
Δ
Π = AB
.
Σ=1 Γs Δy t s + ξt Π = AB T.
1
t
t
S
T S 1
s
Π(=L)AB
S 1
Γ
Πyytts –1=.+Iξ,t SΣ
Δy=t Π=Σ
S 11 s Δy t s + ξt
S
s =1
y
y
=
+
Π
Δ
1
s
=
Σ Γ–s Δy t s + ξt
Macierze
i+
A Σo Γ
× R mają standardową
t
t 1
yyB
vt Δ
=
Hd
Γss Δ
= Σinterpretację.
Π
Δyyyt tt ==+Π
Δyyt t ss ++ ξξM
t t 11 +
t t vt = yt + Hd t
Σ wymiarach
s = 1 s I,
SS
ss==11 T
s
=
1
vt ξ=t =yt [ ξ
... ξ ]
vt = yt + Hd t
+1tHd
S
– I,–T t(Mt
SS =Π
ss =
== –vΣ
+ Π i + 2 + ... + Π S ),
Πt i do
y
Hd
+
T
+1 powyższego
yt ΓPo
=i =
[wprowadzeniu
ys1t=Σ
...
y
]
t
wolnego
i trendu otrzymamy pięć różnych po– I,S
=wyrazu
1
yt modelu
= [ y 1 t ...
yΣ
–– II,,
Mt ] s
s =ti +1 ssMt
=Σ
T
TS 1
s =1 Γ = –
+ Π i +Juselius
),
Πparametry
y2006,
yt s=sΣ
]
=modelu,
Σ
i
s = – (Π i +1 (por.
2 + ... + Π
=11[ y 1 t ... y
staci tego
wynikających
z
restrykcji
nakładanych
na
t S = [s.y 199−100).
t ... yMt ]
Mt
S
T
s = i +1
yΔt y=tT.=[ Π
y 1yTt ...
] Γs Δy t s + ξt
t 1 y+
Mt Σ
Interpretacja
zero-jedynkowych,
Γ=i =[ d–AB
1 Π i + 2 + ... + Π S ), które mogą
dt Π
dzmiennych
S Π
s =] – (Π i +1s =+
dt = [ d 1 t ... dZtS] T znaleźć się w przestrzeni kointegrującej i pozaT
1Σ
tS...
Zt
TΠ
= i + 1Π S = – (Π T
Π S ), dze=zmian
Π=s =AB
Γi = – ΣΠ
== ––=sΣ
++...
ΠSS),),
= d–Zt(Π
+Π
...++ Π
i + 2 + ... +wynikać
Πi i++22trudności,
[ d 1 t ...strukdZt ]
nią,ΓΓ
napotyka
zwłaszcza
jeśli
ich– (obecność
[ dΠ1jednak
]poważne
ii d
sts...
i i++11 +
Σ
. i +1 + Πmiałaby
t
t
T
s = i +1
–
=
+
s
i
1
=
I
,
=
+
s
i
1
d
[
d
...
Σ
s dZt ]
1
t
t
T
turalnych,
nietypowych.
HΠ
= [=h 1ABa nie
hZ ]
=1 z obserwacji
H = [h 1
…
hZ ]
. s…
T
vtH
= =yt[znalezienia
T+
T Hd t … właściwej
= [hgenerating
…
hZ ]
]
h
h
W
celu
interpretacji
załóżmy,
że
proces generujący dane (ang.Hdata
Π
Π
=
AB
AB
=
.
1
Π = AB .1. S
Z
[
]
H
=
h
…
h
T
1
Z
v
=
y
Hd
+
process,
stochastyczną
podobnie czyni Lütkepohl
– (Π i +1 + Π
t T deterministyczną;
t
t
+ Π S ),i składową
Γzi1 =…–zawiera
h z y= [=hDGP)
Σh zMyΠMt]s ]=T składową
i + 2h+ ...
z = [h z 1 … h zM ]
[ y 1 ts...
T
T
= i +1
(2005,vtths.=z 256):
h z = [h z 1 … h zM ]
]
=
h zHd
…
h
yt [+
zM
1
t
T
T
yt = [ y ... yMt ]
=+ [Hd
h zT1 … h zM ]
==hyyzM
(2)
HdZt 1 t
, Hd
m z =.t t1,...,
=vvt1t ,...,
t +
t =
T Z
, zyt =+1,...,
Π[td=
m = 1,...,vM
AB
T
d
=
...
d
]
t = [ y1 t ... yZt ]
yt m
gdzie:
m
= 1,..., M , z = 1,..., Z
1 t M ,Mtz = 1,..., Z
= 1,...,
T
T
T
... yyMtMt],]TTz =− 1w,...,
Z M dzmiennych
= y[ d 1]t T... dw
d t y=yt t [1==m[[u=yyt111]t,...,
ektor
y =zintegrowanych
[ yd1 tt ...
Zt ]stopniu pierwszym, o wymiarach
t ... M
Mt
t = [1 t u t ]
T
Hd=t [=h 1[1 u t…
d t = [1 u t ]T
dt = v[ d =
d+Zt] Hd
] TT hMZ ]× 1, por. (1),
1 t ...
y
t uu ]
T t
v t =d y=t d
+ th= +[1h
v t = y t + hdeterministycznych,
+ h uH = [h
…o wymiarach
hZ ]
dt t = [[tdd111t t...
...d3dZtZtt t]] T − wektor Z zmiennych
Z × 1,
dt 1= [ d3 1 tt ... dZt1 ] T
T
v t = y t + h1 + h 3ut
v
=
y
+
h
+
h
t = [h t …1 h 3u
t
T
]
h
zM y h
−
m
acierz
o
wymiarach
M
×
Z
parametrów
związanych
ze zmiennymi
]
Hz =vy[tht =1 z=1y t[ +y…
...
]
Mt3ut Z
1ht 1 + h
T
1== [[hhdla t …
t…
1
t
dla
t
0
]
H
h
[
]
h
=
h
…
h
]
H
h
deterministycznymi,
11
ZZ
ut =
ut =
H = [h 1 0 z …z 1
h ZzM] ,
1 dla t t 0
1M
dla
t = 1t,...,
0T TZ .
,
t
dla
t
<
m
z
=0 =
1
,...,
ut =
t
0
dla
t
<
u
0
h z t = d[ht =z 1 1[…
h zMdt ]Zt ]t 0
0
d 1dla
t ...
0 dla t < t 0
dla t < t]0TT
ut[[hh=0 …
m = 1,..., M T, z = 1,..., Z
hhzz ==
]t
hzM
zz11 …Th
2
S
zM
2
S
0
dla
t
<
d
[
1
u
]
=
–
Π
–
–
–
,
a
,
gdzie
Π
(
L
)
I
L
L
....
L
=
(
L
)
Π t
Πt
ΠΠ2 ( L) , gdzie
h z =Π
hLz 1) =…
0 Π1
ΠS , a ΠS
L Π2 –części
.... – Ldeterministycznej
S [(
SI –hL
Π]1 –zmianę
zM
Występowanie
zmiany
strukturalnej
może
zatem
oznaczać
lub
[h 1, zΠ
mΠ=( L1H
M
,...,
=(1L…
,...,
T
Π( L) , gdzie Π ( L) = I – L Π1 –
) =ZI – hLZΠ]1 – L2 Π2 – .... – LS ΠdS , =a [Π
) , =gdzie
1
u
]
S
t
t
2
S
części
dane.
,, zz ==Π
==Π
1S)
1procesu
mtstochastycznej
1,...,
,...,
– LΠ
– L1,..,
– .... –W
,Mgdzie
Π , a Π S od charakteru zmiany otrzymujemy
( L)ZZ= I generującego
L zależności
(,...,
L) M
Π2S)
v1,..,
=
y1,...,
(s = m
t + h1 +T h 3ut
(s1 =
Z
m = 1,..., M S, z = 1,...,
d(st == 1,..,
[1odmienne
ut ]
T VEC.
zasadniczo
modele
(s = 1,.., S)
S)
h z = [h zT1T … h zM ]
v t = y t + h1 + h 3ut
d
[
1
u
]
=
[
1
u
]
=
1,..,
S)
=
Π(Przyjmijmy,
Π
Π
Π
Ld)tvt(s
=
(
L
)
y
+
(
L
)
h
+
(
L
)
h
u
t
t
składową
procesu geΠ3( Lt )wpływa
Π( L)h 3 udeterministyczną
v = Π ( Lwyłącznie
)y + Π ( TL)na
h1 +
t
tt zmiana
1strukturalna
t
1+ h
dlaże
vuΠ
h)3yut 0t + Π ( L)h + Π( L)h tu d t = [1t u t ]
=( Ly)tvdane.
Πa(efekt
Π ( L)y t + Π ( L)h 1 + Π
L) vt =zmiany
tt =
1 +( L
t =Π
t w składowej
1
3 t
nerującego
Jeśli
deterministycznej
występuje
tylko
wyraz
wolny,
M
1ht,...,
,...,( LZ)h 1 +S Π( L)h 3 u t
1 dla t t 0
tu,0t)tzy2 t=+1Π
<
vvt t ==Πym
h
h
L
y(t0tL+=+) vdla
+tΠ
h(33u
11=+
T
ut1 –=L2 Π – ....odpowiedniej
LΠΠ
=przez
h
Π( L)h 1 = (I –wLokresie
Π1 – L tΠ
strukturalnej
wprowadzenie
– yL Π
– AB T h 1 zero-jedyn– LS Π S )h 1 = zmiennej
( LS))hh11 =v
(t I–=AB
2 – .... –uwzględnić
0 można
h 32udla
t +1h1T+ 0
t t <t
2
S
1
t
dla
t
T
0
–
–
0
–
2
S
–
–
Π( L)h 1 = (I – L Π1 – L2 Π 2 – ...
= (I (LL
(L
), hgdzie
.... L Π S )dane
AB
h1
Π1, aI L–proces
ΠΠ
kowej,
generujący
postać:
uΠt(to
=L)d
–h 1L=Πma
Π
,
a
L
Π
t 1 = [1 Πu
t ]) =
22 1 – L Π2 – S....
TS
S
Π( L)h 3Π
– ....
–h
Π Shht –113u–t –Π
u 1= hdla
ut tt–t(<
ut1– 1––LΠΠ
h 3Suh
– AB
–ut....
IΠ–ttt10h
L3u3Π
)th
(–L
–33u
2h
2 )–hΠ
S 2=h 3ut – 2 – Π3 h 3ut – 3 – .... – Π S h 3u t – S =
3dla
0L3Π
1 t=– Π
1 =
2 3Π
t =
1 3u
uutt == t( L01) dla
0
S
Π1hS 3ut – 1 – Π
,
gdzie
(L
) = I – L Π1 – L2Π
(
L
)
Π
Π
Π(2L–)h....3u–t L
= hΠ3uS t, –a Π
1
t
dla
t
Π( Lv)h=003=h
–
–
–
–
–
Π
Π
....
udla
h
u
h
u
h
u
h
u
h
=
Π
Π
0 Su 3u–
ty
tt+
2 h3 ut – 2 – Π3 h3 u–t ––3 +
t–S =
3h
1 h3 ut – 1 – Π
–
t
t
<
u
u
+
dla
t
<
+
h
h
u
–
0
h
h
h
h
h
u
u
u
u
=
+
+
–
–
–
Π
Π
1,..,
S)
(s =Π
3
t
3
t
1
3
t
1
1
3
t
1
2
3
t
2
u
=
t
t
1 0 3 t
–2
––1.... –3Πt – 1h u 1 =
–1
3
t
3
t
3
t
2
3
t
t
–
–
–
Π
(, L
)
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
=
Π
Π
3 ....
t – 2– LS–Π
3 3, a
t – 3Π
S 3 t–S
3 t
1 Π
3 t ––1 L2 Π2 –
= h u – h 3ut – 1 + h 3u
Π( L) gdzie
h 3(u
uLt3)–=thI3u–t –L
ΠΠ
dla
1 3u t – 1 –h
2Π
S2 h
1 +h
3u–t –....
1 –0
3 uu
tt– 2S<+t=
h
u1h
+ Π=2Π
– .... – Π S h 3ut – S = 3 t
h
h
u
3 t – 1 – Π2 h 3ut – 1 – Π
t– 3 +
Suh
31 –t – Π
SS)0
1,..,
(s
=
22 3 3
SΠ
S
–
2
3
t
2
3
t – 1 – Π3 h 3ut – 3
–
–
–
h
h
h
h
h
u
u
u
u
u
=
+
+
Π
Π
–
Π
––3)–Lh
–
–
,
a
Π
(
L
)
I
L
....
L
=
–
Π
Π
Π
–
–
,
a
gdzie
Π
–2
(
L
)
I
L
L
....
L
– 1+
–
–
=
3
t
t
3
t
1
1
3
t
1
2
3
t
Π((LL))v,,tgdzie
Π
Π
Π
Π
Π
Π
= Π1( LΠ
)
y
+
(
L
(
L
)
h
u
1
2
S
S
S – Π Sh u
+ Π2 h 3ut – 1 – Π2 h 3u
1 21h 3ut – 1 –23 Π
t 3 h 3ut – 3 – ....
= –Π h u =
Πt(2Iht –3uΠ
Π
tt–01 – Π
S....
– ( I3 h
+
)h 3u t – 1 + Π
ut31– 3–t ––Π
h 3 u+t dla
–S3Π
=h
+
2h
3h 3u t –u1t +Π
3 Π
t –2S2 h 3 u t – 1 – ΠS3 h 3ut – 3 – .... – Π S h 3u t – S =
(s = 1,..,
u=t =S)
tS– 1 –
3u
–(....
– uL Π S , a Π S
–v
ut – 1 – Π
u,t –gdzie
h
uLtI)–2yS–)h=L
+ Π2 h 3u1 t – 1 – 2Π2 h
Π
–( L....
(
L
)
L
=
(
L
)
Π
Π
Π
Π
3
3
3
3
S
3
Π
Π
Π
Π
L
)
=
(
+
(
L
)
h
+
)
h
1
2
= h u + (I – Π – Π
=0 hdlaut <
+ (t I – Π – Π )h u + Π h u –t Π h u t – .... – Π 1h u = 3 t
d =t [ d 1...t d Zt]
y 1 th...zMy]MtTv]t T= yt + tHd t 1 t h Zt= [Th … h ] T
h z =yt[h=z 1 […
zM
yt = [ y 1 t ... zyMt ] z 1
H
=y[h[h]1T …… h h ]Z ]
=
yt T = [ y H
...
Z
1t
Mt1
m = 1d,...,
M , z = 1,..., Z
t = [ d 1 t ... dZt ]
m
=
1
T,..., M , z = 1,..., Z
E
.
Go
siń
ska
582
dt = [ d 1 t ... dZt ]
T
h z=d=[h][hT z 1……h h zM] T]
d t =H[1= [uht ]T …dt = [hd 1h]t ...
z
z
zM
1
Zt
d t = [1 u t ]T
1
Z
H = [h 1
hZ ]
…
1,...,MM,h,z z]= =1,...,
1,...,Z Z
v t = y t + h1 + h 3ut H = [h mm= =1…
,...,
T 1
v t =Z y t + h1 + h 3ut (3)
h z = [h z 1 … h zM ]
T ]T
h z d= [=h z[11 …u Th]zM
d t= [1 uT ]t
1 dla t t
= [h z 1 t… h zM ] t
gdzie ut = m = 1,..., M , 0 zh=z1,...,
1 dla t t 0
Z
uh,t 1z=+=h13,...,
0 dla t < t 0
y
+
mv tv==t 1=,...,
M
Z
t
y t + h1 + h 3u0tut dla
t < t0
T
,
m
M
z
Z
=
1
,...,
=
1
,...,
d t = [1 u t ]
2
T – LS Π , a Π
–
–
–
,
gdzie
(
L
)
I
L
L
....
=
(
L
)
Π
Π
Πd1t = [1Π2u t ]
S
1 dla
t0 S
Taka definicja zmiennej ut jest
równoważna
założeniu,
– L Π1 – tylko
– .... –zmiana
a ΠS
L2 Π2jedna
LS Π S , struk= Izachodzi
Π( Lt )t , tgdzie
Π ( L)że
u
=T 1 dla
0
t
d
=
[
1
u
]
u
=
v t = y t + h1 + h 3ut t
t t
t
0
dla
t
<
turalna
w 1,..,
znanym
to
można
uogólnić
na
przypadek
wystąpienia
wielu
zmian
S) okresie t0. Założenie
(s =
0
v t = y t 0+ hdla
1 + th<
3utt0
strukturalnych.
v t = y t + h1 + h 3u(st = 1,.., S)
2
S
– ....
,hgdzie
L Π–1 –L2LΠ
Π2– ....
Π( L) vlewostronnie
Πt(przez
Π
y t +t (3)
= Π1( L)dla
+Π
0L )h 1 Π
S (s = 1,..., S)
3 u t ΠΠ
– –LSLΠΠ
,S a, aΠΠ
(tL()L=) =I I– –L Π
( L(()LL1,))gdzie
Mnożąc
utt =
1
2
S
S
dla
t
0 = Π ( L)y + Π ( L )h + Π( L )h u
Π
(
L
)
v
u
=
t
0
dla
t
<
t
t
1
3
t
t
oznaczają macierze parametrów
wymiarach
M× M, otrzymujemy:
0
1o (s
dla
= t1,..,
0S) t < t
0 tdla
– LSS)
....1,..,
Π S )h 1 =0 – AB T h 1
Π( L)h 1 = (I – L Π1 –utL2=Π 2 (s– =
t 02 Π2 – .... – LS Π S , a Π S 2
–L
L Πt1 <
Π( L) , gdzie Π ( L) = I0 – dla
– L)hΠ1+–Π
–u ....
L()L(hL)1y) =
=+(Π
LS Π, aS
(Π
)Π
h 1 = – AB T h 1(4)
ΠΠ
L–S Π
Π
(
L
)
v
()LΠ
)h–2u3....
,
gdzie
II(–L–(L)L....
L(2L
(
L
)
t
tu
1–
t–
Π
Π
Π
Π
Π
( L2)hv3t u=t =–Π
(
L
)
y
+
h
+
L
h
Π( L)h 3ut = h 3ut – Π1h 3ut – 1 Π
1
2
S
–Π
–
–
Π
Π
h
h
u
=
S
t
1
3
t
–
–
2
3 3 t 3
S 3 t S
, gdzie Π ( L) = I – L Π1 – L2 Π2 – .... – LS Π S , a Π S
(
L
)
Π
S)
(s = 1,..,
( L)h–ut =2 hh3u32ut –t2 –+ Π1h 3ut –S1 – Π2 h 3ut – 2 – TΠ3h 3ut – 3 – .... – Π S h 3ut – S =
= h 3ut – h 3ut – 1 + h 3ut – 1 – ΠΠ
1h 3u t –1 3 Π
1,..,
(s
=
Składniki deterministyczne
występujące
odpowiednio
– AB
2L Π 2 – równania
T się
I –prawej
L Π–1 –Lstronie
= AB
()Lh)hS)
(po
.... – SL Π (4)
)h równają
Π
1= =
–– ....
I
L
(
(
h 1h 1 – Π h u +
Π
1– ....
–Π
h 3ut – 1 1– Π3h–3uLt –Π
u3t –u–St –L=1 +ΠhS 3)Suht1– 11=––Π
Π2 S)
u2tS h
=h
1 –1,..,
3
3h
3Π
1h 3u t –1
2 3 t–2
Π( L2009):
Π2(hL3(s
) vt +=Π
)uyt –=
(por. Gosińska
t + Π ( L )h 1 + Π( L )h 3 u t
Π
Π
Π
Π
(
L
)
(
L
)
y
v
=
+
(
L
)
h
+
(
L
)
h
u
Π
–
–
–
–
–
Π
Π
(
)
....
L
h
u
h
u
h
u
h
u
h
u
=
Π
Π
t
t
1
3
t
– (Π
–t....
= h 3 ut + ( I – Π1Π
h u12t–3–u33Π
h3 Π
ut – 3h 3=ut–– 3Π–S....
–h
–h
th 3Π u
1 u
2 –uΠ13S –
t – S h= u
3 2–
1 1Π
3– 2tΠ
+
=
hS 3hu–3tu–Π
L)2h)hu33ut=t– 1 h+3uΠ
t
t – 1 –33Πt32–h
t – 22 – 3Πt3–h
3u3t – 3t3––S ....
S S= 3 t – S
1ht3–u
Π( L) vt =2 Π ( L)3y tt + Π
Π
(
L
)
h
+
(
L
)
h
u
3 u
t
S h u 1– h u
T
–
–
h
h
h
u
u
=
+
+
Π
Π
– 2Π–S ....
–1L–Π
Π12––L...Π
)h 3–u=tL–h1 Π
h 3u+h3 1(tIt–––1–1 +Π
+u3h
+ ...
–AB
1 h
t ––
1+ Π
2)h
3 ut –t –+
2 +
Π( L)h=1 (=I –(IΠ
– (5)
Π3h 3ut – 3 – .... –
–)t h uu
h–1tΠ
Π(1Π
h11–33u3Π
t=3+
tS–T
3 +2u
3u
tS 3 h13=
t –12 )hΠ
2h
31u+t3– Π
2 21h 3 u t – 1
– L2t –Π
– t3....t ––1 LS Π
= – AB
h–1Π
Π( L)h 1 = (I – +3L Π
Π
1h u
2 Π
S )h
1 u
–
–
–
h
u
h
....
h
u
=
Π
– Π h ut – 3 – ... – Π S h 3 ut – S + Π
3 t –(–
1I Π
t –1 –
3 3 Tt– –
3 ....u– Π+ h
S 3 t – S+ Π h
Sh2 3u
h2Π
– 2Π
–3t)–Π
...
–....
2–
3ut=
1 u
1 –
t – 3h
1....
2 Π
S )h
3 t – 1 S h33ut –uSt =
2 3 u t – 1 + ( Π3 +
– t –22Π
–3hu–3t u– Π
Π( L)h 3ut =3 h33Π
)h11h=3u(t –I1 –– LΠΠ
ut (–LΠ
1 3uL
2 –3 h
S –hΠ
1 =
1
2h
3 –t –L
3 –Π
S h 3AB
S =
–
–
–
–
Π
Π
=
+
+
u
(
)
u
u
u
h
I
h
h
h
Π
Π
Π( L)h u = h 3ut3u– Π
ΠhS3 u33 – tt –– 3–S ....
utΠ
u2 3t –33u–t –....
=....
t ––
1 Π
t h 3–
S h 3ut – S =
–1Π
– –ΠΠ
Π2 h)32hutu–32t –––1t –Π
–1 –
+1ΠΠ
3 h23h
3 h tu+ 1( I
3 3 t 3
S h 3ut – S =
31 h3 ut 2– 3 –3 ...
Sh
3u
t–S 1
– ΠΠ
= h 3ut – h 3ut – 1 + h 33utt– 1 =– hΠ
1 3 t –1
2 h 3ut – 2 +
–Π
ΠS3)hhh33uuut –t –31 –+–....
( L)h 3u4 t +=...h+3uΠ
ut...
u+2t h
Π
Π
( Π3 + ... + Π S )h 3uΠ
Π
ΠSh–2hh
utuS+th–Π
hΠ3–hΠ
=13h
–h
– S3 =u t – 1 + ( Π3 + ... + Π S ) h 3 u
t –
1 –
3–
hh
u(uI3t u–3t ,…,
u–t–t2–S–Π
=S )Π
33u
t 2 , (Π
1u–
t – 122+
1+1–S )Π
232 h
3 u t – 1 + ( Π3 + ... + Π S )h 3ut –
– .......
–(3IΠ–t 3hΠ31u3–t – Π
–Π
h 3uht 1–3uS 3t=– 1t –+1 h 3 u2 t +3 Π
+ Π2 h 3ut – 1 – Π2 h 3ut –=
1
3
S
u–t––31Π
uS th
= h 3ut – h+3u
–t –2Π
––)2...
–31u
u–t3–Π
–2 + – Π h u
1h+
3u
3h
13Π
3ut–
uhht3+
uhΠ
hS 2uht...
33...
– –1 tΠ
– 3 + ....
1 ,3––u
t – S =Π h u
Π
1Π
h–hΠ3Π
(tΠ
h 3uSut 33 ,…,
–u
3u
t 3 – S...
S 4 3+ –
S 3 t S +1
3 3+h
2 h
–ttS–Π
–ΠΠS S)h
= h 3 Tut + ( I – Π1 – Π 2 )Sh( –Π
u
....
–3
– 1 + Π2 h 3 u t – 1
t
3
3
3
t
3 t –S =
–
)+h
u
Π ( L )h 3 u t = AB h 3 u t 1 + h 3+ uΠt 2+h=3Σ
–
Δ
–
–
uht –(1––uΓsΠ
h
u
h
u
....
h
u
=
Π
Π
3
t
s
–
–
–
– .... – Π S h 3ut – S =
–
–
–
2
3
t
1
3
3
t
3
S
3
t
S
Π
Π
(
)
u
u
I
h
h
Π
–3
– 1 + Π2 h 3 u t – 1
t
3
t
1
2
3
3
3
t
... +
= (I – Π1 – Π 2 – ... – Π Ss )=1h 3u t – 1 + h 3 ,ut + Π2 h 3 u t – 1 + ( Π3 +,…,
S Π
1Π S )h 3ut – 1 +
Π
(Π
+(IIΠ
)hu1–3–uΠtΠ
+...
...+)Π
+Π2Π
Π3+hΠ
=Π )h u
u...
uut3h–u1 t –,…,
h 3+3 +...
h...
T
S–h
t S +–1+Π
2 2 )(
4t –Π
3u
–S +
1 +
t=++(Π
3u+
3uh
S h33u
Π
–(S–L
uh
(Π
h
+
+t ...
u33–tu)u....
(=Π
)SΠ
h)Π
)3S–+h1)h
–
t
S 3u
3
3
t
2t h
S
3 t –1
–33Γ
S(
+t 1– 31Δu
3
31 3tu 2t ,2=(–Π
4–
S
3
t
h
AB
h
h
u
+
Π
t 1
3
t
s Sh
t s
Σ
– Π3 h3 ut – 3 – ... – Π S h 3 ut – S
Π 2h– u...– – –Π...
)–hΠ
ut h
h– 3 uS t 1+ Π2 h 3 su=1t – 1 + ( Π3 + ... + ΠS )h 3ut – 1 +
= (I – Π1 –– Π
–1 +
S
3
u
3 3 t 3
S 3 t S S 1
T
–...
T h u
AB
h 3 u u+t + Σ( –(Γ–Γ)sh) hΔ3 Δ
ut s
–
h
u
Π
3u
t– 3=––AB
3h 3tu+
1t –+
(–L(Π
)Lh3)h
u
=
h
u
h
ΠΠ
3
t
S
S
3 t 1
s
3 ut s
s =1
ΠS h3 3ut t S +1 Σ
( Π3 + ... + Π S )h 3ut 2 , ( Π4 + ...3 +t ΠS )h 3ut 3 ,…,
s =1
Dodając i odejmując kolejno ( Π3 + ... + Π S )h 3ut 2 , ( Π4 + ... + ΠS )h 3ut 3 ,…, ΠS h 3ut S +1, ostatecz1
( Π3 + ... + Π S )h 3ut 2 , S( Π
nie można zapisać:
4 + ... + ΠS )h 3 u t 3 ,…, Π S h 3ut S +1
S 1
Π ( L )h 3 u t = – AB T h 3 u t 1 + h 3 u t + Σ (T–Γs ) h 3 Δu t s
h 3 u t 1 + h 3S 1u t + Σ ( –Γs ) h 3 Δu t s
s =1
Π ( L )h 3 u t = – AB
Π ( L )h 3 u t = – AB T h 3 u t 1 + h 3 u t + Σ ( –Γs )s =h1 3 Δu t s (6)
s =1
Po podstawieniu (1), (5) i (6) do (4) otrzymujemy reprezentację modelu VEC z wyrazem wolnym
i zmianą wyrazu wolnego:
S 1g u ] +S 1 SΓ1 ∆ v
∆ v = A[BT v – +Sg11 +
+ Σ f3s∆ ut – s + ξ t
3 t –1
Σ
s s s t– s
∆
∆ vt∆=vtA=[BA[vBt –T1v+tt–g1 1++gg1 3+ugt –13tu]1t+–1 ]Σ
∆
v
+
f
u
+
Γ
s =1 3 f t∆
+ Σ
+
s Γs t∆
– sv t – sΣ
Σ 3 – sut –ξst+s =ξ0t
S 1
S 1
(7)
T
s =1 s =1
t = S + 1, S + 2,…,
dla t = tS=+S1,+ S
1,+S2,…,
+ 2,…,
s=0 s=0
h3
dla s = 0
T
T
s
–
,
,
–
h
dla
s
0
=
g
=
B
h
f
g
B
h
=
=
h
=
dla
s
0
3
3
3
3
T
1
1
s
3
g 1 =g 1–=B –hB1T, hg1,3 =g 3–=B –hB3T,hf33, =f 3s =
dla s = 1, 2 ,...,S – 1
– Γ sh3
gdzie:
–1 –1
s = s1,=21,...,S
– Γ –s hΓ3 s h 3 dla dla
, 2 ,...,S
G = [ g 1 g 3 ],
G =G[ =g 1[ gg1 3 ]g, 3 ],
1
1 1 dt 1 =
,
d t 1d=t 1 = , ,
ut 1
ut 1 ut 1
0
,
0 ∆0d t s =
, , ∆u
∆ d∆ d = =
T
∆ vt = A[BT v t –1 + g1 + g 3ut –1 ] +
t = S + 1, S + 2,…,
ΣΓ ∆v
S 1
s =1
s
t– s
+
Σ f ∆u
S 1
s=0
s
3
t– s +
ξt
583
s
s=0
T v = SA
T
BT v t –1h+3 gS1S 1+1 gs 3udla
t –1 ] + Σ Γs ∆ v t – s + Σ f 3 ∆ ut – s + ξ t
h 3t],+f 3sS 1[1=Γ
B[B
hTTv1, g+3g= +–gB∆
1 == –A
s
∆
1
0
s
s
=
∆g
∆
v
u
v
+
f
u
+
=
ξ
t– s +
t
∆ vt t = A[B vt t––11macierzy:
+ g11 + g33ut t–1–1 ] + Σ
f3 ∆ udla
Γss ∆–vΓt –t –sssh+3sΣ
t – s s ξ=t 1, 2 ,...,S – 1
Zdefiniowanie
Σ
sΣ
=1
=0 3
S 1
s =1
,
= [ g 1 Sg+3 ]2,…,
tG
t== SS++1,
1, S + 2,…,
t = S + 1, S + 2,…,
S 1
s=0
h3
dla s = 0
T
T
s,s =f=3s00=
1
h
3g 3 = – Bdla
T g 1 = s– B h 1,h
h
dla
3
3
ggd1 t =1==––BB hh1,,, gg3 == ––BB Thh3 ,, ff3 s ==
dla s = 1, 2 ,...,S – 1
– Γ sh3
3
3
1
dla
––ΓΓs hh3
ut 1 1 3
dlass ==11,,22,...,S
,...,S S––111
s 3
S 1
G = [ g 1∆ vgt 3=],A[BT v t –1 + g1 + g 3ut –1S] 1+ Σ Γs ∆ v t S– s1+ Σ f3s∆ ut – s + ξ t
,
[
]
G
=
g
g
G = [ g11 g330],
s=0
,
∆ dt s =
∆Sv1t = A[BT v t –S1 1+ g1 + g 3ut –1 ] + Σ Γss=∆1 v t – s + Σ f3s∆
ut – s + ξ t
1
T u
s
s =1
s=0
∆
1
t
s
∆
∆
∆
[
]
v
=
A
B
v
+
g
+
g
u
+
v
+
f
u
+
Γ
1
ξ
=
d
,
–
–
–
1
1
3
1
3
t
t
t
s
t
s
t
s
t
–
Σ
Σ
t 1
ddt 1 ==
t=1= S + 1, Ss+= 0 2,…,
,
su
t 1
uut 1 ,
t = tS1+ 1, S + 2,…,
s ,
t 1
h3
dla s = 0
F = [f f ]
1 , fs =
t = sS + 1,1 S 0+3 2,…, T
g 1 = 0– B T hS 11, g 3 = – BST h
s
3
h
dla
s
=0
3
T
g + g 3uBt –T1 ]h+,, ΣgΓs =∆ v– B
dla s = 1, 2 ,...,S – 1
1+
t– s +
∆∆ddt s == ∆0vt =,,A[B v∆t –d
,= 0ff33s ∆=ut – s + ξ t–3 Γ s h 3
h 30sΣ
t sg11= = –
3 dla s =
1
h
1
s
=
t s T ∆u
∆ u t 3s
T
s
dla s = 1, 2 ,...,S – 1
– Γ sh3
∆1,ut t gss3 = –oBS wymiarach
g 1 =f1 –jest
B hwektorem
– 1h 3 , f 3 =
gdzie
MS ×–11,
T
–
h
=
dla
s
1
,
2
,...,S
1
–
Γ
,
[
]
G
g
g
=
sF
1 s3∆ d3t – s + ξ t
∆ v t = AB
t = Sv t+–11,+ SΣ+Γ2,…,
s ∆v t – s + Σ
s =1 F =G
FFs == [f[f1 ff3ss]],,
[f1= [ fgs3s1=]0 ,g 3 ],
s
1
3 , równanie (7) w postaci: 1
pozwala
G =s [ gzapisać
h3
dla s = 0
1 g3 ]
gv1 = – B T h 1, g 3 = –dBt T1h=3 1, f 3s = ,
=
d
,
u
t –1
dla s = 1, 2 ,...,S – 1
– Γ sh3
t 1
t 1
v t –1 1= T
S –1
S –1 u
S –1
S –1
S –1
S –1 t 1
d t∆
T ∆d
1 v= = AB,dTv
v
F
+
+
+
ξ
∆
Γ
t
–t1– 1 +Σ Γ
–+
tv
s ∆v
t –t s =+AB
s v∆
t
s
v
v
Fs ∆ d t – s + ξ t
+
∆
Γ
Σ
F
d
+
ξ
∆ vt t =utAB
(8)
t –s
Σ
t –g
1
t –s
s t –1 t – 0
sΣ t s
1 G = [
1 3 ]s,
sΣ
=g
=0
1 sΣ
s
1
s
0
0
=
=
s =1
s
0
,
∆ d =t s =
,
∆
d
=
∆u
t s
T
gdzie:B T = v[0
1
∆ ut s t s
∆ d t s = dvBttt–1–11=, G ] ,
v
–
t
1
vvt –1 == ∆ u t s u– wektorvo wymiarach
N × 1, N = M + Z ,
t 1
t –1
s
t –1 =
ddt –1
s f, ] ,
[
F
f
=
d
s
1
Fs = [f1t –1 f 3 ] 3
vt = yt +t –1h 1
0
Fs = [Tf1 f∆3sT]d, =
, wektorów kointegrujących o wymiarach R × N,
s ] – macierz
T t G
BB T == [B
S 1
T
T
[B G
T ] ∆ ut s B
G]
–
S –1 S –1
S –1 S 1
∆ v t = AB v t –1 + Σ Γs ∆=v t[–B
s + ξt T T
v
AB
v
v
F ∆ d – ts +
=
+
+
∆
Γ
∆
t
∆ vS t–1=t AB zev tzmiennymi
t – 1Σ Γ
G
w ξprzestrzeni
kointegruΣs ∆vsdeterministycznymi
s =1 związanych
–1 +
t – s +t – sΣ FΣ
s ∆ d ts– s + tξ
S –1
s ,
vvt –==myyacierz
+T+ hh=1 parametrów
t F
s =1 s =1
s =0 s =0
[
]
f
f
ABt svot wymiarach
∆ v t t= jącej,
1 ΣΓ
3 s ∆vR
=Z,Σ
yt F
+s ∆hd1 t – s + ξ t
–11 +
tv–t×
s +
s =0
v t –1 s =1 S 1
v zmiennymi deterministycznymi poza przestrzenią koinv ze
Fs –vm
acierz
, S 1Γ ∆ związanych
= TTvparametrów
+
v
+ ξ=ξt =T t –1 t –1 S 1
∆∆vvt t =–=1 AB
t –1 + Σ Γs ∆ vt–v– s v
v
–1 t
S t1–ts–+
1
1
t
–
t
1
ttegrującą,
s
vAB
Σ
o wymiarach
Z. v S1 –+1 Σ Γs ∆ v t – s + ξ t
= ×AB
t –1
s =1
∆v M
t – 1 Fs ∆ d t – s + ξ t
v t –1 =
∆ v t = AB Tsv=1t –1 + Σt Γs ∆v t –ds t+–dt1–Σ
s =1
s =1
s =0
T d t –1 T
,
]
B = [vB
g
–
t
1
1
T T
T T w której składowa deterministyczna zawiera wyłącznie
t –1 ,
Szczególną
vvt –1 == vpostacią
Bt taka,
G ]G ]
= v[=
, v modeluB(8)B jest
–[1B
T
1
T t –1 T
–1
t
,
=
v
1h]=1. h3 jest wektorem
wyraz
zerowym,
co oznacza brak zmiany strukturalnej. Model VEC
g=1 [B
Bt G
= –vWówczas
t –1
B wolny.
–1
1
d
T
T
–
v
=
y
+
h
t
1
dla procesu
dane: t v =t y +1 hma postać:
T g ],
[B
B T ==generującego
t
t
1
–[B T h 1g11 ] ,
T
T
vt B
=gy
1 t =+ hB
1
,
[
]
B
B
g
=
S 1
1
T T
T
Th . = [B
gg1 == ––BBB
G ] ∆ v = AB T v T + ΓS 1∆ v + ξ
1 .
h
1
S
–
t
1
t
1
1
Σ
(9)
H0: h 3 = 0
∆ v Tt h= .AB v t –1s =+1 Σs Γs t∆– sv t – s t+ ξ t 1
∆ v t = AB TTT v t –1 + Σ Γs ∆ vgt1– s =+ –ξB
t
s =1
gg1 == ––BBvhh1= y +s =1h
1
gdzie: H1 1: h 3 ≠t 01 t
g 1 =v– B T=h 1 v t –v1 t ,–1
S 1 t –1
HH0:: hh3 =vT=t0–01
T
,
v =
0 : B
3 hv =
v tH
∆ 3 t , =0ABBT vht 3–1 =+ 0Σ Γs t∆–1v t – s 1+ ξ1t
–1 0 =
H
:
h
=
0
0
1
s =1 3
HH1:: hh3 ≠T≠ 00
T
T
H11: B3 h 3 ≠ 0 B T h 3 ≠ 0B =T [B Tg 1 ] ,
T
[B g 1 ] ,
B
=
H
:
T T
T
≠
h
0
v
BHH0 ::=BB[BThh3 ==g010] , BB Thht –31 == 001 3
T
0 T
3v t –i1 = T
3 ,
–
g
B
h 1.
=
B h 3T = 0 B h 31 = 0
1
Tg = – B T h T.
T
T
:
H
0
B
h
B1 h 3 = 0
=
.
–
1
gH
B
h
=
0
T
T
:
≠
≠
0
0
B
h
B
h
3
1H1 : B h3 1 ≠ 0
B h33 ≠ 0 g = – B T h
1ˆ T ˆ
3ˆ T ˆ
i
B
h
B
h
T
T
1
1
3
T
T
B =3 [B g ] , T
g 1BB=TThh–3B==T h001 ii BBTThh3 == 00 1H1: B gh1 3=≠ –0B hB1 h 3 ≠ 0
3
3
T
T H10: h
T = 0
ˆ (B̂T B̂gT )=1 B̂
3= I T
. (B̂ B̂
– B T+hB̂
T ) B̂ że
Restrykcja
ˆ:ˆBTh
ˆˆ =i 0B
ˆˆ Th
1ˆ
1 zapewnia,
B
h
=
B h wolny
= 0 w tym modelu nie generuje trendu liniowego.
0: hiwyraz
Th
H
H0B
ˆ
3
0
3
3
3 = 03
B
h
3 3 i B h3
H
:
≠
h
0
1
T
3
g= WALD
= – B h + WALD
T
ˆ) T11h
ˆ TTBH
ˆ:I Thhˆ ≠ 0
i=1B
H1Bˆ:ˆWALD
≠TB̂0 )1 11B̂ TT + B̂B(1B̂TTB̂B
h
B̂
B̂
(
3
3
B̂
B̂ : =BIT h33 = 0 B T h = 0
B (B̂
) B̂ + B̂(B̂ B̂) H
0
3
3
: hB
T
T ,T 1 T
dla
H)B01:TB̂hBT T+=hB̂
3 T=h0 = Walda
0
=
ˆ
:WALD
H0WALD
00statystyka
0
B T h 3B==H
:
H
0
B
3
B̂
WALD
+
WALD
B̂
B̂
B
B̂
(
(
)h B̂= 0= I
3
0
3
T
WALD = WALDBB + WALDBH
B T h 3 ≠ 30
B 1: B h 3 ≠ 0
hB
T
3 T≠h0 ≠ 0Walda dla H
H1:WALD
B T h 3 B≠H01: statystyka
h,3WALD
=B0T h 3 ≠ 0
H
: BBTTT0hh: 3B≠=T 0+
3Walda
TH1=
dla
WALD
WALD
0::WALD
i
3 BB= 0
0 B
B
h
=
h
=
0
statystyka
Walda
dla
H
,
0
B
h
WALDBB statystyka
0
3
3
3
T
T
T
T
g 1 = – B h 1, g 3 = – B h 3 , f 3 = – sΓ 3h 1 1 3 3dla s = 1, 2 ,...,S – 1 G = [ g g ],
v t –1
1
1
3
s[ g
3
], sf ss=]1,, 2 ,...,S – 1
g [3fdla
=s h
–GΓdla
v t –1 =
S + 1, S + 2,…,
3sF1= 0
=
h3
= = [ g , g ],T
d t 1 TG
s
1
3
s
F1s 1= [f1 f 3 ] , 0
d t –1
g 1 = – B h 1,ut g1 31 = –3B h 3 , f 3 =
1
,
d t s –=1
GT==[[gg 1s gg 3],], h 3
dla
s = 0d tddla
1 =
1u1, ,2∆,,...,S
1t =
h
=
s
–
Γ
T
G
=
d
s
3
,
∆ ut s
t 1
– B h 1, g 3 = – B h 3 , 11f 3 =3
d = ut 1t 1,
u
dla s = 1, 2t 1,...,Su–t 11
– Γ sh3
S –1
S –1t 1
0
1
B T = [B T G ]
=
d
,
–
T
E
.
Go
siń
ska
S
1
S –1
t 1 ],
1
G = [∆gd1 t584
g
,
=
v
AB
v
F
d
=
+
+
0
ξ
∆
∆
Γ
T v t – 1 +s
3 t 1 =u
∆
,
sdd
0
–
t
–
t
s
t
s
s
t
s
Σ
, Γ ∆v t – s + Σ
F ∆ d + ξt
∆
∆ utt u1st 1 ,
t 1 =
s ,= ,[fv
1 t – 1 f+
3 ]Σ
= v t 0=FAB
Σ
s =1 s
s =0 s 0 t – s
∆∆
dd
[ g 1 g 3 ],
ut 1
t st s=
s =1
,
∆ d t s =s = 0
∆
u
1
∆
u
vt = yt + h 1
,
t
s
∆
d
=
t s
t s
0
∆ ut s
dt 1 =
,
∆
u
s ,
0
,
t
s
v
∆
d
=
1
t –1
Fsut=1 [∆
f1t s f 3 =]∆ u 0
S –1
S –1
S 1
s , v t –1
v –1sf =
=
,
s=
, ,wynika, że wprowadzenie
t s
∆ dd
Zt t spowyższego
zmiennej
] vd = AB Tkointegrującej
,∆
FsFs= =[f1[fv1 ttdo
f–31s ]3=przestrzeni
s , F zero-jedynkowej
∆
u
v
+
v
+
+ ξ=t AB T v – +
∆
Γ
ut 1
–
t
s
–
t t –1
t 1
s [f t s f ]Σ s ∆ d t –∆
sv
Γs ∆ v
Σ
F
=
∆
u
t
1
t
Σ
,
s
1
3
t
s
Fs iż
f1 procesie
f 3 ] dgenerującym
= [w
0
s =1
s =0
t –1
w okresie
t
jest
równoważne
przyjęciu,
dane
zmiana
strukturalna
wystąpis =1
s
∆ d t s = F = [f , f ] , S –1
S –1
1T
3 s ,
0
∆suwtAB
okresie
−], 1. ΓPonadto
jeśliFto∆ d
zmiana
strukturalna
wprowadzenia zmiennej zeroT
T Sjest
s=[f[f 1v f fst3+
– 1 ] przyczyną
v
+
∆
s=
S –S1 –1
,∆ vłat F=F
]
B
v] t –1
T S – 1G
–
=
–
t
1
s
t
s
s
t – s + ξt B T =
Σ
Σ
vSt –1
T [
s
1
3
T =
S –1
[
B
B
G
s
1
s
0
v
AB
v
v
Fs ∆
=
+
+
∆
Γ
=
=
∆
–
–
S
1
S
1
∆ ut s
=
v
=
AB
v
+
v
+
F
d td– ts –+s T+ξ tξ t muszą
∆
Γ
-jedynkowej do przestrzeni kointegrującej,
zmienne
znaleźć
∆ t t to odpowiednie
t –1
vsię
Σ
Σ
s s t – ts – s zero-jedynkowe
s∆
Σ
T t – 1t – 1 Σ
t –v
1 =
v
AB
v
F,s ∆ d t – s + ξ t
=
+
+
∆
Γ
∆
s ,
s
1
s
0
–
–
=
=
t
t
1
s
t
s
ds ∆
Σ
=1 Γ
= 0 Fs ∆ d t – s + ξ t
∆ v t = AB v t –1 + sΣ
1Σ
S –1
S –1
Fs = [f1 także
f 3 ] poza przestrzenią
t – 1v t – s + sΣ
s
1
s
0
kointegrującą.
=
=
T
v
y
h
=
+
–1
S –1 ∆ d
s =0
v t –1 vTt –1 + ΣS S–Γ
vt = yt + hs =11
1 s ∆v t – s + Σ
S –F
1
t–s + ξ
[f1 f 3s ] , v t –1∆=v∆t v=t AB
ABT vv t –1+s+=1ΣΓ
d t – s++vξtt ξvt– t –1 t T 1 T
Γs∆∆vv t – s++s = 0ΣsFF∆
s∆
d
∆ v t d==AB
t
1
B T = [BT g 1 ] ,
t –1
t –s
Σ
Σ
v t –1
S 1]
s =1 s
s = 0 s v t – s = vt
[
B
=
B
G
t – 1S – 1
1
S
s =1 S –1
s = 0 v t – 1t – 1=
T
v += ξ
vvdtt ––t1t1–=
T
v = ∆
1 AB T v t –1 + Σ Γs ∆ v
Γs ∆ vt tt–––1ss + ξ dtt t –1
∆d
v t –1 + vΣt –Γ
∆ v t = AB
1 s– ∆v t – s + Σ Fs ∆ d t – s + ξ t t –1
t = AB v t –1 + Σ
g 1 = – B T h 1.
1
s
=
– 1 Testowanie
S3.
S
1
d
występowania
zmiany
wolnego
t – 1 wyrazu
Tv t –1 =T s =v1v t –1
s =0
s =1
T
v
=
y
+
h
–
t
1
[
]
B
B
G
=
t
t
1
= AB v t –1 + Σ Γ
– sd+t – 1Σ Fs ∆ d t – s + ξ t
T
t –v
1 t=
vvst ∆
T T
–1 =
dst=–01
s =1
] ]vv t –1
BBTT = =[B[B
GG
T
T
g1 = – B T h1
d
T
]
G
= [B
SB1
–
t 1
v
–1 ,
t
v
=
–
[
]
t
1
B
B
G
=
wolnego (por. wzór 7). TestowaT
, wyrazu
v tt ––11 =∆ivzmianą
= yTt + h 1Tpostać modelu VEC z wyrazem wolnym
v =v Rozważmy
= AB
v t –1 + Σ Γs ∆ v t – s + ξ t
t 1
=
v t –1t –1 tnie
1
T [B
T G ] w znanym okresie t vzmiany
H0: h 3 = 0 .
v
y
h
=
+
dBt –występowania
wyrazu
wolnego
polega
na
weryfikacji hipotezy:
=
y
+
h
s
t
t
1
[BT GG]]
0 t
t
1
=
v=1t = yt + h 1
B1BT ==[B
S 1
v
y
h
=
+
T1
T
t
t
d t –1
Do tego celu
można wykorzystać statystykę Walda.
Wyznaczenie
jej wartości wymaga zastosowania
T
,
B
∆ vTtvt= =AB
H1: h 3 ≠ 0
B TT ==T [[B
BT S ggS1 111v]] ,t –1
yt +vht –11 + Σ Γs ∆ v t – s + ξ t
S 1
]
B T = [B
G
v
y
h
=
+
dwustopniowej
procedury,
w
której
najpierw
estymowane
są
parametry
stochastycznej
przy zav
AB
v
v
=
+
ξ części
1
S
Γ
∆
∆
1
s
,
=
=
v
v
=
ξ
Γ
∆
∆
t = y t+ h 1
T
11 Σ
t AB v t –1tt–T–+
s v t – st –+
s+
t
Σ
v
t
s
t
t
t
1
∆ v t = AB v t –1 + ΣHΓ:s ∆ vT t – s + ξ t
T
g
=T v–– B T+h 1s ..=1s =Γ
1 1
1
v
AB
v
=
+
ξ
∆
∆
S 1
= [B
G ] łożeniu rzęduTkointegracji
–
g
B
h
=
–
t
1
h 3 = 0 BT h 3 = 0
t
s
t
s
t
Σ
R, a następnie parametry
części
0 B doty1
1 deterministycznej (por. wzór 2).
s =1Testy
S 1
v
1
s
=
v
AB
v
v
=
+
+
ξ
∆ 1t
1 s ∆ t –s
S Γ
t –1
vt = yt czące
TT hipotezie
T
zmian
strukturalnych
zakładają
w
zerowej brak zmiany strukturalnej,
, T Tvt –v1t –1+Σ
=vwystępowania
v+t –1h∆∆
v t ==AB
AB
v t –s + t ξ t
+
vt –1t––B
g
s =1ΣΓΓs∆∆
1B T h=
1v =
H1: B T h 3 ≠ 0 B T h 3 ≠ 0
–
t –1
t
s v t –s + ξ t
g
=
B
h 11 [B g 1 ] ,
Σ
v t –1
1
,
=
v
= yt + h 1
1v
s =1
,
=
v
–
t
1
–
a zatem: t 1
S 1
s =1
t –1
,
v t –1 =
T
v t –1 = H :1h1 g,= 0= – B T h .
AB
v t –T1 + vΣt v–Γ
1
∆ v t = 0:1 3 1
1 s ∆v t –s + ξ t
BT h = 0 i BT h3 = 0
1
ST 1v
H
h
=
0
0
B =t –[1B= gs =v1 t]–t,1–1,
3
3
T
T
T
T
T
(10)
1 ξt ,,
t –1v t=
–s +
t = AB v t –1 + Σ Γ
,] , T
vvst ∆
BBT = =[HB[1B
: h g 1g
≠]10
–1 =
1
B T = [BT g 1 ] , Bˆ T hˆ 3 i Bˆ T hˆ 3
[B1T: Th 33gg1≠1]0=, – B h 1
B =H
g 1s ==v1 t ––1B T h 1. 1
T h .
–B
T
v = B T =T, [BT T g 1 ] ,
.T
g 1g 1= =–H
B
hB
T
1 1T h 3 = 0
T h 3 = 0 g = –B h .
0T:mamy
v t –1t –1
,
T T = [B
T prawdziwość
Hh03: h
= 0B
]
B
g
Zakładając
hipotezy
zerowej,
.
Oznacza
parametrów
Bˆ (B̂T B̂ ) 1 B̂T + B̂(B̂T B̂
:
H
1
1
0
B
B
h 3 = 0 1to, że wektory
=
.
–
3
g
B
h
=
1
0
,
[
]
B
=
B
g
–
g
=
B
h
1
1
,
1
=
1
1
T
–1
T
T
g 1 = – B ze
hT1.zmiennymi, które charakteryzują
–B
h T h ≠strukturalną
zmianę
kointegrującej, są
1 T związanych
g 1g 1= =– H
B
T
B TT h 3 ≠ 0w przestrzeni
1T::hB
1 1TH
T h .
3: ≠ 0
H
30≠ 0B h 3 ≠ 0 g 1 = – B h 1
1
WALD
= WALD B + WAL
1 hB h13 h
.
[0B: Thgg1 g1=zero
B =Hrówne
h
=1=0]–,–BB
–
g
=
B
1
1
1
krótkookresowe związane ze zmienną
determi3
T(g3 = 0), jak również wszystkie parametry
T
T
T 0
T
–
H
:
g
=
B
h
h
=
T
ii TBhT h=3 0h= 0wBkierunku
H0:0wektora
= [B
g ] ,nistyczną
h3 B
=0
T1
1
3= T0h 3 H
:B
oraz nie=0 0
B 3h 3 =30 hH30:=h03 =stacjonarnym
0
– B:T h
g 1 =1 H
h g. = u–tBTsąhrówne zero. Dekompozycja
H0: h 3 B
= 0h 3parametrów
WALDB statystyka Wald
1 g311 1≠=0– B h 1 1
T
T
T
stacjonarnym
hipotez:
ˆˆ ≠T0h
ˆˆ0 i B
ˆ ˆT
H
: 3 3≠B
H : h 3 = 0 wiąże się z następującymHukładem
T
= – B h 1.
1:1 h h
3H
T 0H
i ˆ: TBhˆ 3h ≠ 0 B hH31:≠ h03 ≠ 0
–B
g1 = H
hH1T0h:0:3hh=3 3=0=00B T h 3 = 0
H1: h 3 B
≠ 0h 3 1B h 3 3
WALD B statystyka Wa
0: B
T
T 1T hT = 0 T
T
1 T
: TB
=0TT 0B̂TB)B
H1: h 3 ≠ 0
T
ˆˆh
HH
h
3=
3=+i0B̂
T I
T
= – B h1
0 :0 BBh
B̂
B̂
B̂
B̂
(
(
)
=
B̂
3
3
1
T
T
1
T
0
B
h
=
B
h
=
0
T 1: h ≠ 0 T
B3 (=B̂0 B̂ B) 3T hB̂3 =+0B̂(B̂ 3B̂)H0B̂: B= hI 3 = 0 B h 3 = 0
H0 : B T h
H0: hH
: 3h ≠3 3≠0 0 B h 3 ≠ 0
BHH
1=: 0
1h
3
B B (11)
T
T
T Th ≠ 0
T Th ≠ 0
H
:
B
:
H
0
0
B
h
B
h
=
=
1
H
:
h ˆ3≠T ˆ0 WALD
0
T
T
ˆ=TB
ˆB
1 BTh
T3
T3
3 3≠ 0 B
h
0: h 3 = 0
WALD
WALD
T i 3B Bh+
H
:
≠
0
B
h
B
h
T
T = 0
:
H
T
T
3
3
0
B
h
B
h
=
B
1
0
3
3 ≠ 0
H1: B h
H1: h 3B≠ h0H
WALD
WALD
h 3 ≠ B0+ WALD B
B i hB3 3=h 03 = 0B h 3 3= 0
3 ≠ 0 =TB
3 0=: 0
ĥ Bˆ ,3 i ĥ Bˆ , 3
T
T
T Th = 0 i B
T h = 0
B
H
:
≠
0
B T h 3 3=sprawdzaniu
0 i BˆT h 3 3=T 0restrykcji
1 B hT3 ≠ 0 B hT3
TT
T
T T
1: h 3 ≠ 0
iT=h
na łącznym
hB̂3H
BI3T h=30=, 0 za poTTˆ Th ≠ 0 test
(B̂= B̂0 ) 1 B̂Walda
+ B̂(BB̂
) =01:B̂0B
Hi01:ˆBB
dla
ˆhT3hˆProponowany
3≠≠ 00
B h 3 =WALD
0 i BBB hstatystyka
H0 : B TB
B
=
H
hh3 3h3≠3 =0 0 BBT hhpolega
3
statystyka
Walda
dla
H
:
,
B
h
WALD
3 T1: B
3
0
T
T
3 = 0
B
Tˆ ˆ h
Tˆ ˆ h
ˆB
ˆB
niezależne,
ponieważ
mocą
EstymatoryB
T B hstatystyki
i B T hTWalda.
ˆ T hˆ ) T [ D 2 (B̂ T
h 3ˆ 3i iB
h 3ˆ 3 są asymptotycznie
Tˆ
T ˆ T
3 = 0
3 = 0
WALD
= (B
: BT h3 = 0 B
ˆ
ˆ
=T T0
3
T
T
i
T h3 B
T
B
h
B
h
i
T
0
h
=
B
h
=
0
ˆ hˆ iWALD
ˆ hˆ WALD
=
WALD
+
WALD
statystyka
Walda
dla
H
:
3
3
0
B
h
=
T
H1: B Bˆh 3(B̂≠BT0B̂h 3)3B=1 B̂0hT3i +≠BB̂0(hB̂3T3B̂
B
0
B
B
= )0 1B̂ T = I (por. B
3 = 0
3 WALD
3B
Sobreira,
Nunes
2012).T Statystykę
Walda
testu
statystyka
Walda
dla
H0: Bdlah łącznego
Tˆ
T ˆ
3
B T
T
1
1
T
ˆ
ˆ
T B̂ )1 T
T B̂)1 B̂
T
i
B̂ + +B̂B̂
T30ˆ B ˆhT3 ˆ
B̂ dla
B̂) 1B̂ TT = =Iˆ I T B̂ 1 T T ΘhT = 1 T
Bˆ BˆWalda
(B̂(B̂
) 1B̂każdej
(B̂
≠ˆh
B T hB3 ˆB
1: B h 3 ≠ 0
jako sumę statystyk
z(B̂
hipotez:
Tzatem
T ˆh
T
T
+ B̂(B̂ B̂) B̂ = I
ˆThh3i3iB
ˆ=Bzapisać
ˆ (B̂TB
i
3
0
B T h 3można
=
B
0
statystyka
Walda
B
h
h
B
B̂
WALD
B̂
B̂) B̂ = B
B
)
+
(
I (B̂ dla) HB̂
B̂
B̂
0: B h 3 = 0 ,
3
3
B
WALD = TWALD1 B T+ WALDT B 1 T
B B
T
T
ˆ
(B̂ B̂T ) B̂1 +T B̂(B̂ B̂T) B̂1 =T I WALD
WALD= =WALD
WALD
+ WALD
h 3 = 0 iˆ B
h =ˆ B
T0ˆˆ
B B+ WALD B B
(B̂T B̂B̂ ) )1 B̂B̂T ++B̂B̂(B̂
(B̂T B̂B̂) )1B̂B̂T ==
I
WALD
WALD
BT hˆ 3 i3 B
hˆB3 (B̂
B̂
statystyka
Walda= dla
H : BB+T WALD
ii WALD
h 3 = h0(12)
ĥ
B,1
B
T I WALDĥ=
WALD
+
WALD
ˆ
ˆ
B
B
B 0
,
3
B
B
,
3
ĥ
ĥ
statystyka
Walda
dla
H
:
,
0
B
h
=
WALD
0
ˆ
ˆ
T
T
3
B
,
3
B
B
,
3
ˆ hˆ
T
h
ĥ 3 i B
T
WALD
=
WALD
+
WALD
ˆ ,1
statystykaWalda
Waldadla
dlaHH
: hh
3
B
B
WALD
statystyka
1 T
T
T WALD
0 ,0 ,
WALD
3= =
0:0 BB
WALD
WALD
B B
=
B̂
B̂) 1BB̂
Bˆ (B̂T B̂ )WALD
= I BB
T 3 statystyka h
Walda
dla H
: B T1h 3 T= 0
B̂ + B̂
B++WALD
T
==(WALD
B B
B T
statystyka
dla
H
:
,
2
1h
T Walda
T
T WALD
T ˆ
T h2
T ˆ0
0
B
=
WALD
0
statystyka
Walda
dla
H
:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
B
h
=
WALD
3
B
0
WALD
= (B
+
)
)]
]
[
]
hˆ
3
B̂
1 [ B̂
Th
T [ D 2 ( B̂ T h
Th
Th
T [ Dˆ2,(
3 B̂T h
T
1 T gdzie: TB
1 T
T
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T
3
3
3
3
WALD
= ( B h 3Walda
)Walda
[ D (dla
hH
[TB̂
h3=3=]0+0 [ B̂ h 3 ] [ D ( B̂ h 33 )]
)] 1 ((TB̂
B̂dlaH
B̂T hˆ 33
(B̂ B̂ ) B̂ + B̂WALD
(B̂ B̂)B B̂statystyka
=I
statystyka
Walda
dla
H
:
,
h
WALD
0
B
h
=
30:)]
0:BB
statystyka
0
h
WALD
B
3
T
3
B
h ˆ ,dla
Walda
H0: B h 3 =
− WALD
statystyka
Waldadla
dlaHH:0: B
WALD = WALD
BT hh 3==00, ,statystyka
WALD +
ĥ Bˆ ,3 i ĥ Bˆ Walda
B Walda
3
dla WALD
H0: B TBh 3 =statystyka
0
0 WALD
,3
3 B
B BWALDBBB statystyka
Θ
h
=
T
Walda dla H00: BBB hBT3BΘ
WALD = WALD B +WALD
WALDBB − statystyka Walda
= h0 .=
T
statystyka
Walda
dla 0H,:0:BBT hh 3==00
WALD B Walda
dla HWalda
WALDĥB statystyka
statystyka
0: B hdla
WALD
: TΘˆh =T 2 T ˆ
3 =H
0B
B
3
B
ˆ T hˆ ) T [ DB2 (B̂BT hˆ )] 1 [ B̂ T hˆ ] +H[0B̂
i
ĥ
ˆ ,3
WALD
= (B
h 3 ] [ D ( B̂ h 3 )] 1
ˆ ,3
h
B
B
T
3
3
3
B̂
,
1
i
statystyka
Walda
dla
H
:
,
h
ĥ
ĥ
B h 3 = 0WaldaT danejĥwzorem
B
BWyznaczenie
ALDB
0 statystyki
i
ĥ
ˆ
ˆ
B̂
,
1
parametrów
części determini3 , 3 wymaga estymacji ĥ
statystyka
dla H0: B h 3 = 0ĥBˆ ,3B,3i ĥ Bˆ B,(12)
WALD B BB
H1: Θh ≠
ˆ ,3
ˆ , 3 i ĥ B
B
BB T Walda
ˆ T, 3 h
ˆ ,3 T
B
B
h
2 T
1 aneks).
2 ˆˆh,1T= ˆ
1 związanych
T
T ˆ (por.
T ˆ
T ˆ
Θ
stycznej
w
kierunku
B
i
B
Estymatory
parametrów
ze
zmienną
zero-jedynkoˆ
ˆ
ˆ
,
1
h
=
WALD
=i (ĥBˆ h
D
+
D
)
[
(
h
)]
[
h
]
[
h
]
[
(
h
)]
(
h
)
⊥
B̂
B̂
B̂
B̂
B̂
dla
H
:
0
B
h
=
ĥ Bˆ Walda
ALD B statystyka
0
3
3
3
3
3
3
3
h =ˆ TˆhˆT ˆˆ T T 2 2 T ˆT ˆ 1 1 T ˆT ˆ
T ˆ T T 2 2 T T ˆ
T ˆ
B ,3
,3
1 1(T ˆ
T ˆ
( Bhhˆh
WALD
D2( B̂( B̂Thˆˆh
[ B̂humożliwiającej
h]3+] +[ B̂[ˆB̂
[testowanie
,)
33 )[statystyki
T)
B Bwą: ĥĥˆ Bˆ ,3i i ĥĥˆ Bˆ , 3(por. aneks), są podstawą
WALD
= =( B
D[ D2 (B̂(B̂
h h)]
)]3 ()]Θ
do wyznaczenia
Walda,
1( B̂
Thˆh
Thˆh
3 )] [ B̂
3 T][ D
ˆB̂B̂
3 ])
3))3] [
Dˆ T
1 WALD
2 ( B̂T ˆh3=)]
1 [h
T ˆ 3, 3 T
T ˆ3
T ˆ 3 = (B
T ˆ
T [ DWALD
T– ˆh
h
B, 3
B ,3
ˆ
3
3
3) + [ B̂
h
(
WALD
=
D
+
D
h
)
[
(
h
)]
[
h
]
[
h
]
[
(
h
)]
(
h
B
B̂
B̂
B̂
B̂
B̂
h
3
3
3
3
3
3
B̂
,
1
Θ
h
=
ˆ
B
,
3
h
2
1
2
1
T
T
T
T
T
T
T
T
strukturalnej
wyrazie
w okresie
ˆ hˆT ) [w
ˆ wolnym
ˆ ]t0:[ˆD,3 ( B̂ hˆT )] ( B̂
= (B
hˆT3Θ
hˆT3 ˆ)
ĥ Bˆ ,3 i zmiany
ĥ Bˆ WALD
h=[=B̂ h
2 hT3 ˆ)] [ B̂
ˆT ˆ3hˆ )T TD[ D(2 B̂
ˆ] +
, 3 WALD = (ˆB
(B̂T hˆh 3)])]1 [1 B̂
[ B̂TΘ
(B̂ˆB̂T,1hˆ3hˆ 3)])]1 1( (B̂B̂TΘ
B̂T Thˆ3hˆ 3]T]T[ [DD2 2h
WALD = (Θhˆ ) T [ΘDˆ 2 (hˆ
ˆhh
3) [ D ( B̂
3] ]++[ [
(
WALD
=
h
h
(
hˆh3h3) )=
B
B̂
Θ
h
3
3
3 =
3 h =
3
i
ĥ
h
Θh h
H
ˆ ,3
ˆ ,3
B
B
B̂ ,1
= ˆ ,3
H0:: Θh =
ΘˆhT =
hh
2 0,1 T ˆ
ˆ =) T [ D 2 (B̂ T hˆ )] 1 [ B̂ T hˆ ] + [ B̂T hˆ ]T [ D
B̂ ,(1B̂B̂
WALD = (Θ
h 3 )] 1 (hB̂T hˆ 3 )
BΘ
hhh
h B̂ ,1
3
3
3
ˆ =,31
h
H
ˆ ,3
B̂
,11:T Θh ≠
1
2
1h
T ˆ h
T = 2
T ˆ
T ˆ
T ˆ
T
T ˆ
h
ˆ
ˆ
Θ
≠
h
ˆ
H
:
,
1
ALD = ( B h 3 ) [ D h(B̂ˆ hhB̂3 )] [ B̂ h 3 ] + [ B̂ h 3 ] [ D ( B̂ hh 3=)] ˆ (,B̂
11 h )
h ˆ ,1
,1
,3 h
h = hhˆ ,1 3
Θh =
h
=
B̂ ,1
h
h
ˆ
,
3
T
2
T
h
=
ˆ ,3
ˆ ˆ h 1 ˆ
H : Θˆh =
h h B̂ ,1
…
ˆ hˆ i B
ˆ hˆ
B h3 = 0
0 B h3 = 0
B
T
3
H0TWalda
:3Th 3 = 0dla HT 0: B T h 3 = 0 ,
= –1 BT Bh 1.statystyka
T
ˆ (B̂TgB̂1 WALD
B̂0 :) B1B̂
) B̂ + B̂(B̂H
ˆBT hˆ i B
ˆ T hˆ B
h 3==I 0 HB: h 3T = 0≠
3
3
h 3T = 0I B T h 3 ≠ 0
Bˆ (B̂T B̂ H) 1:B̂hT +≠ B̂0(B̂1T B̂B) 1B̂
T
1
–
T
T
g 1 WALD
=T B1 hBT1 statystyka
Walda
dla H0:≠B T h 3 = 0
3≠
H:
B̂) B̂ B =+ WALD
Bˆ (B̂T B̂ ) 1WALD
I 1 BB h 3 0 BBT hh33 = 00 i B T h 3 = 0
B̂T + B̂(=B̂WALD
T
T
zmiany
strukturalnej...
WALD T=H
WALD
585
Bh = 0
: BTestowanie
0 B
hB 3+T=WALD
H0:Bh 3 B
=0
B h 30 = 0 i B
= 0 ˆ 3T ˆ
Th
3T ˆ
ˆ
i
B
h
B
h
statystyka
Walda
dla
H
:
,
WALD = WALD
+
WALD
0
B
h
=
WALD
3
B B
B
3 3 T
T0
statystyka
hˆ 3 ≠Walda
h 3H≠0:0B T h 3 = 0 ,
0 Bdla
1: B
H1:ĥh 3 ≠i 0ĥ WALDB
ˆH
ˆ Th
Bˆ T h
i
B
ˆ ,3
ˆ ,3
3
3
T
B
B
(B̂3 T=B̂ 0) 1 B̂T + B̂
(B̂T B̂) 1B̂ T = I
statystyka
WALD BWalda
dla H0: Walda
B T h 3 =Tdla
0 , =H00: iBˆB Th
WALDB statystyka
T
h
h
=
0
statystyka
Walda
dla
H
:
B
h
0
3
3
H0 : B T h 3 =WALD
0 BBˆTBh(3B
0
=
T
1 T
T
1 T
3 = 0
T ˆ
TT B̂ B̂
2 ) T ˆB̂ +1B̂ (B̂
T ˆ B̂) B̂ T=ˆ I T
ˆ
WALD
=
D
+
(
h
)
[
(
h
)]
[
h
]
[
h
]
[ D 2 ( B̂BT hˆ 3 )] 1 ( B̂T hˆ 3 ) B
B̂
B̂
B̂
WALD
=
WALD
+
WALD
(13)
dla H0: 3TB h
WALD B statystyka
3
B3
ˆ≠3T hˆ= 0i B
ˆ T3 hˆ
B B H :Walda
T
B
3
B h 3 03
1 B h 3 ≠B0 B
WALD = WALD B + WALD B
T
statystyka
T
1 T B
T
1 T Walda dla H0: B h 3 = 0 ,
WALD
TΘh =
T
B B
ˆ (aneks)
Zĥ Bwłasności
ĥ3ĥ3=(por.
wynika,
że
statystyka
(13) jest ograniczona, tzn. Op(1).
ˆ ,h
ˆ , 3 i ĥB
B̂
B̂
B̂
B̂
B
B̂
)
+
(
)
=
I
B̂
B̂
= 0 iĥB
h
0
3 3estymatora
B
i
ˆ ,3
ˆ ,3
B
B
statystyka Walda dla H0: B T h 3 = 0 ,
WALD
B
WALD B statystyka Walda dla H0: B T h 3 = 0
ĥ Bˆ ,3 i ĥ Bˆ , 3
ˆBT hˆ T i B
ˆhTTB̂hˆ,1 2 T WALD
WALD
1 =T WALD
1
T ˆ
T
T ˆ
T ˆ
3 ˆ
3
B +
B2 (11)
ˆ
ˆ
ˆ
WALD
Alternatywną
układu
wyprowadzić,
2 ]+
2h )T ˆ
T Walda
T hdla
T ˆ
TD
TT )]
T ˆ
= ( B hpostać
) WALD
[ Dstatystyki
(WALD
h 31hipotez
hmożna
B̂= h
B̂Walda
B̂
ˆ3 )]
ˆ [)B̂
ˆh ]T=([B̂0D
3h
3 ( B̂ [h
3h
statystyka
(
D
h
[
)]
[]B̂[dla
hˆ 3 H
]( +
(3B̂ h 3 )] 1 ( B̂wykorzystując
h3 )
B
B
0:[ B̂
3
3
33
B
ˆ ,1
TΘ (por.
11 Perron,
TT
T
1 2009)
TT B dla
B
macierz
restrykcji
Yabu
modelu
jednorównaniowego.
Hipotezę
zerową
można
ˆ
h
=
T
2
2
1
T
T
T
T
T
T
B̂
B̂
B̂
B̂
B
B̂
(
)
(
)
=
+
I
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
B̂
B̂
statystyka
Walda
dla
H
:
,
B
h
=
0
WALD
WALD = ( B h 3 ) [ D (B̂ h 3h)]ˆ [ B̂ h 3 ] + [ B̂ hB 3 ] [ D ( B̂ h 3 )] ( B̂ h 3 ) 0
3
,
3
Θ
h
=
Θ
wówczas zapisać jako h = B , gdzie:
B
ĥ Bˆ ,3 i ĥ Bˆ , 3
WALD =hWALD
ˆ ,3
Walda dla H0: B T h 3 = 0
WALDBB statystyka
B + WALD
Θh =
h B̂ ,1
ĥhBˆB̂,3,1 i ĥ Bˆ , 3
T
ˆ 0T h
,ˆ 3 ) T [ D 2 (B̂ T hˆ 3 )] 1 [ B̂ T hˆ 3 ] + [ B̂T hˆ 3 ]T [ D 2 ( B̂T hˆ 3 )] 1 ( B̂T hˆ 3 )
h = h Walda
H : Θstatystyka
WALD
B B dla H
B
0: B h=3 (=
h B̂ ,1
hWALD
ˆ ,1 0B
ˆ ,1
,
h = WALD = ( B
h=
ˆ T hˆ ) T [ D 2 (TB̂ T hˆ )] 1 [ B̂ T hˆ ] + [ B̂T hˆ ]T [ D 2 ( B̂T hˆ )] 1 ( B̂T hˆ )
h ˆ ,1 hWALD
3
3
3
3
3
≠ h ˆ ,3ĥWalda
dla3 H :
i
ˆ , 3 H1:B Θhstatystyka
ĥ
ˆ , 3 Θh0 = B h 3 = 0
ˆ ,3
B
B
h=
h ˆ ,3
h hˆ ,=3
h ˆ ,3
Θ
T
1
ˆ
B
B
– WALD
Θ
WALD
(
) T [ Dˆ =2 ((hˆB
h
=
ˆ) T hˆ ]) Th([B̂D,1hˆ2 (–B̂ T )hˆ )] 1 [ B̂ T hˆ ] + [ B̂T hˆ ]T [ D 2 ( B̂T hˆ )] 1 ( B̂T hˆ )
h ˆ ,3
3
3
3
3
3
3
h = h B̂I,1M×M ],
macierz
restrykcji
ΘH=0:[ 0ΘM×M
h ˆ ,1
=
H0: Θĥh
i
ĥ
T
2
T
1
ˆ (hˆ )Θ h
ˆ
ˆ ,3
ˆ , 3WALD
B
B
(Θhˆ ) [Θ
ΘD
h =M
× 1. ] =(Θhh)ˆ
H0: Θh = − wektor zerowy=o wymiarach
h
ˆ ,1
Θ
≠
h
,3
H
:
1
H 1: Θ h ≠
h =2 T
1
T ˆ
T
T ˆ h
ˆ
ˆ
h
WALD = ( B h 3 ) [ D (B̂ˆ ,3hh3 )] [ B̂ h 3 ]ˆ+,3[ B̂T hˆ 3 ]T [ D 2 ( B̂T hˆ 3 )] 1 ( B̂T hˆ 3 )
H1: Θh ≠
B̂ ,1T
2
T
1
Statystyka Walda dla
układu
hipotez:
T
h) hˆˆ T,–3h] 1) ( [ hˆDˆ– (hˆ)) ] ( hˆ – )
ˆ – WALD
ˆ =2 ((hˆΘ
Θ
WALD
(
)
[
D
h
=
ˆ ,1
T h =ˆ 2 ˆ
H0: Θh =
– =) T
WALD = (Θhˆ – )Θ
[ D (h ) T ] 1 ( hˆ h
ˆ
ˆ 2 ˆ T 1 ˆ
h
(14)
Θ
h1)= [ˆΘ
=: (Θ
, 3ˆD (h )Θ ] (Θh )
T WALD
2 H
T h
ˆ
ˆ
ˆ
WALD
D (h )0Θ ] (Θh ) H1: Θh ≠
=2 (Θhh)T [Θ
T
1
ˆ)
h ˆ ,3
B̂ ,1 ] (Θh
WALD = (Θhˆ ) [ΘDˆ (hˆ )Θ
Θ
≠
h
H
:
h
1
jest następująca: ˆ ,1
T
ˆ
ˆ2 ˆ T 1 ˆ
h=
H0: Θh = WALD = (Θh – ) [ D (h ) ] ( h – )
h ˆ ,3
(15)
WALD = (Θhˆ – ) T [ Dˆ 2 (hˆ ) T T ] 1 ( 2 hˆ – T) 1
h ˆ ,3
H1: Θh ≠ WALD = (Θhˆ ) [ΘDˆ (hˆ )Θ ] (Θhˆ )
WALD = (Θhˆ ) T [ΘDˆ 2 (hˆ )ΘT ] 1 (Θhˆ )
Θ
Przy założeniu,
H0: hże= jest wektorem
WALD zerowym,
) T [ Dˆ 2 (hˆ (15)
) T sprowadza
] 1 ( hˆ – )się do postaci:
= (Θhˆ – równanie
H1: Θh ≠
WALD = (Θhˆ ) T [ΘDˆ 2 (hˆ )ΘT ] 1 (Θhˆ ) (16)
WALD = (Θhˆ – ) [ Dˆ (hˆ ) ] ( hˆ – )
W przypadku, gdy moment wystąpienia zmiany strukturalnej nie jest znany, zaproponowano
ˆ statystyki
odpowiednieWALD
uogólnienie
1993):
) T [ΘDˆ 2 (hˆWalda
)ΘT ] 1(Andrews
(Θhˆ )
= (Θh
T
2
T
1
supWALD = sup WALD (τ )
τ
supWALD = sup WALD (τ ) supWALD = sup WALD (τ )
(17)
τ
τ
τ ∈ (0 , 1)
gdzie τ ∈ (0 , 1) charakteryzuje moment
zmiany strukturalnej, zdefiniowany jako
τ ∈ (0wystąpienia
, 1)
t 0 = τT ; T – liczba obserwacji w próbie.
sup
WALD (τ )
t 0 = τT ; T
= τT ; T= sup
t 0 WALD
τ
supWALD = max WALD (τ )
Najistotniejsza
zmiana strukturalna odpowiada τ, dla którego wartość statystyki Walda jest naj0<τ <1
supWALD
= max WALD (τ )
)
WALD (τzmiana
= max
τsup
0w, 1)którym
∈ (WALD
0<τ <1
wyższa. Procedura znalezienia
momentu,
wyrazu wolnego w próbie,
0<τnastępuje
<1
polega 1nadla
wyznaczeniu
t [τT ] następującej statystyki:
ut =
t 0 = τT ; T
1 dla t [τT ]
0u tdla
1 dla t [τT ]
= t < [τT ]
ut =
0 dla t < [τT ]
supWALD
0 dla
t < [τWALD
T]
(τ )
= max
(18)
τ
0
1
<
<
vt = y t
vt = y t
vt = y t
ρ IR
0
1 dla t [τT ]
yt =
y t 10+ et
ut =
ρ
I
0y = I M RR
0ρ Idla
t <0[τT ]
y t 1 + et
t
R
0 IM R
yt =
y t 1 + et
0 IM R
e ~ N (0, I ), a ρ < 1
τ
586
τ ∈ (0 ,E1.)Go siń ska
t 0 = τT ; T
W hipotezie zerowej przyjmuje sięsup
h3 (τ)
= 0, =przy
maxzałożeniu,
WALD
WALD (τ )że h3 (τ) jest wektorem parametrów
τ
0
1
<
<
przy zmiennej:
ut =
[τT ]
.
0 dla t < [τT ]
1 dla t
vt = yt zatem wartości krytyczne dla poszczególnych testów
Rozkład statystyki (18) nie jest standardowy,
należy wyznaczyć symulacyjnie.
ρ IR
0
y tsup
yWALD
=
t 1 + e(
t τ)
WALD
=
0 I M sup
Rτ
4. Własnościτ testu WALD dotyczącego występowania zmiany wyrazu
etτ ~∈N(0(0, 1, )I ), a ρ < 1
wolnego
τ ∈ (0 , 1)
τ t=0 =t 0 τT ; T
Wartości
testu Walda danego wzorem
(13) zostały wyznaczone za pomocą symulacji Monte
t 0 = τkrytyczne
T; T
vsup
=
y
+max
hjest
Carlo, przy założeniu prawdziwości hipotezy
zerowej,
co
warunkowi h3 = 0. Przyjęto
(τ )
WALD
t
t + h 1=
3 uWALD
t równoważne
0<τ <1
sup
(
)
max
WALD
WALD
τ
=
także, że parametry
0<τ <1związane z pozostałymi zmiennymi deterministycznymi w procesie generującym
I
0
dane, których nie dotyczy hipoteza zerowa, są ρrówne
zero,
ponieważ statystyka Walda nie zależy od
y t = 1 R dla t [τyTt ]1 + sup
et WALD = sup WALD (τ )
u
wartości tych
parametrów.
t [τT ] Ostatecznie, proces
1 dla
0 I M R dane wykorzystany wτ symulacjach dotycząt = generujący
ut =
0 dla t < [τT ]
cych wartości
krytycznych
stochastyczną yt, przy założe0 dla
t < [τT ] ma postać vt = yt. Proces generujący składową
τ ∈ (0 , 1)
e
~
N
(
0
,
I
)
t
niu, że jest R wektorów kointegrujących, można zapisać następująco (por. Toda 1994; 1995):
vt = =yt sup WALD (τ )
supWALD
vt = y t
1 dla
[τT ] t 0 = τT ; T
τ t
ut =
IR t <0[τT ]
0 ρdla
WALD = max WALD (τ )
τ ∈ (0y, 1t )=
(19)
ρ IR
y t 1 +sup
et 0
0<τ <1
0 IM R
yt =
y t 1 + et
0 IM R
v = y + h 3u1t
t 0 = τtT ; Tt
1 dla t [τT ]
et ~ N (0, I ), a ρ < 1
ut =
gdzie et ~ N (0, I ), a ρ < 1 oznacza parametr
ωh1
h3 =autoregresyjny.
0 dla t < [τT ]
τ = t0 T
0<τ <1
ω,Rωstacjonarnych
τ = t 0 Trównanie zakłada, że istnieje
∈ {1; 1,5; 2} oraz M − R niestacjonarnych szeregów,
Powyższe
vt = y t
t = yt + h 1 + h 3u t
stąd rząd
wynosi
R.
τ =1 v0,5
[
]
dla
t
T
τ
vt kointegracji
= yt + h 1 + h
u
3 t
u t = przyjęto, że parametry związane ze składnikami determiW symulacjach wartości krytycznych
ρ IR
0
0 dla
ρI Rρt dane.
I<R [τ0T ]Liczba
0
y,t = wynosiła 100
y t 1000.
+ et Wartości
nistycznymi ρ
sąI równe
zero w procesie generującym
losowań
y
=
y
+
e
0
e
y
=
y
+
e
t
t t 0
IM R
R
t
t 1 t 1 t
0
I
=
+
y
y
e
0
I
krytyczne
dla poziomu istotności
t dla testu WALD t wyznaczono
1
t
M RM R 5%.
0 IM R
vt = y t
Podsumowując, wartości krytyczne dla
testu WALD zależą od liczby
obserwacji
ρ < 1 (T ), liczby
(0,0,8;
I ), a w próbie
(0, I0,3;
) 0,4; 0,5; e0,6;
t ~ N
t ~ N0,2;
∈e{0,1;
0,7;
0,9}
τ
zmiennych
w(systemie
(M ), wartości parametru autoregresyjnego (por. ρ we wzorze 19), rzędu kointeet ~ N
0, I )
ρ IR
0
τ = t0,7;
gracji (R) oraz momentu wystąpienia zmiany
τ,[τgdzie
y t ρ= ∈ strukturalnej
e]t 0,6;
+T0,5;
1 dla
{0,1; 0,2;
0,3;yt (0,4;
0,8; 0,9}
0 T ).
u0t = I M R t 1
τ
1
dla
t
[
T
]
Analiza
także
testu. Moc testu WALD
u t = własności testu polega na obliczeniu 0mocy,
ta<0,5;
[τT0,6;
] rozmiaru
v =0,8}
yt + h 1 + h 3u t
0,4;
0,7;
τ ∈ {0,2; 0,3;dla
0 dla tsymulacyjnie
< [τT ]
została wyznaczona
przy założeniu prawdziwości hipotezyt alternatywnej.
Oznacza to, że
et ~ N (0, I ), a ρ < 1 f
f
–
–
–
w procesie generującym dane występuje niezerowy
φ (CDS t deterministyczną
q t = vφt1 [(
I t ∆ p t )]ze+ zmienną
CDS t f ) + εt
= Iyt tparametr
+∆hp3tu)1t– ( związany
ρ I3R
0
v
=
y
+
h
u
t
t zmianę
3 1t strukturalną. Założono zatem, że DGP ma postać:
reprezentującą
yt =
y t 1 + et
τ = t0 T
0 IM R
ωhp1t + p tf ; ex t
q t =hex
3 =t –
h3 = ωh1
vt =f y t + h 1 + h 3 u t (20)
et ~ N (0, I )
p t ω, ω ∈ {1; 1,5; 2}
ω, ω ∈ {1; 1,5; 2}
I t τρ=I 0,5 0
1 dla t [τT ]
R
τ = 0,5
yt =
y t 1 + et u t =
0 dla t < [τT ]
0 ρII M R 0
I tf
R
ρI R
yt =
y t 1 + et , et
0
IM R
yt =
y t 1 + e t , e t e ∆~p N (0, I ) 0
v t = y t + h 3u1t
t
t
0
I
M R
0,7; 0,8; 0,9}
∆ ptτf 1∈ {0,1;
dla t0,2;[τ0,3;
T ] 0,4; 0,5;
h 0,6;
= ωh
3
1
0
IM
t t[τT[τ]T ]
1 1dladla
vt = y t
u t u=t =
τ 1 dla t [τT ]
t 0 = τT ; T
0 0dladla
t <t[τu<Tt []=T ]
et ~ N (0, I ), a ρ < 1
0 dla t < [τT ]
ρ IR strukturalnej...
0
τ
Testowanie
zmiany
587
supWALD
y t == max WALD (τy)t 1 + etv =vt y= yt
τ = t0 T
t
t
0<0τ <1 I
M R
vt = y t
τ ∈ (0 , 1)
ρ IR
vt = y t + h 1 + h 3 u t supWALD = sup WALD (τ )
0 0 y +e
y
=ρ IR
t
,
ρ
a
~
N
(
0
,
I
)
[
]
t
T
1τ edla
τ
<
1
yt =
y t 1 t+ρ1eIRt t 0
t
ut =
gdzie:
t 0 = τT ; T
y t 1 + et
0 0 I M IRMy tR =
0 dla t < [τT ]
0 IM R
τ ∈ (0 , 1)
ρIR
0
t
T
=
τ
0
yt =
+ et WALD
,a ρ
,
supWALDy t 1max
(τ )
et ~et N~(N
0,(I0),, Ia) ρ < 1< 1
0 I M R = 0<τ<1
et ~ N (0, I ), a ρ < 1
t 0 = τT ; vTt = yt v = y + h + h u
t
t
1
3 t
= t0 T
τ
τ = t0 T
et ~ N (0, I ) , 1 dla t [τT ]
τ = t0 T
ut =
0
0ρ
<τI
<1R
vt y= y+t h+ h+1h+ uh 3 u t
ρ I R y 0+ e
τ
y
=
v
=
[
]
0
dla
t
<
T
1 dla t [τT ]
t
t
1
3 t
t
t 1
ty
t 1 + et
vt = y t + h 1 + h 3 u t
0y t =I M 0R I
ut =
M
R
1 dla t [τT ]
0 dla t < [τT ]
ρI
0
ut =
vt = y t
y=t =ρ I R R 0 y y t+ρ1eI+ et 0
,
ρ
a
~
(
,
)
N
0
I
<
1
τ
y
[
]
0 edla
t
<
T
et ~ N (0, I )
t
t
t 1
tR
y t 1 + et
0 0 I M IRMy tR =
v
=
y
+
h
u
t
t
3
1
t
0
IM R
We wszystkich eksperymentach
dotyczących mocy testu liczba losowań wynosiła 10 000.
ρ IR
0
τ =t t 0 T
1 dla t [τT ]
yt =
~(N
tN
vt zależy
=yyt t1 + eod
et ~eh
0,(I0), I )
Statystyka testu
WALD
nie
wyrazu
u t = wolnego, więc wektor
0
I
1 można pominąć (Perron,
M
R
h3 = ωh1
et ~ N (0, I )
0+ hdlau t < [τT ]
Yabu 2009). Wzór (20) można wówczas vzapisać
następująco:
=
y
+
h
1
dla
t
[τT ]
t
t
1
3
t
ρ
0
u=t =1 dla t [τT ]
~ N 2}
(0, I ), ay ρ= < 1 IR
u
ω, ω ∈ {1;et1,5;
t [τT ]
y t 1 + et
t
t
τ 1 dla(21)
0 I M vR t = y t + h 3u1t
0 0dladla
t <t[uτ<Tt [=]T ]
ρIR
0
0 dla t < [τT ]
τ = 0,5 τ = t 0 T
yt =
y t 1 + et
v
y
h
u
=
+
et ~ N (0, I ), a h0ρ3 =
< 1IωMh1R
v t =t y t + th 3u1t3 1t parametrów
Następnie
v t = y t + h 3u1t
ρI R założono,
vt 0= y t +żeh 1znany
+ h 3 u t jest moment wystąpienia zaburzenia oraz wartości
,
y t = ze zmianą wyrazu
y t 1 + eτwolnego.
związanych
W
celu
wygenerowania
danych
ze
zmianą
strukturalną
naleω
h
=
h
t = te t T
et ~ N (0ω,,I )ω ∈ {1; 1,5; 2}
h3 =3 ωh1 1
0
0
IM R
ω
h
=
h
żało określić wielkość zaburzenia.
procesu: 3
1 . Moc
ρIR
0 Przyjęto, że h3 jest proporcjonalne do średniej
ω{1;
∈ {1;
0,5 [współczynnika
=dla
yt =
vt =y ty1różnych
+ eht 1 1
+τh
τT ]
1,5;1,5;
2}.2}
ω, ωω, ∈
testu została oszacowana
dla trzech
wartości
W eksperyt+
3u t t
u t = 0,8; 0,9}
τ ∈ {0,1; 0,2; 0,3; 0,4;
0 0,5;
I M R0,6; 0,7;
ω, ω ∈ {1; 1,5; 2}
= 0,5 , natomiast parametr
mencie przyjęto, że zmiana strukturalna następuje
0 dla ρt w
< środku
[τT ]0 próby, stąd
τ =τ0,5
I
R
I R 0,8;
ρ ∈ {0,1; 0,2;
τ = 0,5
0,3; 0,4;
autoregresyjny
ρewynosi
, I ) .0,5; 0,6;ρ0,7;
y0t 0,9}
=y + e
y t 1 + et , et
t ~ N (00,5
yt =
t 10
t I
ρ
I
0
R
M
R
ρ
Rezultaty przedstawione w tabeli 20vprowadzą
wniosku, że moc testu
WALD
ze wzroI R hdo
I R rośnie
0 wraz
,
t = yMt +
3u1t
τ ∈ {0,2; 0,3; 0,4;10,5;
y t y=t = 0
y t y1 t+ρ1Ie+Rt ,e te t 0e t
τT ] 0,8}
dla0,6;
t [0,7;
I
stem liczby obserwacji,
stochastycznych.
M
R
u t = wielkości zaburzenia oraz liczby wspólnych trendów
,
0
I M Ry t =
0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7;
0,8;
0,9} 0 I M R y t 1 + e t
et [~τTfN](h
0, I ) ωτh∈ {0,1;
W
testu WALD na założenie dotyczą∆ p t ) 0– (dla
∆przeanalizowano
q t kolejnym
I t f –t <
p t )] +3φ=3 (CDS
CDS t f ) + mocy
εt
= φ1 [( I t –eksperymencie
1 t –wrażliwość
∈ {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9
τ {0,1;
0,2;
0,3;
0,4; moc
0,5; 0,6;
τ∈
ce normalności rozkładu składników losowych.
wartości
krytyczne
oraz
testu0,7; 0,8; 0,9}
0,3; 0,4; 0,5;
0,6;
0,7;
0,8;
0,9}
1 dla tρ ∈Ponownie
[τ{0,1;
T ] 0,2;obliczono
τ ∈ {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,
f
,
{1;
1,5;
2}
ω
ω
∈
u
=
v
=
y
+
h
u
t
t
t
3
1
t
–
q
ex
p
+
p
ex
=
ρ
(por. tabela
3)t dla składników
(z{0,1;
pięcioma
stopniami
swo- 0,7; 0,8; 0,9
t
t
t ;
t losowych pochodzących z rozkładu t-Studenta∈
ρ ∈0,7;
{0,1;
0,2;0,2;
0,3;0,3;
0,4;0,4;
0,5;0,5;
0,6;0,6;
0,7; 0,8; 0,9}
0 dla tτ<∈[τ{T0,2;
] 0,3; 0,4; 0,5; 0,6;
0,8}
ρ
{0,1;
0,2;
0,3; 0,4; 0,5; 0,
∈
body). Przyjęto
zatem,
że
proces
generujący
składową
stochastyczną
ma
postać:
0,5
=
τ
f
ω
h3 = h1
∈ {0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8}
pt
f
0,8}
∈τ {f 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; f0,7;
εt 0,5; 0,6; 0,
v t = y t + h 3uq1t t = φ1 [( I t – ∆ p t ) – ( I t – τ∆ p t )] + φ3 (CDSτt ∈– {CDS
t ) +0,4;
0,2;f 0,3;
f
ρ
I
0
–
–
∆
∆
q
[(
I
p
)
–
(
I
p
ω, ω ∈ {1; 1,5; 2}
R
f
f
φ
=
It
t )] + φ3 (CDS
– tC
p t ) –t ( I t –t ∆ p(22)
= t φ1 [( I1 t – t∆(5)
yt =
y t 1 +f e t , e t q~t t-Studenta
t )] + φ3 (CDS
t
–
∆
q
[(
I
p
) – ( I tf – ∆ pt
φ
=
ω
h
= h1
0
I
–
t
1
t
t
q
ex
p
+
p
ex
=
3
M
R
;
t
t
t
t
t
τ = 0,5
f
I tf
q t ex
p t p+ f pex
= ex– t p– +
t ; ex t
qt =
t
t
t ;
t
f
f
1,5;
2} 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9} q t = ex
ω, ω ∈
p t 0,2;
{0,1;
∈do
τ {1;
t –e pnie
t + p t ; ex t
Wyniki zawarte w tabeli
3 0prowadzą
wniosku,
że zmiana rozkładupskładników
losowych
f
ρ
I
t
R
∆ pt
, et
y t = mocy testu
y0,5
p tf t
t 1 + et
f
powoduje pogorszenia
0
I M τR=WALD.
I
ρ
{0,1;
0,2;
0,3;
0,4;
0,5;
0,6;
0,7;
0,8; 0,9} p t
∈
t
f
I
∆
p
t
Dodatkowej
analizie poddano wpływ momentu wystąpienia zmiany
t
I t strukturalnej na moc testu
ρI R
0 f 0,3;
It
I
{
0,2;
0,4;
0,5;
0,6;
0,7;
0,8}
∈
0,4;
0,5;
0,6;
0,7;
0,8;
0,9}
WALD. Przyjęto τ ∈ {0,1; 0,2; 0,3;
dla
systemu
czterech
zmiennych,
w któτ
f
t
yt =
y t 1 + et , et
f It
CDS t
I
0
I
t
f
M
R
rym rząd kointegracji wynosi 2. Bez względu na to, czy zmiana
strukturalna wystąpiłaI naf początku,
ρ ∈ {0,1; 0,2; 0,3; 0,4;q t0,5;
– ∆ 0,8;
t
[(pI t0,7;
p t ) –0,9}
( I t f – ∆ p tf )] + φ3 (CDS t – CDS
= φ0,6;
1∆
t ) + εt
f na końcu próby, moc testu
∆ pttabela 4).
w środku
czy
WALD
nie
zmienia
się
istotnie
(por.
CDS t
∆
p
t
0,2; 0,3;f 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}
τ ∈ {0,1;
∆ma
pt parametr
0,3;moc
0,4;
0,5; 0,6;
0,7; 0,8}
∈ {0,2; na
Zbadano, jakiτ wpływ
testu
w procesie
generującym składową stochastyczną
f
q t = ex∆t p–t p t + p tf ; ex t
∆
f pt
∆
p
ρ {0,1;f –0,2; 0,3;
t . Wyniki zestawiono
0,4; 0,5; 0,6;
0,7; 0,8; 0,9}
autoregresyjny, zakładając, że
w taf
– CDS t f ) + εt
∆ pt f
q t = φ1 [( I t – ∆ p t ∈
) – ( fI t f ∆ pCDS
t f)] + φ3 (fCDS t
t
CDS
beli 5.qDla
ω > 1,5– moc
sięt niewrażliwa
wartość CDS
ρ. Dla małych
wartości ω moż– ∆WALD
CDStestu
p t ) – ( okazała
I t p– t CDS
– ∆ p t )] + εna
t
t
t = φ1 [( I t
t
t
0,3; 0,4;
0,5; 0,6; 0,7;
0,8}
τ ∈ f{0,2;
CDS t
f
na zauważyć niewielki
spadek
mocy
testu
wraz
ze
wzrostem
ρ
.
f
q t = ex t – p t + p t ; ex t f CDS t f
CDS
f f
ff t
I
f
f
∆=ptφ)1 [(
qt = φ0 rozważanego
+ φ1 [( I t – CDS
– It(tI t– ∆– pCDS
–t tot
+t ε)tlosowań.
– 10
φ2 3(tot
) – (t I t– –∆∆p tp t)]na
)]++φpodstawie
(CDS
+ εt
Rozmiar
testu
Wartości
t )000
t –q t wyznaczono
t CDS
tCDS
tsymulacyjnie
f
CDS t f
p
fbraku zmian strukturalnych (H ), a następnie obliczono prawt
statystyki wygenerowano
przy założeniu
It
0
φ0
q t = ex t – p t + p tf ; ex t
f
It
–t fCDS
qt = φ1 [( I t – CDS t – ∆ p t )q– =q( tIφt=f [(–φI1CDS
– ∆– pt∆–tf ∆
)])p+–t )ε( tI– f( I–t f CDS
[(–I tCDS
– CDS
f t –
∆p
p
–
t
t
t
t
t
t
1
∆
pt
qt = φ1 [( I t – CDS t – ∆ p t ) –
tot t – tot t f f
p tf
It
I tCDS
I–t f CDS
–t fCDS
–2 (f(tot
– CDf
(0Iφt+f [(φ
qt = φ0 + φ1 [( I t – CDS t – q∆ p=qtt )φ=–φ
CDS
p–tfp∆)])p+–t )φ
–I1 [(
–∆
f
t∆
t – tot
(
I
–
–
+
∆
p
t
t
0
1
t
t
t
t
t
It
qt = φ0 + φ1 [( I t – CDS t – ∆ p
∆ pt
φ0
φ
R
h3 = ωh1
ω, ω ∈ {1; 1,5; 2}
τ = 0,5
588
ρI R
0
yt =
ρ IR
0ρ I
0
Ry
t 1 + et y
y
=
t
t 1 + et
0 I M 0R I
M R
siń ska
et ~ N (0e, I )~, aN (ρ0,EI<). 1,Go
a ρ <1
t
y t 1 + e t ,τ e=t t 0 T
τ = t0 T
0
IM R
dopodobieństwo odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej. Na podstawie tabeli 6 można stwierdzić, że
vt = y t +vh =
1 +y h+
3 uh
t + h u
t 0,9}
t
1 testu
3 t WALD wynosi blisko 5%.
{0,1; 0,2; 0,3;
0,4; 0,5; 0,6;
0,7; 0,8;
we
rozważonych
przypadkach
wielkość
τ ∈wszystkich
Analiza własności testu supWALD składała się z dwóch etapów. Najpierw w wyniku kolejnych eksρ ∈ {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7;
0,9}
ρ I0,8;
0ρ I
R
0
perymentów wygenerowano
ze
zmianą
w wyrazie wolnym w różnych okresach,
R ystrukturalną
y t dane
=
t 1 + et y
y
=
t I
t 1 + et
0
M 0
R
τ ∈ {0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8} . Następnie
wyznaczono
moment w próbie, dla którego statystyka
IM R
Walda osiąga
najwyższą wartość. W
każdej
ze statystyk powtórzono eksperyment 500 razy
f
q t = φ1 [( I t – ∆ p t ) – ( I t f – ∆ ep tf ~)] N
(03e,(przypadku
ICDS
) t – CDS
+φ
) t ) + εt Walda otrzymano dla okresu, w którym zmiat ~ N (0, Istatystykę
i sprawdzono, w ilu przypadkach maksymalną
f
na
założona w
τdla
1 procesie
dla t 1 [generującym
T ] t [τT ] dane (por. tabela 7). Eksperymenty przeproq t strukturalna
= ex t – p t + pzostała
t ; ex t
ut =
u t = w którym występują dwa wektory kointegrujące.
wadzono dla systemu czterech
zmiennych,
T ] t < [τT ]
0 dla t <
0 [τdla
p tf
yt =
It
v t = y t + h 3u1t
It
h3 = ωhh
1 = ωh
3
1
v t = y t +złoty/euro.
h 3u1t
5. f Model VEC kursu walutowego
Wyniki empiryczne
Test
∆ pt WALD, supWALD (por. wzory 13 i 17) oraz model VEC ze zmianą strukturalną składowej determiω, ω ∈ {1;
nistycznej (por. wzór 8) zastosowano
do, 1,5;
systemu
objaśniającego
kurs walutowy złoty/euro. W analizo{1; 1,5;
2}
ω
ω
∈ 2}
f
∆
p
wanym
systemie można się spodziewać
zmian strukturalnych, wynikających z procesów rynkot
τ = 0,5 τ =wielu
0,5
wych
oraz
instytucjonalnych.
CDS t
ρI R kurs
Zgodnie z hipotezą CHEER realny
determinowany przez parytet siły nabyw0ρIwalutowy
0 e ,jest
R y
f
y
=
t
t 1 +
t y e t + e , e parytet stóp procentowych (UIP,
CDSwalut
y
=
czej
(PPP, ang. purchasing power
parity)
oraz
nieubezpieczony
t
t
t
1
t
t
0
I M 0R I
M R
ang. uncovered interest rate parity); por. Juselius, Johansen (1992). Kryzys finansowy w 2008 r. wykazał
konieczność rozszerzenia modelu
kursu
o zmienną,
która
aproksymuje
ryzyko finansowe (Kelm 2011).
0,3; 0,4;
0,5;
0,6;
0,7; 0,8; 0,9}
τ ∈ {0,1;
f
∈ f{0,1;
τ0,2;
εt 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}
q
= φ1 [( I t – CDS t – ∆ p t ) – ( I t f – CDS
– ∆ p0,2;
)]
+0,3;
t
t
t
Jedną z propozycji jest objaśnienie premii za ryzyko wycenami kontraktów CDS (ang. credit default
ρ ∈ {0,1;ρ0,2;
0,3;0,2;
0,4;0,3;
0,5;0,4;
0,6;0,5;
0,7;0,6;
0,8;0,7;
0,9}0,8; 0,9}
∈ {0,1;
swap,
2011;
Kębłowski,
objaśniające
realny kurs można wówczas
f
f
f
∆
qt = por.
pt ) – ( I t f –Welfe
CDS t2010).
–
– ∆ pRównanie
φ0 + Kębłowski
φ1 [( I t – CDS
t )] + φ2 (tot t – tot t ) + ε t
t
zapisać następująco:
0,4;0,3;
0,5;0,4;
0,6;0,5;
0,7;0,6;
0,8}0,7; 0,8}
τ ∈ {0,2;τ0,3;
∈ {0,2;
φ0
f
–
– ∆ p t ) ––( I t f – ∆ p tf )]
f
q t = φ1 [(qI t =
εt f ) + ε (23)
)] + tφ3 (CDS
CDStt –) +CDS
φ1 [( I t ∆ p t ) – ( I t f –+∆φ3p(tCDS
t
t
t
f
tot t – tot t
gdzie:
f
q t = ex t q– p=t ex
+ p –t ; pex+t p f ex
qt
− realny kurs walutowy
( t
t
t
t ;
t − nominalny kurs walutowy, pt − indeks
cen krajowych, pptff − indeksf cen za granicą),
t
pt
It
− krajowa długookresowa stopa
procentowa,
f
t
It
− długookresowa Istopa
procentowa
za granicą,
I
t
Δpt − stopa inflacji w kraju,
f
I tf
Δptf − stopa inflacji za granicą,I t
CDSt − wycena kontraktów
∆ pt CDS∆wp kraju,
t
CDStf − wycena kontraktówf CDS za granicą,
∆
p
t
∆ ptf związany z oczekiwanym ryzykiem.
εt − stacjonarny składnik
losowy
CDS t
CDS
t
Wycena instrumentu pochodnego dotycząca
ryzyka kredytowego (CDS) określa premię za ryzyko
f
f
CDS t CDS
zawartą w poziomie oprocentowania
obligacji
skarbowych
(por. Duffie 1999; Kębłowski 2015). Różnica
t
między poziomami CDS a stopami procentowymi pozwala zatem otrzymać stopy procentowe skorygowane o ryzyko:
f
∆ p tf )]f –+ ∆εtp f )] + ε
qt = φ1 [(qI t –= CDS
p t ) ––( I∆t fp–)CDS
– ( I t ft –– CDS
φ1 [( Itt –– ∆CDS
t
t
t
t
t
t
f
f
∆ ptf )]f + ∆
f
f
φ2p(tot
qt = φ0 +qφ1=[(φ
I t –+ CDS
pt ) ––( ∆
I t fp–)CDS
tf –
t – tot t ) + ε t
φ1 [( Itt –– ∆CDS
t )] + φ2 (tot t – tot t ) + ε t
0
t
t
t – ( I t – CDS t –
φ0
φ0
f
f
tot t – tottot
t
t – tot t
p tf
pt
It
It
I
I
p tf
∆ pt f
It
f
tf
t
It
CDS t
f
589
CDS t f
∆ pt
∆ pt
∆ pt
∆ ptff ∆ p f
∆ pt
(24)
qt = φ1 [( I t – CDS t – ∆ p t ) – ( I t f – CDS t f – ∆ p tf )] + εt t
CDS t CDS
f
CDS
∆ p ) – (wpływ
(tot – tot fokre)+ε
q = φ + mechanizmów
I f – CDS
p f )] + φ w średnim
– ∆walutowy
φ [( I – CDS –mających
Modelt CHEERt nie uwzględnia
na kurs
t
0
1
t
t
t
t
t
t
2
t
t
f
f
CDS
sie, np.
relacji
aktywów
zagranicznych netto do produktu krajowego brutto danego kraju, różnicy
t f CDS
CDS
t
t
między wydajnością pracyφ0w kraju i za granicą lub relacji tzw. warunków wymiany międzynarodowej
t
f
(ang. terms of trade) w kraju
i za granicą.
Model (24) można zatem rozszerzyć o zmienną definiującą
tot
f
t – tot
t f
∆
∆BEER
–
–
–
φ
q
=
[(
I
CDS
p
)
(
I
CDS
p f f)] +∆εpt f )]2013):
f –z –
t
t –która
t
t
1 q t=
relatywne
terms
of
trade,
wynika
hipotezy
∆
–
φ
[(
I
CDS
p
)
(
I t f t f–––CDS
∆ p tft )]–(Kelm
q = φ [( It – CDS
+ ε t + εt
t – ∆ p )t – ( I t – CDS
1
t
1
t
t
t
t
t
t
t
∆
∆ p )] +∆φ2 (f tot t – tot t ff ) + ε t f
(I
CDS
φ [( I – CDS
q t = φ0 +
t – ∆ pt ) –
(I
)] +t φ
(tott t) –+ tot
CDS
∆ p )]–+ φp2t(tot
qt = φ0 +qtφ=11 [(φI0tt +– φCDS
pt )t –– (∆I p ) –CDS
– 2tot
εt t ) + εt (25)
1 [( I t t –– CDS
gdzie:φ
φ0 wolny,
φ00 − wyraz
f
tot t – tot
tottt f t −– relacja
tot t f terms of trade w kraju i za granicą.
tot t – tot
Analizowana próba obejmuje dane miesięczne za okres od marca 2003 do maja 2014 r. Sprawdzono
możliwość występowania w tym czasie zmiany strukturalnej o charakterze zmiany wyrazu wolnego, co
pozwala następująco zapisać równanie (25):
f
tf –
t t–
f
f tf –
t t ––
f
tf f
tt
qt = φ0 + φ1 [( It – CDS t – Δpt ) – ( I t f – CDS t f – Δ ptf )] + φ2 (tot t – tot t f ) + φ3u t + εt
(26)
f
f
f
f
q φ + φ [( It – CDS
t ≥ t 0t – Δpt ) – ( I t – CDS t – Δ pt )] + φ2 (tot t – tot t ) + φ3u t + εt
gdzie: t =u 0= 11 dla
f
f
f
f
t+ φ [( I – CDS – Δ p ) – ( I f – CDS f – Δ p f )] + φ (tot – tot f ) + φ u + ε
qqt = φ
[(0Itt –dla
CDS
ptt ) – ( I tt f – CDS tt f – Δ pttf )] + φ22 (tot tt – tot tt f ) + φ33u tt + εtt
φ11dla
= φ00 +
t <tt t––0 Δ
≥
1
t
t
[(
–
–
+
I
CDS
p
)
(
I
CDS
p
)]
φ
(
tot
tot
Δ
–
–
Δ
–
φ
qtt u=
φ
+
0
t
t
t
t
t
t
t
t ) + φ3u t + εt
0
2
1
t =1 dla t ≥ t< ,
f
t0 –
0dla
f f
[([tIqt≥t–t 00CDS
– Δtp]tf )] + φ2 (tot t – tot t f ) + φ3u t + εt
φ=1dla
uuqtt =
= φ1
pt f t totr
10 v+tdla
t ≥t t 0 IFt t ΔΔptpt ) –IF(tI t –ΔCDS
t =
<
t
00 dla
t <moment
u tt =− nieznany
f
dla
–t 00CDS –wystąpienia
CDS
Δ ptf )] + φ2 (tot t – tot t f ) + φ3u t + εt
Δp f ) – ( I f f –zmiany
qt 0=vφ
q t1 [(ttIIF
totrt t] –strukturalnej.
=
t<
0+[φ
dla
t 01
≥ tt 00 Δptt IFt t Δpt t
uvt == [qqt IF Δp IF ff Δp ff totr ]
t f [(totr
– Δpt ) – ( I t f – CDS t f – Δ ptf )] + φ2 (tot t – tot t f ) + φ3u t + εt
It –tt CDS
qt tt =f φ0Δ+pφ
]
vtt = 1[0q tt dlaIFt tt ≥< tΔ
pt IF
t
t 1
[
]
v
q
IF
IF
totr
00 pt
q
Δ
p
Δ
=
t
t
t
t
t
t
t
t
objaśniającym kurs złoty/euro przyjęto, że krajem referencyjnym są Niemcy, ze
u t W
= równaniu
pt
< t0
f
f
dla
t ≥ t handlowej Polski. Przedmiotem rozważań był następujący
względu
ich
w1 wymianie
vqqttt =p 0[na
q t dla
IFt wysoki
Δpt udział
uIFt t = Δpt totrt0]
qt t p f t
f
f
system
zmiennych:
< t 0]
0 pdla ttotr
[q t IFt Δsześć
vppt t= zawierający
Δ
pt IF
t
t
t
qptt p t f t
t
IFt = ( I t – CDSvt ) [q IFt Δp IFt f Δpt f totrt ] f
(27)
t
qpppt tt ffIF ( I – CDS ) t = t
ptt t = t
t
gdzie:
It – CDS )
qt
ft = ( I
t)
qpIF
walutowy
(por. wzór 23),
IF
I t realny
– CDSkurs
p
tt t tI t = (−
IFt = (CDS
I tt – CDS tt )
t
pI tf
− indeks
krajowych
cen
towarów i usług konsumpcyjnych (2010 = 100),
pt
pt CDSIt – CDS )
IIF
t
t
Ipttttf t = (IF
f
f
f
− indeks
towarów
i usług konsumpcyjnych w Niemczech (2010 = 100),
– CDS
( I tcen
t =
tf )
CDS
f
f
tf
CDS
p
–
t
IF
(
I
CDS
)
t
−
krajowe
stopy
procentowe wolne od ryzyka,
IF
(
I
CDS
)
–
=
=
t
t
CDS
It t tt t f t
f
f
f
I
–
f
f
f
IIF
−((tIInominalna
krajowa stopa procentowa (oprocentowanie 10-letnich obligacji),
t f – CDS
t t f f =
IF
CDS t f ))długookresowa
IFt = ( I t – CDS t )
tI =
ICDS
t ( I t –f CDS t )
t t t =
IF
t
t pochodny ryzyka kredytowego dla Polski,
CDS
−
instrument
t CDS
t
f
II t ff CDS
f
f
f
CDS
It
procentowe dla Niemiec wolne od ryzyka,
IF
I tt f t t=f (t I t – CDS t ) − stopy
f
f
f
CDS
totr
(
tot
tot
)
–
=
fdługookresowa
t f − nominalna
t
t
t
f
f
f
IIF
stopa procentowa dla Niemiec (oprocentowanie 10-letnich obligacji),
CDS
) CDS t
– CDS
=ttft(=I t (tot
t – tot
CDS
t t)
Itt fttotr
f
CDS
instrument
pochodny ryzyka kredytowego dla Niemiec,
t −
totr
(tot
f
f t =f tot
t tt –
tot tt ff ))
– tot
– CDS t f )
IFt f = ( I tterms
tot=t ((tot
CDS
Itotr
t t =
−
relatywne
of trade,
totr
tot
tot
)
–
t
t
ft
ff tot t
tot
f
t
f
− relacja deflatoraI t polskiego eksportu do deflatora polskiego importu (2010 = 100),
CDS
tottot
totr
tot tt ft t=t (tot t – tot t )
f Niemiec
f
relacja
deflatora
eksportu
do
importu Niemiec (2010 = 100).
f
tot
f
q−ttot
+ βIF
+ βdeflatora
p( tIF
) –ft f (–IF
totqtt f +
21 [(–IF
t –∆
61 totrt + β71 + β 81u t = ε 1t
–CDS
∆tptf–)]∆+ptβ61)]totr
totr
21 [(
t
t
t + β71 + β 81u t = ε 1t
t = (β
t – tot
t∆)p t )
tot
t
Małe litery oznaczają logarytmy.
f
f
f
f
qqt +
+ β
[(
p
IF
ftotrt + β71 + β 81u t = ε 1t
t –
t –
t )]
–∆
–∆
IF
+f β
[(βIF
pttpβ)) ––++(( β
IF
ptot
totr
∆∆
∆=(p
β21
totr
) + β + β 81u t = ε1t
–+tot
tot
21
t β
tf+
t f )]
61
εβ261
IF[(
+
u
t –=β
t =
β
ε
p
+
u
tt tβ+
∆
t
32
t
72
82
tt totrtt + β71
–
–
qtt IF
IF
+
)
(
p
IF
p
∆
∆
t
21 32 t
t 72
t82 t
t 2tt)] + β
61
71 + β 81u t = ε 1t
f
β
β
ppt –+
utf =– ∆εε2pt f )] + β totr + β + β u = ε
∆
tot
tot
72 )+
82
β32
βmax
IFtt+t +
+βsup
+β
∆WALD
– β( IF
qIF
72
82 ut tt =
21
tt = ∆ p
1t
81 t 0,27;…;
τ 71 {0,26;
(τ ) ,61gdzie
=t +
0,74}
τ t{0,26;
WALD
0,27;…;
0,74}
β32[( IF
βWALD
ε(22τtt)t , gdzie
IFt sup
u =WALD
+ max
t + 32 ∆ p t +0 ,β
τ < 0ft, 75
<82
f
< τ <0 ,025
2572
, 75
f
tott t –(τ∆) p, tgdzie
qt +WALD
+
+
+
=
( IF
)]
u
totr
ε
∆ pt ) –WALD
β21 [( IF=t – max
β
β
β
τ
sup
{0,26;
0,27;…;
0,74}
61
t
1t
71
81 t
τ
CDS t
f
IFt = ( I t – CDS t )
f
IFt = ( I t –I CDS t f )
t
– Δpt ) – ( I t f – CDS t f – Δ pt f )] + φ2 (tot t – tot t f ) + φ3u t + εt
qt = φ0 + φ1 [( It – CDS
f t
CDS t
It
E . Go siń ska
590
1 dla t ≥ t 0 CDS f
t
ut =
IFt f = ( I t f – CDS t f )
0 dla t < t 0
totrt = (tot t –I ftot t f )
t
W
ramach
analizowanego
] założono słabą egzogeniczność zmiennych dotyczących
vt = [q t IFt Δpt IFt f Δpt f systemu
totr
f t
CDS
gospodarki Niemiec
dwie relacje o charakterze długookresowym. Pierwsza
tot t oraz zidentyfikowano
t
zqnich
jest
równaniem
f kursu walutowego o postaci:
t
tot t
totrt = (tot t – tot t f )
pt
– ∆ pt ) – ( IFt f – ∆ p tf )] + β61totrt + β71 + β 81u t = ε1t qt + β21 [( IFt tot
(28)
t
f
f
f
f
[(
qt = φ0 + φ1 It – CDS t – Δpt ) – ( I t – CDS t – Δ pt )] + φ2 (tot t – tot
pt
f
t
ε2 t
IFt kointegrującej
+ β32 ∆ ptot
+ β82 ut że
= krajowe
t + β 72
W drugiej relacji
przyjęto,
stopy procentowe wolne od ryzyka są funkcją
IF
(
I
CDS
)
–
1
dla
=
t
t
t
krajowej inflacji:
q + β [( IFt –u∆t τp=t ) – ( IFt f τt– ≥∆ tp0tf )] + β61totrt + β71 + β 81u t = ε1t
supWALD = t max21 WALD
( ) , gdzie
{0,26; 0,27;…; 0,74}
0 dla t < t 0
0 , 25< τ < 0 , 75
It
IFt + β32 ∆ pt + β72 + β82 ut = ε2t (29)
CDS
R = 2, T = 150 i n = 100 000vt = [q t IFt Δpt IFt f Δpt f totrt ]
t
τ {0,26;
f
supWALD
= maxt należało
WALD(τnajpierw
) , gdzie dokonać
0,27;…;parametrów
0,74}
IFt W
( I t f –wyznaczenia
CDS t f )
momentu
zaburzenia
estymacji
= celu
0 , 25< τ < 00, 75
q
1 dla t 04.2007
t
składowej
stochastycznej
modelu VEC (wzór 9). Obliczenie statystyki
ut 1 = i składowej deterministycznej
I tf
=
2,
T
=
150
i
n
=
100
000
R
0
dla
t
<
04
.
2007
supWALD (wzór 17) umożliwiło identyfikację momentu
wystąpienia zmiany strukturalnej. Do estymapt
f
CDS
t
cji
parametrów
składowej
stochastycznej
wykorzystano
metodę największej wiarygodności z uwzględ*
A i B (HA, H1, H2 1 dla t p04f .2007
f
t
nieniem
restrykcji
macierz wektorów kointegrujących i macierz dostosowań. Restrykcje
una
totrt = (tot
)
– tot t nałożonych
t 1 =
t
dla tegzogeniczności
< 04.2007
nałożone na macierz wag wynikają ze0słabej
zmiennych dotyczących gospodarki Nie= ( I t – CDS t ) *
- 0,1134IFt 2,2057
tot
t
miec, natomiast restrykcje strukturalizujące
nałożone(1,31)
na macierz B zapewniają odpowiednią interpre(-2,55)
*
H
, H1,(zgodną
A iIB
ˆ = H ϕˆ kointegrujących
3 3 (H A0,0002
tację
wektorów
z teorią ekonomii).
It 2 - 0,035
tot t f otrzymanych A
A A =
( 0 , 72 )
(-2,76)
03 3
Moment najbardziej istotnej
zmiany0,0176
strukturalnej
określony jest przez najwyższą wartość staCDS0,5497
– ( IFt f – ∆ p t f )] + β61totr
qt + β21WALD.
+t-(4,1)
[( IFt – ∆Ze
pt )względu
0,1134
β
t + β71testu
t = ε 1t2,2057
81u
(5,04)
tystyki
na gorsze własności
supWALD
w przypadku, gdy zmiana struk(-2,55)
(1,31)
f
f
f
I
ˆ
3
3
–
IF
(
I
CDS
)
turalna
na początku
próby,
do
wyznaczenia
maksimum nie wykorzysta= 0,0002
T
- 0,035
A lubHnaϕˆ końcu
t
t
IFt + β32występuje
∆ pt + β72
Bˆ *+T =β(82[uHt =ˆ Bε12t =H 2 ÂB 2 A] )= = 0 t
( 0 , 72 )
(-2,76)
3 3
no wartości statystyki dla 1okresów
odpowiadających
25%
obserwacji
z
początku i z końca próby:
0,0176 0,5497
I tf
– 18
1 (18
18,0,74}
73 2. ,(4,1)
33
1
49 statystyka
0,08
,73 (5,04)
,
– 18
–
τ ,73{0,26;
supWALD = max WALD
gdzie
0,27;…;
τ ),,73
Maksymalna
testu WALD
0 , 25< τ < 0 , 75
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3,87 ) f
( 3,87 )
( 3, 44 )
( 5,16 )
( 2 , 99 )
=
CDS
t
− przy założeniu, że zmiana
powodowała
zmianę wyrazu
T
0 strukturalna
1ˆ *T = ( [–H0,ˆ67
0
0,004 −0,wynosi
002 90,8364 dla
–wolnego
H 20ˆ B 2 ] ) =0
( 51,89 )B1
( 2 , 71)
( 2 , 67 )
2, TOznacza
= 150 i nto,
= 100
000 B strukturalna
f w procesach
τR= =0,37.
że zmiana
w wyrazie
wolnym
generujących
zmienne
totrt = (tot t – tot t )
–
1
18
,
73
18
73
18
73
18
73
2
33
1
49
0,08
,
,
,
,
,
–
–
wystąpiła w marcu 2007 r. (por. wykres 1). Wartość krytyczna testu supWALD, wyznaczona symulacyjf ( 3,87 ) f
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3, 44 )
( 5,16 )
( 2 , 99 )
=
2007
1
dla
t
04
.
∆
∆
–
–
–
–
–
–
q
18
,
73
[(
IF
p
)
(
IF
p
)]
2
,
33
totr
+
1
,
49
0
,
08
u
+
e
tot
nie
endogenicznych:
Należy
zatem
t =
t
t
1t
t = 150
ut 1dla
= trzech zmiennych
– 0,67t i n =0 100 000,
0 t 1R = 2,t T
0 wynosi
0 47,7778.
0,002
–t0,004
0
dla
t
<
04
.
2007
f
(
5
,
89
)
(
2
,
71
)
(
2
,
67 )
odrzucić hipotezę zerową na korzyść alternatywnej,
totu t + ew której zakłada się istotność testowanej zmiany
IFt = 0,67∆ pt + 0,004 – 0,002
t
2t
strukturalnej.
Pod koniec pierwszego kwartału 2007 r. rozpoczął się kryzys finansowy w Stanach Zjed*
A i B (HA, H1, H2
f∆ p ) –f ( IF f – ∆ p f )] + β totr +
qtt –+w∆βstosunku
–∆
– 0t,i08
[( IF
p21t )[(–IF( IF
1,49
uβt71+ +e1tβ 81u t = ε1t
noczonych oraz nastąpiła nagłaqaprecjacja
innych
walut
(m.in.
euro
dolara),
t –
t pt )] –
t 2,33totr
t t + do
61
t2 = – 18,73złotego
t do
∆ qt , ∆ IFt , ∆ pt
która nie miała odzwierciedlenia w zmianach mechanizmów makroekonomicznych.
- 0,1134 IF2,2057
IFt +wyodrębnić
pt +ut β+dłuższy
ut = ε2t styczeń – wrzesień
–β320∆
,002
e2+t β82podokres:
∆ pmożna
= 0,67że
72
Dodatkowo, z wykresu
t (1,31)
t + 0,004
(-2,55) 1 wynika,
I
ˆ
3 3
0,0002
- 0,035Walda są większe od wartości krytycznej. Rozważany model VEC
A =r.,HwA ϕˆktórym
2007
wartości
statystyk
A =
( 0 , 72 )
(-2,76)
WALD = max WALD(τ ) , gdzie τ {0,26; 0,27;…; 0,74}
03 3
∆0,5497
qt , ∆
IFt , ∆ 2psup
(wzór 7) oraz procedura0,0176
testowania
uwzględniają
występowanie
zmiany strukturalnej. Dalszej
0 , 25< τ <jednej
0 , 75
t
analizie poddano zatem(5,04)
model ze(4,1)
zmianą strukturalną w okresie, dla którego otrzymano najwyższą
R = 2, T = 150 i n = 100 000
T 2007 r.).
wartość
statystyki
(marzec
ˆB *T = ( [H
H 2 ˆ B2 ] ) =
1 ˆ B1
Należy zauważyć, że w wektorach kointegrujących modelu VEC występują zmienne z jednookreso– 18,73 18,73 2,33 – 11,49dla t0,0804.2007
1 18,73 – W
18,tych
73 relacjach
która
zmianę wyrazu wolnego, wywym opóźnieniem.
zmienna
( 3,87 )
( 3,87
)
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3,u
44t) 1, =
( 5,16charakteryzuje
)
( 2 , 99 )
=
0
dla
t
<
04
.
2007
–
0
1
0
,
67
0
0
0
0
,
004
0
,
002
–
nosi więc 0 w okresie przed kwietniem 2007 r. oraz 1 w kwietniu 2007 r. i później.
( 5,89 )
( 2 , 71)
( 2 , 67 )
Następnie przeanalizowano model VEC z restrykcjami
nałożonymi na macierze A i B*, przy zało*
A i B (H , H1, H2
żeniu, że zmiana strukturalna fw procesach
generujących Azmienne
nastąpiła w marcu 2007 r. Na podqt = – 18,73 [( IFt – ∆ pt ) – ( IFt – ∆ ptf )] – 2,33totrt + 1,49 – 0,08ut + e1t
stawie otrzymanych wyników testu śladu dla modelu ze zmianą strukturalną (por. Johansen, Mosconi,
- 0,1134 2,2057
(-2,55)
(1,31)
IFt = 0,67∆ pt + 0,004 – 0,002ut + e2t
I
ˆ = H ϕˆ = 3 3 0,0002 - 0,035
A
A A
( 0 , 72 )
(-2,76)
03 3
2
∆ q t , ∆ IFt , ∆ pt
0,0176 0,5497
(5,04)
(4,1)
It t
21
t
t
t
t
t
61
CDS
IFt +t f β32 ∆ pt + β72 + β82 ut = ε2t
71
81 t
1t
qt
f
totr
) WALDzmiany
= (tot t =– tot
t
τ p{0,26;
t Testowanie
strukturalnej...
(τ ) , gdzie
suptWALD
max
0,27;…; 0,74}
0 , 25< τ < 0 , 75
pt
tot t
R = 2, T = 150 i n = 100 000
tot t f
591
f
IF(warunkowym
t = ( I t – CDS t )względem zmiennych
Nielsen 2000) można wnioskować, że w analizowanym systemie
f
f
t 04
.2007 wektory kointegrujące
słabo egzogenicznych)
dwa
bazowe
tabela
qut t+1występują
ε1t
β=21 [(1IFdla
t – ∆ p t ) – ( IFt – ∆ p t )] + β61 totr
71 + β
81u t =8).
It t + β(por.
0 dla t < 04modelu
.2007 VEC ze zmianą wyrazu wolnego w marcu 2007 r. (t0)
Przy założeniu R = 2 oszacowania
CDS t
β32 ∆, pHt +
β + β82 ut = restrykcji)
ε2 t
z restrykcjami na AIFit B+* (H
są następujące:
1, H 272− macierze
*A
A i B (HA, H1, H2
IFt f = 0,27;…;
( I t f – CDS t f )
supWALD = max WALD( τ ) , gdzie τ {0,26;
0,74}
0 , 25< τ < 0 , 75
- 0,1134 2,2057 I t
(1,31)
000
R =ˆ 2, T = 150 i nI 3 =3 100 (-2,55)
CDS t f
0,0002 - 0,035
A = H A ϕˆ A =
ut 1 =
f
( 0 , 72 )
(-2,76)
03 3
0,0176 0,5497
1 dla t 04.2007
(5,04)
(4,1)
(30)
totrt = (tot t – tot t f )
0 dla t < 04.2007
T
tot t
Bˆ *T = ( [H1 ˆ B1 H 2 ˆ B 2 ] ) =
*
A i B (HA, H1, H2
tot f
1 18,73 – 18,73 – 18,73 18,73 t2,33 – 1,49
0,08
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3, 44 )
( 5,16 )
( 2 , 99 ) f
=
+ β61totrt + β71
( IFt – ∆ ptf )](31)
∆ pt ) 0–,002
–-00,1134
0 1
,67
02,2057 0 qt + 0β21 [( IF
– t0,–004
( 5,89
)
(-2,55)
(1,31)
( 2 , 71)
( 2 , 67 )
ˆ = H ϕˆ = I 3 3 0,0002 - 0,035
A
IFt + β32 ∆ pt + β72 + β82 ut = ε2t
A A
( 0 , 72 )
(-2,76)
03 3
f
f
– ∆ pt )] – 2,33totrt + 1,49 – 0,08ut + e1t
qt = – 18,73 [( IFt – ∆ 0,0176
pt ) – ( IFt 0,5497
(τ ) , gdzie τ
supWALD
= max wzorów
WALDdostępnych
(5,04)
(4,1) obliczone
W nawiasach podano wartości statystyk t-Studenta,
na podstawie
0 , 25< τ < 0 , 75
–
IF
0
,
67
p
+
0
,
004
0
,
002
u
+
e
∆
w pracy Hansena i ˆJuseliusa
(2002);
w programie Matlab.
t =
t wszystkie
t
2wykonano
t
T obliczenia
B *T = ( [H1 ˆ B1 H 2 ˆ B 2 ] ) =
R = 2, T = 150 i n = 100 000
, 73
∆ 2pt – 18,73
qt ,oprócz
1∆ IF
18
,73 18,73w krótkim
2,33 –okresie
1,49 (Δu
0,08
Warto zauważyć,∆że
ut i jej– 18
dostosowań
t ,zmiennej
t –1) w modelu nie
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3,87 )
( 3, 44 )
( 5,16 )
( 2 , 99 )
=
2007
1
dla
t
04
.
występują żadne inne zmienne zero-jedynkowe.
kointegrujące można zapisać
– 0,67
0 1
0Otrzymane
0 uwektory
– 0,004 0,002
t 10=
( 5,89 )
( 2 , 71
, 67 )
w postaci następujących równań długookresowych:
0 dla
t )< 04(.22007
{0,26; 0,
*
B (H
A, H 1, H 2
qt = – 18,73 [( IFt – ∆ pt ) – ( IFt f – ∆ ptf )] – 2A
,33itotr
(32)
t + 1,49 – 0,08ut + e1t
(33)
IFt = 0,67∆ pt + 0,004 – 0,002ut + e2t
- 0,1134 2,2057
(-2,55)
(1,31)
ˆ = H ϕˆ = I 3 3 0,0002 - 0,035
A
A A
2
( 0 , 72 )
(-2,76)
,
,
∆
p
∆
q
IF
∆
0 3 i z wynikami
t
t
t długookresowych
Oszacowania parametrów
w (32) i (33) są zgodne z teorią
innych
3
0,0176 0,5497
badań empirycznych (por. Kębłowski, Welfe 2012; Kębłowski 2015). Wzrost dysparytetu(5,04)
pomiędzy(4,1)
polskimi a zagranicznymi realnymi stopami procentowymi skorygowanymi o ryzyko powoduje
spadek
T
( [H1 ˆ B1 warunków
Bˆ *T =Poprawa
H 2 ˆ B 2 ] )wymiany
=
kursu realnego, a zatem aprecjację kursu nominalnego złoty/euro.
międzynarodowej w Polsce powoduje także aprecjację polskiej waluty. Z drugiego
równania
wynika,
że
1 18,73 – 18,73 – 18,73 na
18,73 2,33
( 3,87 )
( 3,87 )
3,87 )
( 3,87 )
( 3, 44 )
=
skutek zwiększenia się krajowej inflacji następuje mniejszy niż proporcjonalny
wzrost
stóp (procento– 0,67
0 1
0
0
0
wych wolnych od ryzyka.
( 5,89 )
Wykorzystując wyniki testu CRDF, można stwierdzić, że opisane relacje kointegrujące nie generują trendów stochastycznych, a więc są stacjonarne. Otrzymane oszacowania
qt = – 18,73 parametrów
[( IFt –∆ pt ) –macierzy
( IFt f – ∆wag
ptf )] – 2,33totrt
wskazują na istotne ujemne dostosowanie realnego kursu do wektora kointegrującego, opisującego
– 0procentowych
IFt = 0,67krajowych
,002ut + e2t
∆ pt + 0,004
równanie długookresowe dla kursu, oraz ujemne istotne dostosowanie
stóp
wolnych od ryzyka do drugiego wektora kointegrującego. Na koniec zbadano właściwości stochastyczne
2
reszt z poszczególnych równań dla zmiennych endogenicznych ∆ qt , ∆ IFt , ∆ pt w modelu VEC. Można wnioskować, że reszty z poszczególnych równań wektorowego modelu korekty błędem są stacjonarne, mają rozkład normalny oraz nie występuje autokorelacja.
592
E . Go siń ska
6. Podsumowanie
Występowanie zmiany strukturalnej w procesach generujących zmienne ekonomiczne silnie wpływa
na postać wielorównaniowego modelu korekty błędem. Rezultaty prowadzą do wniosku, że występowanie zmiany strukturalnej w części deterministycznej DGP powoduje jednoczesną modyfikację składowych deterministycznych w przestrzeni kointegrującej i poza nią. Wprowadzenie zmiennych zero-jedynkowych do przestrzeni kointegrującej lub poza nią, choć technicznie możliwe, nie może być interpretowane jako zmiana strukturalna.
Do sprawdzenia, czy występuje zmiana wyrazu wolnego w znanym okresie, zaproponowano wykorzystanie statystyki Walda. Okazuje się, że moc testu dotyczącego zmiany wyrazu wolnego rośnie
wraz ze wzrostem liczby obserwacji oraz wielkości zaburzenia. Z dodatkowo przeprowadzonych eksperymentów wynika, że moc testu WALD nie jest wrażliwa na zmianę rozkładu składników losowych
(z normalnego na t-Studenta), zmianę parametru autoregresyjnego założonego w symulacjach oraz moment wystąpienia zmiany strukturalnej. Ze względu na to, że moment wystąpienia zmiany strukturalnej w systemach opisujących funkcjonowanie mechanizmów ekonomicznych zazwyczaj nie jest znany,
zaproponowano wykorzystanie w testowaniu statystyki supWALD. Na jej podstawie można wyznaczyć
moment zaburzenia, tzn. taki okres, w którym statystyka Walda ma najwyższą wartość.
Model VEC ze zmianą strukturalną, a dokładniej zmianą wyrazu wolnego, zastosowano do modelowania kursu walutowego złoty/euro. W celu zidentyfikowania momentu wystąpienia zaburzenia
w składowej deterministycznej procesu generującego dane wykorzystano statystykę supWALD. Okazuje
się, że w analizowanym modelu zmiana strukturalna wystąpiła w marcu 2007 r. W systemie zidentyfikowano dwa wektory kointegrujące, z których jeden można interpretować jako długookresowe równanie kursu walutowego złoty/euro. Drugi wektor kointegrujący jest równaniem długookresowych stóp
procentowych skorygowanych o ryzyko.
Bibliografia
Andrews D.W.K. (1993), Tests for parameter instability and structural change with unknown change
point, Econometrica, 61(4), 821−856.
Duffie D. (1999), Credit swap valuation, Financial Analysis Journal, 55, 73−87.
Gosińska E. (2009), Analiza kointegracyjna z zaburzeniami struktury na przykładzie modelu handlu
zagranicznego Polski, Bank i Kredyt, 40(6), 41−58.
Hansen H., Johansen S. (1999), Some tests for parameter constancy in cointegrated VAR-models,
Econometrics Journal, 2(2), 306−333.
Hansen H., Juselius K. (2002), CATS in RATS: cointegration analysis of time series, user’s manual, Estima,
Evanston.
Johansen S. (1995), Likelihood-based inference in cointegrated vector autoregressive models, Oxford
University Press.
Johansen S., Mosconi R., Nielsen B. (2000), Cointegration in the presence of structural breaks in the
deterministic trend, Econometrics Journal, 1(3), 216−249.
Juselius K. (2006), The cointegrated VAR model: methodology and applications, Oxford University Press.
Juselius K., Johansen S. (1992), Testing structural hypotheses in a multivariate cointegration analysis of
the PPP and the UIP for UK, Journal of Econometrics, 53, 211−244.
593
Kelm R. (2011), Ryzyko walutowe i wahania kursu PLN/EUR w latach 1999−2009, Bank i Kredyt, 2, 31−66.
Kelm R. (2013), Kurs złoty/euro: teoria i empiria, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.
Kębłowski P. (2011), The behaviour of exchange rates in the Central European countries and credit
default risk premiums, Central European Journal of Economic Modelling and Econometrics, 3, 221−236.
Kębłowski P. (2015), Stały czy płynny? Model PVEC realnego kursu walutowego dla krajów Europy
Środkowo-Wschodniej – implikacje dla Polski, Materiały i Studia NBP, 312, Narodowy Bank Polski,
Warszawa.
Kębłowski P., Welfe A. (2010), Estimation of the equilibrium exchange rate: the CHEER approach,
Journal of International Money and Finance, 29, 1385−1397.
Kębłowski P., Welfe A. (2012), A risk-driven approach to exchange-rate modelling, Economic Modelling,
29, 1473−1482.
Lütkepohl H. (2005), New introduction to multiple time series analysis, Springer Verlag, Berlin.
Majsterek M. (2008), Wielowymiarowa analiza kointegracyjna w ekonomii, Wydawnictwo Uniwersytetu
Łódzkiego, Łódź.
Perron P. (2006), Dealing with structural breaks, w: K. Patterson, T.C. Mills (red.), Palgrave handbook of
econometrics, 1, Econometric Theory, Palgrave Macmillan, London.
Perron P., Yabu T., (2009) Testing for shifts in trend with an integrated or stationary noise component,
Journal of Business and Economic Statistics, 27, 369−396.
Saikkonen P., Lütkepohl H., (2000), Testing for the cointegrating rank of a VAR process with structural
shifts, Journal of Business and Economic Statistics, 18, 451–464.
Seo B. (1998), Tests for structural change in cointegrated systems, Econometric Theory, 14, 222−259.
Sobreira N., Nunes L. (2012), Testing for broken trends in multivariate time series, mimeo, http://docentes.
fe.unl.pt/~nsobreira/JM%20Paper%20Nuno%20Sobreira.pdf.
Toda H.Y. (1994), Finite sample properties of likelihood ratio tests for cointegrating ranks
when linear trends are present, The Review of Economics and Statistics, 76(1), 66−79.
Toda H.Y. (1995), Finite sample performance of likelihood ratio tests for cointegrating ranks in vector
autoregressions, Econometric Theory, 11(5), 1015−1032.
Welfe A. (2009), Ekonometria, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa.
Podziękowania
Badanie finansowane z grantu Narodowego Centrum Nauki (grant MAESTRO 4 nr UMO-2013/08/A/
HS4/00612).
594
E . Go siń ska
Aneks
Estymatory parametrów części deterministycznej w kierunku B i B⊥ należy wyznaczyć na podstawie
równania:
ˆ T ˆ ( L) = K
ˆ ˆ hˆ + K
ˆ ˆ h ˆ + η ˆ ˆ hˆ + K
ˆ ˆ hˆ + K
Q
(A1)
t
t
1t
,1
,1t
,1
3t
,3
,3t
,3
ˆ T ˆ ( L) = K
ˆ ˆ hˆ + K
ˆ ˆ hˆ + η
ˆ ˆ hˆ + K
ˆ ˆ hˆ + K
Q
t
t
1t
,1
,1t
,1
3t
,3
,3t
,3
ˆ ˆ = Qˆ T Kˆ ˆ ( ˆ T ˆ ) 1 , h ˆ = ˆ T h ,
gdzie:
K
1t
1
,1t
,1
ˆ ˆ = Qˆ T Kˆ ˆ ( ˆ T Q
ˆˆ )T 1ˆ, (hL)ˆ t==ˆKTˆ hˆ 1,t h ˆ ,1 + Kˆ ˆ ,1t h ˆ ,1 + Kˆ ˆ 3t h ˆ ,3+ Kˆ ˆ ,3t h ˆ ,3 + ηt
K
1ˆt
,1t
ˆ T ˆ ˆ,1 ( ˆ T ˆ1 ) 1 , h ˆ = ˆ T h ,
K
ˆ 1t = Q K 1t
1
,1
ˆ+ˆT TK
ˆ
ˆ
ˆ+ ˆK
ˆη hˆ + K
ˆˆ ( L) h = K
ˆ T ˆ (ˆLT) ˆ =ˆ K
ˆ
ˆ ˆ ˆ T hˆ ˆ +1 K
ˆ Tˆ Th ˆ Q
Q
+K
ˆ
ˆ ˆ , 3+ K ˆ ,3t h ˆ , 3 + ηt
Thˆˆ, 3t1ˆ t ˆ , 3
T,3tˆˆh,1ˆ+
ˆh
ˆˆK
ˆ ,1ˆ h ˆˆ 3t+h K
K ˆ 1t = Q Kt1t ( 1K
1ˆt+
1t K
tˆ
,)1 , ˆhQ
,1ˆt ˆ=
,(1Lˆ
, 3 h ˆ ,t+
ˆ
K
h
)
+ ηt
1=) K, ˆ hT h =
,
,
1
=
Q
(
h
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T
T
1
t
3t
,3
,3t ˆ , 3
ˆ ˆ = Qˆ ˆ K
ˆ ˆ 1ˆt ) , h ˆ = ˆ 1tˆh,1 , ,1 1 ,1t ,1
,1ˆt
K
3
3t (
,3
,3t
ˆˆ K
ˆˆ ( ˆˆT ˆˆˆ)T 1ˆ, ) h=1 ,ˆQˆhT=Kˆˆ=T hˆK
ˆT
ˆ ˆT ˆ 1
1ˆ
ˆˆ3T,h(ˆ ˆ1ˆ,TT=ˆˆ Qˆ )ˆT K
ˆ = Qˆ T Kˆˆ 3Tt K
K
ˆ, 1TˆthTˆˆh() ,11. ,= h)ˆˆT h,=1h, ˆˆ ,T1 h= , h1 ,
ˆˆˆ,1 T1tˆ =
,3t ˆ ,1t = Q
,1t K
ˆ Tˆ K
ˆ ˆ 1t =(K
ˆ ,3 (K
Q
(
1ˆt
,
h
=
K
Q
)
ˆ
1
t
1
ˆ ,3
,1t
,1
3t
3
3t
T ˆT ˆ T ˆ
T ˆ ˆ T ˆˆ
T ˆ ˆ T ˆ1
T ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
T
T
1
T
,
.
K ˆ 3K
=Q K
( ˆ( )= Q
,ˆ,3h=ˆˆK(,1 ˆˆ=hˆ1t3Tˆ=)ˆhQ1,,ˆhK 1tˆ =T ˆˆ( h 1, ) 1 , h ˆ ˆ ,1T = ˆ T h1,
ˆ)h K
ˆˆ
t ˆ 1t = Q3t K 1t K
K
) 3 , h ˆ ,1 = h1,
ˆ ,3t
ˆ(,3
ˆ3t1t = Q K 1t
,
1
=
I
t
T
1
T
ˆ )T K
1ˆ
ˆ ˆ = Qˆ T Kˆ ˆK
ˆ ˆ T ˆ 1,ˆ Th
ˆ ˆˆˆ T ˆ 3T=,ˆˆ Q
K
, ˆ3htT ˆˆˆ(),3ˆ 1=, ˆˆh)T h,3=.h ˆˆ ,T3 h= ,ˆ h 3 ,
1ˆ ,33t=K ˆ(,ˆ3ht T
t ˆK
ˆ
3t ( ˆ 3t )= Q
,3t
K
Q
K
(
=
,ˆ ( Lsą
= 1ˆ ˆ,3t przez
ˆ ,3
3
3t
ˆ =IK̂
Zmienne K̂ 1t K
oraz
wzory:
I –t Σ
3t ) =definiowane
1t
j , t = 2 ,...,S
t 1
T
T
1
1
j
=
T
T
T
1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆT
ˆ
ˆ K
ˆˆ ˆ = Q
ˆ ˆ ˆ( ˆ ˆ ) , h ˆ K
ˆ =K
ˆ3t Tˆ =K
ˆT ˆ ,=3 ˆ =Q
ˆhQ3 .ˆ K(3tˆ T ˆ( ) 1, h)ˆ , h= ˆ ˆ,T3 h= . h3 .
t
K
I – 3Σ
(L
3t ) =
K
1t
j , t = 2 ,...,S
3t
3
,3
ˆ Bˆ , 3tt =I, S + 1,...,
–A
j =1
T t =1
1
t
ˆ Bˆ T,ˆ t = ˆS + 1,..., T
–A
(A2)
KI1,t = ( L) = 0t, =I 1– Σ ˆ j , t = 2 ,...,S
I,
t = 1 I, t < t 0 t = 1
j =1
t 1
t 1
t 1 t = t ˆ
ˆ ˆ ˆ=Tt <
ˆ
ˆ , t = I2,–,...,S
ˆ = ˆ ( L) = I 0–,
–ˆ Σ
K
T 0 j , t = 2 ,...,S
1t
j K
ˆ =KA
ˆ1t(BL,) =(ttL0=)IS=– + 1I,...,
Σ
1tt 1
jj,=1 t = 2 ,...,S
j =1
Σ
ˆ
ˆ
K 3t = ( LI),ut =
j =1
ˆ , t =t =t0 t + 1,...,
j
0
ˆt 0Bˆ +T, S t– =1t <S t+ 1,..., T
ˆ1Bˆ T, t =I –S Σ
–T A
– tA
1
,...,
T
+
ˆ
ˆ
=
j
1
,
0
ˆ
ˆ
K 3t = ( L)ut =
–
A
B
,
t = S + 1,...,0T
I – Σ ˆ j , t = t0 +T 1,..., t0 + S – 1
ˆ
ˆ
I,
– AB ,
j =1
t = t + S ,..., T t = t0
t < t0
0,
t < t0 0
0ˆ,
t 1
ˆ
t < t0
0,
T
ˆ
(
)
K
=
=
L
u
ˆ
–
t
t
3
A
B
,
t
=
t
+
S
,...,
T
ˆ
(A3)
I 0– Σ t j=, t0 t = t0 + 1I,...,
, t0 + S – 1
t = t0
I,
t = t0
I,
Â , B̂, ˆ 1 , ˆ 2 , …, ˆ S 1, ˆ j =1
t 1
ˆ = ˆ ( L)u = t 1 t 1
ˆ = ˆ ( L)u =
K
K
t
t
ˆ
ˆ ˆ jK
ˆ I –, Σ
)ˆ1u,...,
t =T t0 + 1,..., t 0 + S – 1
,ˆ 3t t== ˆ3tt0(–L+A
Â , B̂, 3tˆ 1 , ˆ 2 , …,
Bˆt T=, t0 +I –S – I1 –ˆt Σ
= t +j ,S ,...,
S 1
ˆ ( L)
Σ
jj,=1 0 t = t 0 + 1,..., t 0 + S – 1
j =1
j =1
ˆ ˆT
ˆ BˆˆTT, ˆ
ˆ ( L)
–A
t = t 0 + S ,..., T
t
=
t
+
S
,...,
T
ˆ Bˆ T–, AB ,
ˆB
ˆ = IÂ ,+B̂,
ˆ 1 ,+ ˆ 2 , …, ˆ S 10, ˆ – A
t = t 0 + S ,...,
T
A
1
1
M
T
ˆB
ˆ = I +Â
+ ˆˆ 1ˆ– ˆ ,, ˆczyli
ˆˆ ˆ =
1 Â , B̂,
M części
j = 2Â
,...,, SB̂,– 1ˆ , ˆ , …, ˆ , ˆ , należy wyznaczyć, wykorzyParametry
j ( L j)
2 , …,
1 , jstochastycznej,
S 11
Â , B̂, ˆ 1 , ˆ 21, …,2 ˆ S 1, ˆS 1
stując ˆmetodę
(7), a macierze parametrów zawarte w wielomianie
ˆ Johansena
ˆ , j na
= 2podstawie
,..., S – 1 modelu
j = j –
j 1
Tˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
–
=
=
+
+
I
A
B
(
L
)
(
L
)
opóźnień
na podstawie
S
S 1wzorów:
1
1
M
ˆ ( L)
ˆ = –ˆ
T
1
S ˆ
S 1
= I2M
Sˆ–ˆ1T ˆ
QQˆ ˆ =T ˆ ˆ =. ˆ j – ˆˆj 1 , ˆ 1j =
1 = I M + AB + j 1
ˆ,...,
ˆ+T ABˆ + 1
(A4)
1 = I M + AB +
1
T
1
QQ ˆ = = ˆ . – ˆ , ˆ1j = 2,...,
Tˆ 1
1/ˆ2
T
1
/
2
ˆ
ˆ
= 2,..., S – 1
– 1) ˆ j = ˆ A
(A– SS1Â
A
j – (A
j 1 , Aj )
j
j Q =
j 1[
S =
j = 2,..., S –] 1
(A5)
j = j –
j 1,
1
T
1
1/ 2
T
1/ 2
Q =ˆ[ A(Â
A) T
A1 (Aˆ A ) ˆ ]
QQ = ˆ .
– Sĥ1
=– S 1
S =
(A6)
= –Sˆ
ˆ
,1
S
S 1
1
T
1 T 1/ 2 1
T
1
ĥ ˆ QQ
. A ( AT A ) 1 / 2 ]
Q = [ A(A TQQA)1=
.
=
,1
.
QQ
=
ĥ , ĥ , ĥ
ˆ ,3
ˆ ,1
ˆ ,3
1
(AT ĥ1A) 1/ 2
A Q(A=T[ A1A) (1A/ 2T] 1A)
ĥ ˆ , 3Q, ĥ= ˆ[,1 , ĥ A
ˆ ,3
Q = [ 1 A( A T 1 A ) 1 / 2
ˆ ,1
hˆ ˆ , 1
ĥ 1
ĥ
hˆ ˆ , 1 ĥ ˆ T, 3 , ĥˆ Tˆ ,1ˆ,ĥĥ1ˆ ˆˆ,,31 ˆ ,1 T ˆ T ˆ 1 ˆ
ĥ ˆ , 1 ˆ ,1
= Σ (K
Kt )
( L)
ΣK t
1 t
1/ 2
t
A ( AT A )
A ( AT A ) 1 / 2 ]
1/ 2
]
ˆB
ˆ + ˆ
ˆ ( L) ˆ 1 = I M + A
1
ˆ ( L)
ˆ
ˆ –T ˆ , j = 2,..., S – 1
jˆ
ˆB
ˆ = I j +=A
+ j ˆ1 1
1
M
T
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
+
+ ˆ1
I
A
B
–
–
1
=
,
j
=
2
,...,
S
j = 2,..., S – 1
ˆ = Îj ( =
1
M
j
jˆ T j +1j, ˆ1
jˆ –
B
)A
1
1
ML+
Testowanie zmiany
595
ˆ strukturalnej...
ˆˆ S– =ˆ – ˆ, S 1 j = 2,..., S – 1
=
ˆ j = ˆj – ˆj 1 , j = 2,..., S – 1
ˆ
ˆ
T
j
j
j
1
ˆ =ˆ Sˆˆ =
ˆ
ˆjB
=– – 1S 1A
ˆ= 2+,...,ˆ S – 1
T
1
j
j 1S–= Ij M1S, +
1
.
=
ˆ = –QQ
ˆ
S
S 1
T
1
ˆ
ˆ
T
1
– S 1
ˆ =QQ
ˆj == ˆ=j – .ˆ j. 1 , j = 2,..., S – 1
S =
–ˆQQ
1
T
1
1/ 2
T
S Zgodnie
S 1
z uogólnioną metodą najmniejszych T kwadratów
macierz
należy
zdefinio1
A) Q
A (A
A ) 1/ 2 ]
QQ T =Q = [1. A(A
1
1/ 2
1/ 2
T T aby
1 1 1spełniony
T Twarunek
. Wówczas macierz wariancji składwać T w taki
=
]
[ 1[–. 1ˆsposób,
(1A(A
) )/ 2
AS A
AA
AA(był
A(A
AA) 1)/ 2 ] QQ
QQ Qˆ=Q=S ==
1
1
T
nika losowego w równaniu (A1) jest sferyczna i Q
jednostkowa.
spełniony,
]
(ATTWarunek
= [ ĥ ˆ 1A
A) 11//22 ten jest
A (A
A ) 11//2gdy
1
T
2
,1
[
]
(
)
(
)
Q
=
A
A
A
A
A
A
1T
T 1 1
1/ 2
T
1/ 2
.
Q = ĥ[QQ
A=(A
A)
A (A A ) ], gdzie Ω jest macierzą wariancji kowariancji składniĥ
ˆ ˆ,1 ,1
ĥ ˆ ,1 , ĥ ˆ , 3 , ĥ ˆ , ĥ ˆ ,3 należy wyznaczyć z równaków losowych równania
(7). 1Ostatecznie
estymatory
1
T
1
/2
T
1/ 2
,1
ĥ ˆkwadratów:
]
(
)
(
)
Q
=[
A
A
A
A
A
A
,1
ĥ
niaˆ (A1)
za
pomocą
uogólnionej
metody
najmniejszych
,
,
ĥ
ĥ
,
,
ĥ
ĥ
,1ĥ ĥ
ˆ ,ˆ3 , 3 ˆ ,1 ˆ ,1 ˆ ,3ˆ ,3
ĥ ˆ , 3 , ĥhˆ ˆ ,1 , ĥ ˆ ,3
ĥ
ĥ ˆ , 3 , ĥ ˆˆ ,,11, ĥ ˆ ,3
1
ĥ ˆ , 3 ,ˆ ĥˆˆ ˆ ,1,1, ĥ ˆ ,3
T
T
hˆ ˆ , 1
hh
ˆ
ˆ ,1 ,1
T ˆ 1 ˆ
ˆ
ˆ T ˆ 1 ˆ ( L)
=
(
K
K
)
K
ˆ
1
1
Σ
Σ
t
t
t
t
h ˆ , 1 hˆ
ˆ
T T
T T
hˆĥh
1
=
=
1
t
t
ˆ ˆ ,ˆ1 , 1, ĥ ˆ , ĥ ˆˆ Tˆ ˆ
ˆ
1
T ˆ1 ˆ1 ˆ
T
Tˆ ˆ ˆ1 ˆ ˆ
ˆ,3
ˆ
h
1
,
3
,
3
,
1
) ΣΣ
(K(K
KK
KK
( L()L)t t hˆ ˆ , 1
T
T
hˆ ˆ , 1 ˆ ˆ = = ΣΣ
t t
t )t
t t
t =1t =1
t =1t =1
ˆ T ˆ 1K
ˆ ) 1 ΣT K
ˆ T ˆ 1 ˆ ( L)
hh
ˆ ˆˆ , 1 hˆ=ˆ ,3Σ
T (K
1
h
t
t
ˆh ˆ ˆ , 3ˆ , 3 T
T
T ˆ 1 ˆ
,1
ˆ
ˆ tT ˆ 1 ˆ ( L) t
ˆ
=1 (K
=1 K
tΣ
Kt )
h ˆ , 3 = tΣ
T ˆ 1 ˆ
T ˆ 1 ˆ
, 1ˆ ˆ
ˆ
ˆ
t
t
t
=
(
K
K
)
K
(
L
)
hh
ˆ
Σ
t
t
t
t
ˆ ˆ , 1, 3Σ
t =1
t =1
h ˆ,3
t =1 1
ˆ
hˆ ˆ , 3 ˆ ,3 t =1
hˆ ˆ
T
T
h ˆ ,1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
K
K
K
ˆ T ˆ 1K
ˆ )
ˆ T ˆ 1 ˆ ( L) hˆ ˆ ,3,3K
t = [K ˆ ,1t
ˆ 1t
ˆ , 3t
ˆ 3t ] .
= Σ (K
K
Σ
t
t
t
t
hˆ ˆ ,3 ˆ
1
=
=
1
t
t
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
h
.
=
.
gdzieKK
ˆ 3 [K ˆ
t =t [,K
ˆ ,1t ,1t KK
ˆ 1ˆt 1t KK
ˆ , 3ˆt , 3t KK
ˆ ˆ3t ]3t ]
ˆ = [K
ˆT ˆ K
ˆ
ˆ
ˆ
K
K
hˆ ˆ ,3
1ˆ)ˆ ,3t Kˆ ˆ 3t ] ..
ˆt = B
ˆ ˆ(,1ht 1 – hK
ˆ1 )ˆ =1t O p (K
[
K
K
K ˆ 3t ]
ˆK = [TK
ˆT ˆ K
ˆ
ˆK
ˆK
t
ˆ ,1t
ˆ 1t
ˆ , 3t
ˆˆ(,h
t B B(h
ˆ 3t ] .
1t – h )ˆ =
1t O p )(1) ˆ , 3t
1 –1 h1 ) 1= O p (1
T ˆ
– h 3 ) = Oz prównania
(1)
Własności asymptotyczne estymatorów składowej
(A1) w kierunku
BTTdeterministycznej
(hˆ 1B– h(1h)3= O
p (1)
ˆ Tˆ =ˆ [K
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
.
]
K
K
K
K
ˆ
T
B
t
(
h
h
)
=
O
(
1
)
–
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
B
(por.
Lütkepohl
2000): 1
– 3h),13t=) =
1)
t Saikkonen,
, 3t
3t
h3 h
B
(h(następujące
OO
1
p
ˆBBsą
p )(1
3 –
p (1
B⊥T i(h
1 – h1 ) = O p (1)
hˆ 1O– h(11)) = O p (1)
B T)(=
B TT (hˆ 3 –T h
3
p
T Tˆ ˆ
B (hˆ 3 – h 3 ) = TO p (1)
T
)=
–1O–h)1h()=
(ˆh)(1–h
OO
1=
p )(1)
p (1
–T B
B T (hˆT3BB
h(h
(A8)
ˆ
31 = h
1 p 1)O p (1)
T B TT(hˆT1 –– th0 1B) =(hO3p–(1h) 3 ) = O p (1)
ˆ
T Tˆ ˆ
T B (h1 – h1 ) = O p (1)
–13h)) 3=
th0 B
)=
–3 h
(h=(3hO
OO
ˆ–T (t––h
(A9)
p )(1)
0ˆB
p (1
T B TTB
(hT
1
p (O
3 1–) h
3) =
p (1)
T – t 0 BTT (hˆ 3 – h 3 ) = O p (1)
T – t 0 B (hˆ 3 – h 3 ) = O p (1)
(A10)
T –
t B
T TB(Thˆ(hˆ– –h h) =) =OO(1()1)
T
ˆÂ
ˆ ,ˆ =1B̂,=I Iˆ M+, +A
+ +ˆ 1ˆ 1S 1, ˆ
Bˆ2 ,TBˆ…,
ˆ ( L )Â
1
M 1
0
3 1
3 1
p p
(A11)
T – t 0 BT (hˆ 3 – h 3 ) = O p (1)
596
E . Go siń ska
Tabela 1
Wartości krytyczne testu WALD dla τ = 0,5, ρ = 0,5, n = 100 000
M=4
M=5
R
T = 100
T = 150
T = 200
1
74,7193
45,7952
35,7194
2
70,4499
47,4562
38,8849
3
50,4537
36,5874
30,9836
1
125,8728
71,7660
52,2211
2
124,4478
76,8382
60,3457
3
101,1121
68,3139
55,3375
4
69,3609
48,8074
40,9770
Uwagi: M − liczba zmiennych w systemie, R – wymiar przestrzeni kointegrującej, T– liczebność próby; obliczenia wykonano
w programie Matlab.
Tabela 2
Moc testu WALD dla τ = 0,5, ρ = 0,5, n = 100 000
M=4
M=5
K
R
3
ω=1
ω = 1,5
ω=2
T = 100
T = 150 T = 200
T = 100
T = 150 T = 200
T = 100
T = 150 T = 200
1
0,7380
0,8918
0,9440
0,8988
0,9653
0,9816
0,9538
0,9845
0,9931
2
2
0,6253
0,7634
0,8348
0,7910
0,8888
0,9261
0,8766
0,9353
0,9567
1
3
0,4554
0,5612
0,6225
0,6116
0,6905
0,7435
0,7061
0,7718
0,8063
4
1
0,7313
0,9170
0,9683
0,9223
0,9794
0,9937
0,9664
0,9932
0,9972
3
2
0,6678
0,8349
0,9056
0,8596
0,9408
0,9671
0,9314
0,9746
0,9888
2
3
0,5895
0,7283
0,7992
0,7757
0,8567
0,9004
0,8624
0,9178
0,9438
1
4
0,4336
0,5418
0,5993
0,5884
0,6781
0,7204
0,6821
0,7590
0,7951
Uwagi: M − liczba zmiennych w systemie, R – wymiar przestrzeni kointegrującej, K − liczba wspólnych trendów stochastycznych, T – liczebność próby, K = M – R; obliczenia wykonano w programie Matlab.
597
Tabela 3
Moc testu WALD dla składników losowych z rozkładu t-Studenta dla T = 200
M=4
ω=1
ω = 1,5
ω=2
normalny t-Studenta
normalny t-Studenta
normalny t-Studenta
K
R
3
1
0,9440
0,9375
0,9816
0,9785
0,9931
0,9917
2
2
0,8348
0,8298
0,9261
0,9212
0,9567
0,9511
1
3
0,6225
0,6184
0,7435
0,7394
0,8063
0,8087
Uwagi: M − liczba zmiennych w systemie, R – wymiar przestrzeni kointegrującej, K − liczba wspólnych trendów stochastycznych, T – liczebność próby, K = M – R; obliczenia wykonano w programie Matlab.
Tabela 4
Moc testu WALD w zależności od τ dla T = 200, M = 4 i R = 2
ω
τ = 0,1
τ = 0,2
τ = 0,3
τ = 0,4
τ = 0,5
τ = 0,6
τ = 0,7
τ = 0,8
τ = 0,9
1
0,9134
0,8753
0,8512
0,8368
0,8348
0,8370
0,8553
0,8810
0,9128
1,5
0,9602
0,9441
0,9257
0,9284
0,9261
0,9217
0,9342
0,9429
0,9632
2
0,9806
0,9681
0,9606
0,9536
0,9567
0,9609
0,9628
0,9666
0,9820
Tabela 5
Moc testu WALD w zależności od parametru ρ dla T = 200, M = 4 i R = 2
ω
ρ = 0,1
ρ = 0,2
ρ = 0,3
ρ = 0,4
ρ = 0,5
ρ = 0,6
ρ = 0,7
ρ = 0,8
ρ = 0,9
1
0,8516
0,8539
0,8433
0,8393
0,8348
0,8188
0,8005
0,7720
0,7485
1,5
0,9318
0,9289
0,9282
0,9247
0,9261
0,9105
0,9087
0,8892
0,8799
2
0,9643
0,9591
0,9602
0,9591
0,9567
0,9492
0,9455
0,9368
0,9301
Uwagi: obliczenia wykonano w programie Matlab.
598
E . Go siń ska
Tabela 6
Rozmiar testu WALD
M=4
M=5
R
T = 100
T = 200
1
0,0503
0,0528
2
0,0516
0,0501
3
0,0512
0,0511
1
0,0444
0,0526
2
0,0450
0,0477
3
0,0468
0,0466
4
0,0496
0,0497
Uwagi: R – wymiar przestrzeni kointegrującej, T – liczebność próby; obliczenia wykonano w programie Matlab.
Tabela 7
Własności testu supWALD (prawdopodobieństwo zidentyfikowania momentu założonej zmiany wyrazu
wolnego) dla T = 200
ω
ρ = 0,2
ρ = 0,3
ρ = 0,4
ρ = 0,5
ρ = 0,6
ρ = 0,7
ρ = 0,8
0,5
0,584
0,614
0,646
0,693
0,672
0,634
0,585
1
0,970
0,984
0,978
0,971
0,978
0,990
0,970
1,5
0,999
1
1
0,999
0,998
1
0,998
Uwagi: obliczenia wykonane w programie Matlab.
Tabela 8
Wyniki testu śladu dla modelu ze zmianą wyrazu wolnego w kwietniu 2007 r. przy założeniu słabej
f
egzogeniczności zmiennych: IFt ,
ptf, totrt
R
Wartość statystyki
Wartość statystyki
z korektą Bartletta
0
101,618 (0,000)
97,831 (0,000)
57,267
1
53,314 (0,001)
51,146 (0,001)
35,498
2
14,054 (0,177)
13,540 (0,125)
18,144
Wartość krytyczna
Uwagi: R – wymiar przestrzeni kointegrującej; w nawiasach podano wartości p-value; wartości krytyczne wyznaczono
symulacyjnie w programie CATS.
599
Wykres 1
Wartości statystyk WALD(τ) dla różnych τ
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
2006
2007
Wartość statystyki Walda
2008
2009
2010
2011
Wartość krytyczna
600
E . Go siń ska
Testing for structural break in a VEC model
Abstract
Structural change can affect the deterministic component of the data generating process (DGP).
It can be shown that the introduction of a dummy into the cointegration space in the period t must
be interpreted as structural break in the DGP in the period t −1. On the other hand, if it is introduced
into the cointegration space, the respective dummy must be simultaneously placed outside the
cointegration space as well.
In order to test for the break affecting the deterministic component we employed the Wald statistic.
The critical values and the power of the Wald test were simulated for various sizes of the cointegrating
space, the number of endogenous variables, the span of the break, normally and t-distributed errors.
The power of the test depends mostly on the magnitude of the break and the number of observations
while other factors are of secondary importance.
The cointegrated VAR with structural break was used to explain the behaviour of the Polish zloty/
euro exchange rate. Two cointegrating vectors were identified. The first one can be interpreted as
a long-term equation of the exchange rate zloty/euro and the second vector defines the long-term
real domestic interest rates corrected for risk. The supWALD statistic was used in order to identify the
moment of the break.
Keywords: structural break, VECM, Wald test, test for structural break, exchange rate modelling
PLN/EUR

Emilia Gosińska Testowanie zmiany strukturalnej w

Transkrypt

Podobne dokumenty

PROFESOR IGNACY WALD MNIEJ ZNANY

HOTEL - OŚRODEK „Hohenauer hof 3* Z BASENEM” Termin: 15.02

Mini PDF - Polska Agencja Nieruchomości

Mini PDF - Polska Agencja Nieruchomości

Ściągnij mini prospekt

Mini PDF - Polska Agencja Nieruchomości

Mini PDF - Polska Agencja Nieruchomości

System CDS-Dialog do komunikacji szkoła

WNIOSEK O UBEZPIECZENIE odpowiedzialności cywilnej