Charakterystyki czasowe i czestotliwosciowe

Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Jezyki
˛
Modelowania i Symulacji
Charakterystyki czasowe i cz˛estotliwościowe
Marcin Ciołek
Katedra Systemów Automatyki
WETI, Politechnika Gdańska
22 grudnia 2011
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
O czym bedziemy
˛
mówili?
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
1 Charakterystyki czasowe i cz˛estotliwościowe
2 Aproksymacja członu opóźniajacego
˛
3 Konwersja systemu w czasie ciagłym
˛
na system w czasie
dyskretnym
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
sys
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Jak możemy opisać model\system?
•
•
•
•
•
•
równania różniczkowe\różnicowe
transmitancja operatorowa
równania stanu
„zpk” (zera, bieguny, wzmocnienie)
macierz „sos” i wzmocnienie G
schemat strukturalny lub graf
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help step
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Wpływ sprz˛eżenia zwrotnego na dynamik˛e układu w stanie
zamknietym
˛
można określić badajac
˛ rozkład pierwiastków
jego równania charakterystycznego (biegunów) na
płaszczyźnie zespolonej s.
Model I rz˛edu:
G(s) =
K
Ts + 1
K - wzmocnienie
T - stała czasowa
Model II rz˛edu:
G(s) =
wn2
s2 + 2ζwn s + wn2
ζ - współczynnik tłumienia
wn - pulsacja drgań własnych
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help step
MC
Step Response
100
80
Amplitude
0.5
0
-0.5
-1
-2
60
40
20
0
2
0
0
4
5
Real Axis
Pole-Zero Map
15
20
15
20
100
80
0.5
0
-0.5
-1
-2
10
Time (sec)
Step Response
1
Amplitude
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Pole-Zero Map
1
Imaginary Axis
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Co możemy wywnioskować z położenia biegunów?
Imaginary Axis
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
60
40
20
0
2
Real Axis
G = zpk([],[3],1)
pzmap(G)
step(G)
4
0
0
5
10
Time (sec)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help step
MC
0
0.92
0.82
Step Response
0.5
0.55
0.4
0.989
Amplitude
0.5
0.96
0.978
0.996
0.999
3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0.999
0.996
-0.5
0.978
0.96
-1
-4
System: T
Rise Time (sec): 0.732
0.2
0.92
0.82
-2
0.55
0
Real Axis
2
0
0
4
5
Pole-Zero Map
1
0.86
System: T
Final Value: 0.333
0.3
0.1
0.989
10
Time (sec)
15
20
Step Response
2.5
0.72 0.45
0.925
0.5
2
0.962
Amplitude
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Pole-Zero Map
1
Imaginary Axis
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Co możemy wywnioskować z położenia biegunów?
Imaginary Axis
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
0.982
0.992
0.998
1.751.5
1.25 0.75
1 0.5
0.25
0
-0.5
0.998
0.992
0.982
0.962
1.5
System: T
Final Value: 2
System: T
Rise Time (sec): 4.39
1
0.5
0.925
-1
-2
0.86
0.72 0.45
0
2
Real Axis
4
0
0
5
10
Time (sec)
15
20
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help step
MC
0
0.92
0.82
Step Response
100
0.55
80
0.989
Amplitude
0.5
0.96
0.978
0.996
0.999
3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0.999
0.996
-0.5
0.978
0.96
-1
-4
60
40
20
0.989
0.92
0.82
-2
0.55
0
Real Axis
2
0
0
4
5
Pole-Zero Map
1
0.86
10
Time (sec)
15
20
15
20
Step Response
100
0.72 0.45
0.925
0.5
80
0.962
Amplitude
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Pole-Zero Map
1
Imaginary Axis
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Co możemy wywnioskować z położenia biegunów?
Imaginary Axis
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
0.982
0.992
0.998
1.751.5
1.25 0.75
1 0.5
0.25
0
-0.5
0.998
0.992
0.982
0.962
60
40
20
0.925
-1
-2
0.86
0.72 0.45
0
2
Real Axis
4
0
0
5
10
Time (sec)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help step
MC
0
0.92
0.82
Step Response
3
0.55
0.989
Amplitude
0.5
0.96
0.978
0.996
0.999
3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0.999
0.996
-0.5
2
0.978
0.96
-1
-4
System: T
Rise Time (sec): 5.47
0.92
0.82
-2
0.55
0
Real Axis
2
0
0
4
Pole-Zero Map
2
0.64
0.78
1
0.87
0.93
0.97
0.992
0
0.992
0.97
0.93
-1
0.87
0.78
-2
-2
0.64
System: T
Peak amplitude: 1.16
Overshoot (%): 16.3
At time (sec):
12.2
System:
T
Settling Time (sec): 26.9
1
0.989
10
20
Time (sec)
30
Step Response
3
0.46 0.241.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
Amplitude
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Pole-Zero Map
1
Imaginary Axis
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Co możemy wywnioskować z położenia biegunów?
Imaginary Axis
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
0.46 0.241.75
2
2
System: T
Peak amplitude: 1.4
Overshoot (%): 39.5
At time (sec): 4.72
System: T
Settling Time (sec): 19.5
1
System: T
Rise Time (sec): 1.85
0
2
Real Axis
4
0
0
10
20
Time (sec)
30
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help step, impulse
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Odpowiedź skokowa i odpowiedź impulsowa systemu
opisanego transmitancja˛ operatorowa˛
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Odpowiedź skokowa
Amplituda
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Czas (sec)
3
3.5
4
4.5
5
Odpowiedź impulsowa
8
6
Amplituda
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
8s2 + 18s + 32
s3 + 6s2 + 14s + 24
4
2
0
-2
0
0.5
1
1.5
2
Czas (sec)
2.5
3
3.5
4
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help step, impulse
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
sys = tf([8 18 32],[1 6 14 24])
subplot(211),
step(sys)
subplot(212),
impulse(sys)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help lsim
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Symulacja odpowiedzi modelu „LTI” na przyjete
˛ pobudzenie.
Odpowiedź na zadane pobudzenie
1
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0.8
0.6
Amplituda
0.4
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
t = 0:0.01:4;
u = sin(10*t);
lsim(sys,u,t);
0.5
1
1.5
2
Czas (sec)
2.5
3
3.5
4
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help initial
Symulacja odpowiedzi układu na zadane warunki
poczatkowe
˛
Odpowiedź układu na warunki początkowe
1
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0.6
0.4
Amplituda
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
0.8
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
2
4
6
8
10
12
14
Czas (sec)
A = [-0.8 3.6 -2.1;-3 -1.2 4.8;3 -4.3 -1.1];
B = [0; -1.1; -0.2]; C = [1.2 0 0.6]; D = 0;
G = ss(A,B,C,D);
x0 = [-1;0;2]; % initial state
initial(G,x0)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help bode,nyquist
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Interpretacja charakterystyk cz˛estotliwościowych układu
otawrtego w celu badania stabilności układu zamknietego:
˛
• wykres Bodego
• wykres Niquista
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help bode
MC
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Charakterystyki częstotliwościowe Bodego
10
5
0
Magnitude (dB)
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Charakterystyki cz˛estotliwościowe Bodego
-5
-10
-15
-20
-25
45
0
Phase (deg)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
-45
-90
0
10
1
10
Częstotliwość (rad/sec)
sys = tf([8 18 32],[1 6 14 24])
bode(sys), grid
10
2
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MC
help bode
Charakterystyki cz˛estotliwościowe Bodego
Bode Diagram
Gm = Inf , Pm = 117 deg (at 7.37 rad/sec)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
10
Magnitude (dB)
5
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0
-5
-10
-15
-20
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
-25
-30
Phase (deg)
45
0
-45
-90
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
10
2
sys = tf([8 18 32],[1 6 14 24])
[Gm,Pm,Wg,Wp] = margin(sys)
Gm = Inf Pm = 117.2011 Wg = NaN Wp = 7.3744
margin(sys)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help bode
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Charakterystyki cz˛estotliwościowe Bodego
Bode Diagram
Gm = 59.2 dB (at 9.13 rad/sec) , Pm = 89.9 deg (at 0.01 rad/sec)
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Magnitude (dB)
System: sys
Frequency (rad/sec): 0.01
Magnitude (dB): -0.00047
System: sys
Frequency (rad/sec): 9.33
Magnitude (dB): -59.4
-50
-100
-150
270
Phase (deg)
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
0
180
90
0
10
-2
0
10
Frequency (rad/sec)
10
2
10
4
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help nyquist
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Wykres Nyquista
Wykres Nyquista
1.5
0 dB
-2 dB
2 dB
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
-4 dB
1
4 dB
-6 dB
6 dB
0.5
-10 dB
10 dB
Oś urojona
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
-20 dB
20 dB
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Oś rzeczywista
sys = tf([8 18 32],[1 6 14 24])
nyquist(sys), grid
1
1.5
2
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
przykład
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Wykreśl charakterystyk˛e Nyquista odpowiadajac
˛ a˛ transmitancji pewnego układu otwartego
Go (s) =
ko
,
(−1 + s)(3 + s)(4 + s)
ko > 0
Przyjmujac
˛ ko = 20 , zbadaj czy układ po zamknieciu
˛
petli
˛
jednostkowego ujemnego sprz˛eżenia zwrotnego bedzie
˛
układem stabilnym.
Z =N +P
Z - liczba biegunów leżacych
˛
w prawej półpłaszczyźnie
zespolonej układu zamknietego
˛
P - liczba biegunów leżacych
˛
w prawej półpłaszczyźnie
zespolonej układu otwartego
N - określa ile razy charakterystyka obchodzi zgodnie z
ruchem wskazówek zegara punkt (−1, j0)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help nyquist
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
6 dB4 dB2 dB0 dB
-2 dB
-4 dB
-6 dB
10 dB
-10 dB
0.2
20 dB
0.1
-20 dB
0
Magnitude (dB)
0.3
-20
-40
-60
-80
0
-100
-135
-0.1
-0.2
System: sys
Real: -0.984
Imag: -0.211
Frequency (rad/sec): 1.11
Phase (deg)
Imaginary Axis
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Bode Diagram
Gm = -4.44 dB (at 0 rad/sec) , Pm = 12.1 deg (at 1.12 rad/sec)
20
Nyquist Diagram
0.4
-0.3
-0.4
-2
-1.5
-1
Real Axis
-0.5
0
-180
-225
-270
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
10
2
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
przykład 1
System SISO
Jaki wpływ ma wartość wzmocnienia k na stabilność układu
zamknietego?
˛
W jakim przedziale wartości wzmocnienia k
układ pozostaje stabilny?
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
s = tf('s');
G = -(2*s+1)/(s^2+3*s+2)
Transfer function:
-2 s - 1
------------s^2 + 3 s + 2
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
przykład 1
Rozkład biegunów i zer na płaszczyźnie zespolonej
zmiennej zespolonej s. Ile wynosi współczynnik tłumienia?
Pole-Zero Map
1
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0.76
0.64
0.5
0.34
0.16
0.8
0.94
0.6
0.4
0.985
Imaginary Axis
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
0.86
0.2
1.75
0
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
-0.2
0.985
-0.4
-0.6
0.94
-0.8
0.86
-1
-2
-1.8
-1.6
0.76
-1.4
-1.2
0.64
-1
-0.8
Real Axis
0.5
-0.6
0.34
-0.4
s = tf('s');
G = -(2*s+1)/(s^2+3*s+2);
k = 0.7;
T = feedback(G*k,1);
pzmap(T), grid, axis([-2 0 -1 1])
0.16
-0.2
0
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
przykład 1
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Odpowiedź skokowa dla współczynnika tłumienia ζ = 0.7
Odpowiedź skokowa
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0
-0.1
-0.2
-0.3
Amplituda
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
0
1
2
3
4
5
Czas (sec)
6
7
8
9
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
przykład 1
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Odpowiedź skokowa dla współczynnika tłumienia ζ = 0.7
Odpowiedz skokowa
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0
-0.1
-0.2
-0.3
Amplituda
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
-0.4
System: T
Rise Time (sec): 0.41
System: T
Settling Time (sec): 5.94
-0.5
System: T
Final Value: -0.538
-0.6
-0.7
System: T
Peak amplitude: -0.82
Overshoot (%): 52.2
At time (sec): 1.51
-0.8
-0.9
0
1
2
3
4
5
Czas (sec)
6
7
8
9
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
przykład 1
Dla jakiego k układ zamkniety
˛ znajdzie sie˛ na granicy
stabilności?
Root Locus
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0.8
0.6
0.9
0.82
0.66
0.4
0.945
System: G
Gain: 1.47
Pole: -0.0262 + 0.725i
Damping: 0.0361
Overshoot (%): 89.3
Frequency (rad/sec): 0.725
0.974
0.4
0.99
Imaginary Axis
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
1
0.2
0.997
2
0
-0.2
1.5
1
0.5
0.997
0.99
-0.4
-0.6
-0.8
0.974
0.945
0.9
-1
-2.5
-2
rlocus(G), grid
0.82
-1.5
0.66
-1
0.4
-0.5
0
Real Axis
0.5
1
1.5
2
2.5
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
rss
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Losowo generowany model w czasie ciagłym
˛
opisany w
przestrzeni stanów
rss(n, p, m)
n - rzad
˛ modelu
p - liczba wyjść modelu
m - liczba wejść modelu
sys = rss(3,2,2)
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
rss
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
a =
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
x1
x2
x3
x1
-0.54175
0.09729
0.08304
x2
0.09729
-0.89491
0.58707
x1
x2
x3
u1
-0.88844
0
-0.07162
u2
-2.41459
-0.69435
-1.39139
y1
y2
x1
0.32965
0.59854
x2
0.14718
-0.10144
y1
y2
u1
-0.87631
0
u2
-0.32758
0
x3
0.08304
0.58707
-1.95271
b =
c =
d =
x3
0
0.02805
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MIMO
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Przedstawione sposoby generowania wykresów działaja˛
również dla systemów MIMO (wiele wejść wiele wyjść)
Step Response
From: In(1)
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
To: Out(1)
0.5
Amplitude
0
0.5
To: Out(2)
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
From: In(2)
1
0
-0.5
-1
0
5
10
15 0
Time (sec)
5
sys = rss(3,2,2);
sys.a = [-0.5 -0.3 -0.2 ; 0 -1.3
step(sys)
10
15
-1.7; 0.4 1.7 -1.3];
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
MIMO
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Grupowanie wykresów: I/O Grouping -> All
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
System: sys
I/O: In(2) to Out(1)
Time (sec): 2.13
Amplitude: 0.933
1
System: sys
I/O: In(1) to Out(2)
Time (sec): 2.75
Amplitude: 0.581
0.5
Amplitude
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Step Response
1.5
0
System: sys
I/O: In(1) to Out(1)
Time (sec): 3.12
Amplitude: -0.254
-0.5
System: sys
I/O: In(2) to Out(2)
Time (sec): 2.48
Amplitude: -1.11
-1
-1.5
0
2
4
6
8
Time (sec)
10
12
14
16
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help pade
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Aproksymacja Pade dla modelu z opóźnieniem czasowym.
Funkcja MATLAB-a pade() zwraca współczynniki nowego
ułamka:
[num, den] = pade(T , N) ← exp−sT
T - stała czasowa członu opóźniajacego
˛
N - rzad
˛ aproksymacji, N<10
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help pade
MC
Pade approximation of order 3: step response comparison
1.5
1
Amplitude
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
0.5
0
-0.5
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Pade approximation
Pure delay
-1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Time (s)
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Phase response comparison
0
Phase (degree)
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
-200
-400
-600
-800
-1000
10
1
2
10
Frequency (rad/s)
[num,den] = pade(0.1,3)
>> tf([num],[den])
Transfer function:
-s^3 + 120 s^2 - 6000 s + 1.2e005
--------------------------------s^3 + 120 s^2 + 6000 s + 1.2e005
10
3
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help thiran
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Aproksymacja Thiran dyskretyzuje opóźnienie czasowe
przedstawione w czasie ciagłym.
˛
Funkcja MATLAB-a
thiran() zwraca transmitancje˛ operatorowa:
˛
sys = thiran(T , Ts ) ← exp−sT
T - stała czasowa członu opóźniajacego
˛
Ts - czas próbkowania
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help thiran
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Jaki wpływ na przybliżona˛ postać transmitancji ma dobranie
czasu próbkowania?
sys1 = thiran(2.4, 1)
Transfer function:
0.004159 z^3 - 0.04813 z^2 + 0.5294 z + 1
----------------------------------------z^3 + 0.5294 z^2 - 0.04813 z + 0.004159
sys2 = thiran(10, 1)
Transfer function:
1
---z^10
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help thiran
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Jak uzyskać współczynniki takiej transmitancji i jaki bedzie
˛
jej rzad?
˛
aN z N + aN−1 z N−1 + · · · + a1
a0 z N + a1 z N−1 + · · · + aN
Y
N
D−N +i
k N
ak = (−1)
, k = 1, 2, . . . , N
k
D−N +k +i
H(z) =
i=0
a0 = 1,
D=
T
,
Ts
N = ceil(D) − rzad
˛ filtru
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help c2d
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
Konwersja systemu w czasie ciagłym
˛
na system w czasie
dyskretnym
sysd = c2d(sys, Ts ,0 method 0 )
Ts - czas próbkowania ’method’
•
•
•
•
•
’zoh’
’foh’
’impulse’
’tustin’
’matched’
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help c2d
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
H = tf([1 -1], [1 4 5], 'inputdelay', 0.35)
Transfer function:
s - 1
exp(-0.35*s) * ------------s^2 + 4 s + 5
%metoda aproksymacji trójkatnej
˛
Hd = c2d(H, 0.1, 'foh');
Transfer function:
0.0115 z^3 + 0.0456 z^2 - 0.0562 z - 0.009104
--------------------------------------------z^6 - 1.629 z^5 + 0.6703 z^4
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help c2d
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Step Response
0.15
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
0.05
0
Amplitude
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
0.1
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
-0.25
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
3
3.5
4
4.5
5
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help c2d
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
h = tf(10,[1 3 10],'iodelay',0.25)
Transfer function:
10
exp(-0.25*s) * -------------s^2 + 3 s + 10
%metoda 'zero order hold' (domyślna)
hd = c2d(h, 0.1)
step(h,'--',hd,'-')
Transfer function:
0.01187 z^2 + 0.06408 z + 0.009721
z^(-3) * ---------------------------------z^2 - 1.655 z + 0.7408
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help c2d
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Step Response
1.4
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
1
Amplitude
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
1.2
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time (sec)
3
3.5
4
4.5
5
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help c2d
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
% model w przestrzeni stanu
sys = ss(tf([1, 2], [1, 4, 2]));
sys.InputDelay = 2.7 %opóźnienie na wejściu
a =
b =
x1
x2
x1
-4
1
y1
x1
0.5
x2
-2
0
c =
u1
2
0
x1
x2
d =
x2
1
y1
u1
0
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
help c2d
MC
Charakterystyki
czasowe i cz˛estotliwościowe
Aproksymacja
członu
opóźniajacego
˛
Konwersja
systemu w
czasie
ciagłym
˛
na
system w
czasie
dyskretnym
% model w przestrzeni stanu
sys = ss(tf([1, 2], [1, 4, 2]));
sys.InputDelay = 2.7 %opóźnienie na wejściu
opt
= c2dOptions('Method', 'tustin',
'FractDelayApproxOrder', 3);
sysd1 = c2d(sys, 1, opt)
a =
x1
x2
x3
x4
x5
x1
-0.4286
0.2857
0
0
0
x2
x3
x4
-0.5714 -0.00265 0.06954
0.7143 -0.001325 0.03477
0 -0.2432
0.1449
0
0.25
0
0
0
0.125
x5
2.286
1.143
-0.1153
0
0