Wykład 9

Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected]
Przestrzenią R3 nazywamy zbiór uporządkowanych trójek (x,y,z) liczb rzeczywistych
R3={(x,y,z): x,y,z∈ R}
Uwaga. Przestrzeń R3 będziemy interpretować na 3 sposoby
• zbiór punktów P=(x,y,z) w przestrzeni wyposażonej w kartezjański układ współrzędnych
• zbiór wszystkich wektorów zaczepionych postaci a = OP - wektory te mają wspólny
początek O=(0,0,0), a końce w punktach P=(x,y,z). Wektor OP nazywamy wektorem
r
wodzącym punktu P, który zwykle oznaczamy przez r lub r . Liczby x,y,z nazywamy
współrzędnymi wektora r = ( x, y , z )
• zbiór wszystkich wektorów swobodnych w przestrzeni. Przez wektor swobodny rozumiemy
tu zbiór wszystkich wektorów zaczepionych w różnych punktach, które mają ten sam
kierunek, zwrot oraz długość, co dany wektor u. Dany wektor u nazywamy reprezentantem
wektora swobodnego oznaczanego również przez u. Wektor swobodny jest w tym ujęciu klasą
równoważności relacji równoważnościowej zadanej w zbiorze wszystkich wektorów
zaczepionychuRw ⇔ istnieje translacja wektora u na wektor w.
W tej interpretacji elementy przestrzeni R3 nazywamy wektorami. Każdemu wektorowi
swobodnemu
odpowiada
trójka
liczb
niezależna
od
wyboru
reprezentanta
u = [u x , u y , u z ] = [u1 , u 2 , u 3 ] .
Działania na wektorach (swobodnych)
u = [u x , u y , u z ] , v = [v x , v y , vz ]
u ± v = [u x ± v x , u y ± v y , u z ± v z ] ,
λ u = [λ u x , λ u y , λ u z ]
Uwaga. Zbiór wektorów swobodnych z działaniami dodawania wektorów swobodnych i mnożenia
wektora przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych.
Inne (formalne) ujęcie
Niech X będzie pewnym zbiorem (zwanym zbiorem punktów) a V przestrzenią wektorową. Niech
będzie dane działanie zewnętrzne w zbiorze X nad zbiorem V (dodawanie wektora do punktu)
V×X ∋ (x,v)→x+v∈X,
spełniające warunki:
1. ∀x∈X x+0=x
2. ∀x,y∈X ∃v∈V x+v=y
3. x+v= x+u⇒ v=u
4. ∀x∈X ∀u,v∈V x+(u+v)= (x+u)+v
Trojkę (X,V,+) nazywamy przestrzenią afiniczną. Przestrzeń wektorową V nazywamy przestrzenią
wektorów swobodnych przestrzeni afinicznej X. Elementy przestrzeni afinicznej nazywamy punktami.
1
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected]
Dalej nie będziemy rozwijać formalnego podejścia poprzestając na podanych wcześniej intuicyjnych
interpretacjach punktów i wektorów w R3.
Przestrzenią Rn nazywamy zbiór ciągów n elementowych x=(x1,…,xn) liczb rzeczywistych.
Podobnie jak w przypadku przestrzeni R3 elementy przestrzeni Rn możemy interpretować jako punkty,
wektory zaczepione lub wektory swobodne.
Odległość punktów i długość wektora w przestrzeni R3.
P1 = ( x1 , y1 , z1 ) , P2 = ( x2 , y2 , z2 ) ; d ( P1 , P2 ) =| P1P2 |= ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2
Uogólnienie
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K (R lub C).
Def.
Normą w przestrzeni liniowej nad ciałem K nazywamy funkcję
czym:
1. ∀v ∈ V v = 0 ⇔ v = 0
2.
∀α ∈ K ∀v ∈V
3.
∀u, v ∈ V u + v ≤ u + v (subaddytywność normy)
⋅ : V ∋ v → v ∈ R+ , przy
αv =α v
Parę (V , ⋅ ) nazywamy przestrzenią unormowaną.
Norma wektora jest uogólnieniem pojęcia długości wektora wprowadzonej w przestrzeni R3.
Przykłady
• X = Rn
•
x = ( x1 ,..., x n )
o
x =
o
x
o
x
l∞
l1
∑
n
2
x
i =1 i
= max xi
=
1≤l ≤n
n
∑
i =1
xi
- norma euklidesowa (norma l 2 )
- norma max lub l ∞
- norma l1
X = C[ a ,b ] - zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych ciągłych na [a, b]
f = sup f ( x) = max f ( x) - norma supremum (sup=max bo f jest ciągła na zbiorze zwartym)
a ≤ x≤b
a ≤ x ≤b
Iloczynem skalarnym wektorów a i b w przestrzeni R3 nazywamy liczbę
a o b =| a | | b | cos ϕ ,
gdzie ϕ jest kątem (zwykłym) pomiędzy wektorami a i b .
Fakt. Jeżeli a = [a x , a y , a z ] , b = [bx , by , bz ] , to a o b = a x bx + a y by + a z bz .
Wniosek. cos ϕ =
a x bx + a y b y + a z bz
a x2 + a y2 + a z2 b x2 + b y2 + b z2
2
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected]
Własności iloczynu skalarnego (w przestrzeni R3 )
•
•
•
•
•
a o b = b o a -przemienność
(λa) o b = λ (a o b)
a o (b + c) = a o b + a o c - rozdzielność iloczynu skalarnego względem dodawania
| a o b |≤| a | | b |
a ⊥ b ⇔ aob = 0
Uogólnienie. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K (R lub C).
Def.
Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej V nad ciałem K nazywamy funkcję
⋅ , ⋅ : V × V ∋ (u, v) → u, v ∈ K , przy czym:
1.
∀u, v ∈ V
2.
∀ u, v , w ∈ V
3.
∀α ∈ K ∀v, w ∈ V α v, w = α v, w
4.
∀v ∈ V
Parę (V , ⋅, ⋅
u, v = v, u
u + v , w = u, w + v , w
v, v ≥ 0 i v, v = 0 ⇔ v = 0
) nazywamy przestrzenią unitarną.
Przykłady
∑
=∑
•
X = Rn
x = ( x1 ,..., x n ) , y = ( y1 ,..., yn ) ; x, y =
•
X = Cn
x = ( x1 ,..., x n ) , y = ( y1 ,..., yn ) ; x, y
n
xy
i =1 i i
n
xy
i =1 i i
b
•
X = C[ a , b ] -przestrzeń funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale [a,b] ; f , g =
∫ f ( x) g ( x)dx .
a
b
•
X = W[ n ],[ a , b ] -przestrzeń wielomianów stopnia ≤ n na przedziale [a,b] ;
f,g =
∫ f ( x) g ( x)dx .
a
W przestrzeni unitarnej prawdziwa jest następująca nierówność Schwarza
∀u, v ∈ V
u, v ≤ u v .
Dowód nierówności Schwarza.
2
∀u, v ∈ V ∀λ ∈ K ; 0 ≤ u − λv = u − λv, u − λv = u, u − λ v, u − λ u, v + λ
Przyjmijmy w szczególności λ =
2
v, v
u, v
2
. Biorąc pod uwagę, tożsamości z z = z i
v, v
otrzymujemy nierówność 0 ≤ u, u −
u, v
v, v
v , u = u, u −
u, v
v, v
u, v = v, u
2
z której wynika teza.
Mając dany iloczyn skalarny w przestrzeni V możemy określić w niej normę za pomocą wzoru
∀v ∈ V
Dowód subaddytywności normy
v =
v, v .
v =
v, v wyznaczonej przez iloczyn skalarny.
3
Automatyka i Robotyka – Algebra -Wykład 9- dr Adam Ćmiel , [email protected]
2
u + v = u + v , u + v = u, u + u , v + v , u + v , v =
2
2
2
2
= u + 2re u, v + v ≤ u + 2 u, v + v
(1)
W dowodzie wykorzystano (1) re z≤|z|
≤ u +2 u v + v =(u + v
2
2
( 2)
)2
(2) nierówność Schwarza
W przestrzeni unitarnej możemy określić kąt (cosinus kąta) między niezerowymi wektorami wzorem
u, v
cos ϕ =
(z nierówności Schwarza cos ϕ ≤ 1 ).
u v
Def. Wektory u i v przestrzeni unitarnej V nazywamy ortogonalnymi (prostopadłymi), gdy u, v = 0 .
Niech V będzie n wymiarową przestrzenią unitarną z bazą v1,…,vn. Za pomocą następującej procedury
ortonormalizacji Grama-Schmidta :
vn−
v − v 2 , e1 e1
v
e1 = 1 , e 2 = 2
,…, e n =
v1
v 2 − v 2 , e1 e1
vn−
∑
∑
n −1
v n , ei ei
i =1
n −1
,
v n , ei ei
i =1
można zbudować bazę ortonormalną e1,…,en w przestrzeni V.
Zadanie. Stosując procedurę ortonormalizacji Grama-Schmidta w przestrzeni W[3] wielomianów
stopnia ≤3 określonych na przedziale [-1,1] z bazą jednomianów 1, t, t2, t3 znaleźć bazę ortonormalną.
Odp.
1
,
2
3
2
t,
3
2
(−
5
2
1
3
)
+ t2 ,
5
2
7
2
(−
3
t
5
)
+ t 3 są to unormowane wielomiany Legendre’a.
Wyznacznik Grama
Niech v1,…,vn będzie ciągiem wektorów w przestrzeni unitarnej. Wyznacznikiem Grama nazywamy
wyznacznik
v1 , v1
v 2 , v1
G ( v1 ,..., v n ) =
M
v n , v1
v1 , v 2
v2 , v2
M
vn , v2
L
L
O
L
v1 , v n
v2 , vn
.
M
vn , vn
Tw. Wektory v1,…,vn są liniowo niezależne ⇔ G ( v1 ,..., v n ) ≠ 0 .
Dowód. Wektory v1,…,vn są liniowo niezależne ⇔
n
∑α v
i
i
= 0 ⇒ α i = 0 ∀i .
i =1
n
Mnożąc tożsamość
∑α v
i
i
= 0 skalarnie (z lewej strony) przez vj , j=1,…,n otrzymujemy układ równań
i =1
 v1 , v1

 v 2 , v1
 M

 v n , v1
v1 , v 2
v2 , v2
L
L
M
vn , v2
O
L
v1 , v n  α1  0

v 2 , v n  α 2  0
=
, który ma rozwiązanie zerowe ⇔ G ( v1 ,..., v n ) ≠ 0 .
M  M  M 
   
v n , v n  α n  0
4