Rozkłady

Lp. Rozkład
Symbol
1. zerojedynkowy
ZJ(p)
Funkcja prawd.
Gęstość prawd.
1 − p dla x = 0

p ( x) =  p
dla x = 1
 0
poza tym

2.
 n  x
n− x
  p (1 − p )
p( x) =  x 

0

3.
dwumianowy
BI(n,p)
dla x = 0,1,2,..., n
poza tym
nierównomier
 1

dla x = a, a + 1,..., b
ny
p ( x) =  b − a + 1
R(a,b)
 0
poza tym
4.
geometryczn
y
GE(p)
 p(1 − p )x
p ( x) = 
0

5.
Pascala
NBI(k,p)
 x − 1  k
 p (1 − p )x − k

p( x) =  x − k 

0

6.
Poissona
PO(λ)
7.
beta
BT(α,β)
dla x = 0,1,2,...
poza tym
e −λ λx
x!
 x α −1 (1 − x )β−1

f ( x) =  B(α, β )

0
dla x = k , k + 1,...
Dystrybuanta
EX
D2X
dla x ≤ 0
 0

F ( x) = 1 − p dla 0 < x ≤ 1
 1
x >1

EX = p
D 2 X = p − p 2 = p (1 − p )

0
dla x ≤ 0
  n  k
n−k
dla 0 < x ≤ 2
F ( x) = ∑   p (1 − p )
k < x  k 

1
dla x > n
 0
dla x ≤ a
 k
F ( x) = 
dla a + k-1 < x ≤ a + k
b − a + 1
dla x > b
 1
0
dla x ≤ 0

F ( x) =  p(1 − p )x dla x > 0
∑
k<x
D 2 X = np(1 − p )
(b − a + 1)2 − 1
EX =
a+b
2
D2 X =
EX =
1− p
p
D2 X =
1− p
p2
EX =
k
p
D2 X =
k (1 − p )
p2
12
poza tym
EX = λ
p( x) =
dla 0 ≤ x ≤ 1
poza tym
EX =
α
α+β
D2 X = λ
D2 X =
αβ
(α + β) (α + β + 1)
2
8.
chi-kwadrat
CHIS(ν)
9.
Erlanga
ERL(α,β)
10. wykładniczy
EXP(µ)
11. F-Snedecora
F(ν,w)
12. gamma
GAMMA(α,
β)
 ν −2 2
 x
 x exp − 
 2  dla x ≥ 0

ν
f ( x) = 
ν
2 
 2 Γ 
2

0
dla x < 0

 β α x α −1 −βx

e
dla x > 0
f ( x) =  (α − 1)!

0
dla x ≤ 0
1
 x
 exp −  dla x ≥ 0
f ( x) =  µ
 µ

0
dla x < 0

  ν + w  ν  ν − 2 ν − 2
  x 2
 Γ
2
 w 
 
dla x ≥ 0
f ( x) =   ν   w  ν  ν + w
2
 Γ Γ 1 +  x
  2   2  w 
0
dla x < 0

 βα x α −1 exp(− βx )

dla x ≥ 0
f ( x) = 
Γ(α )

0
dla x < 0
13. logarytmonormalny
LN(µ,σ)
 1
 (ln x − α )2 

exp −
 dla x > 0
f ( x) =  xβ 2π
2β 2 


0
dla x ≤ 0

14. normalny,
Gaussa
N(µ,σ)
 ( x − µ )2 
1
f ( x) =
exp −
 dla x ∈ R
2σ 2 
σ 2π

EX = ν
EX =

 x
1 − exp −  dla x ≥ 0
F ( x) = 
 µ

0
dla x < 0

D 2 X = 2ν
α
β
D2 X =
EX = µ
α
β2
D2 X = µ2
EX =
w
w−2
D2 X =
2 w2 (ν + w − 2)
2
ν(w − 2) (w − 4)
EX =
α
β
D2 X =
α
β2
EX = µ
µ=e
α+
2
β
2
EX = µ
D 2 X = σ2
2
2
σ 2 = eβ − 1 e 2 α +β
[
D 2 X = σ2
]
15. t Studenta
t(n)
16. trójkątny
TR(a,b,c)
17. jednostajny,
prostokątny
J(a,b)
18. Weibulla
W(α,β)
 n +1
n +1
Γ

2 2   x  2

1 + 
f ( x) =
dla x ∈ R
n 
n

Γ  nπ
2


0
dla x < a, x > c

 2( x − a )
f ( x) = 
dla a ≤ x ≤ b
(
)(
)
−
−
c
a
b
a

 2(c − x )
dla b < x ≤ c
 (c − a )(c − b )
 1

dla a ≤ x ≤ b
f ( x) =  b − 1
 0
poza tym

  x α 
− α α −1
αβ x exp −    dla x ≥ 0
f ( x) = 
  β  

0
dla x < 0

EX = 0 , n ≥ 2
 0
dla x ≤ a
x −a
F ( x) = 
dla a < x ≤ b
b
−
a

dla x > b
 1
0
dla x < 0

α

F ( x) = 1 − exp −  α   dla x ≥ 0
 

  β  

D2 X =
n
,n≥3
n−2
EX =
a+b+c
a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac
2
D X=
3
18
EX =
a+b
2
EX =
β 1
β2
Γ  D 2 X =
α α
α
D
2
2
(
b − a)
X=
12
  2  1 2 1
2Γ α  − α Γ  α

  