I. Kilka twierdzeń II. Przykład III. Ilorazy różnicowe, siatka
Transkrypt
I. Kilka twierdzeń II. Przykład III. Ilorazy różnicowe, siatka
Modelowanie zjawisk przyrodniczych 2001 Wykład 13, 29.05.2001 Zagadnienia brzegowe, metody różnicowe I. Kilka twierdzeń Tw. 1. Kincaid, Cheney, s. 533 Zagadnienie brzegowe x00 = f (t, x), x(0) = 0, x(1) = 0 posiada jednoznaczne rozwiazanie jeżeli , ciagła, nieujemna i ograniczona na pasie: 0 ≤ 1, ∞. t ≤ −∞ < x < , Tw. 2. Kincaid, Cheney, s. 536 ciagł Niech f = f (t, x) bedzie , a, funkcja, , określona, na pasie: 0 ≤ t ≤ 1, , zmiennej Lipshitza wzgledem x ze sta’l a , k <8 , ∂f ∂x jest 2 −∞ < x < ∞, spełniajac , a, warunek kf (t, x1 ) − f (t, x2 )| ≤ k|x1 − x2 | Wówczas zagadnienie brzegowe x00 = f (t, x), x(0) = 0, x(1) = 0 posiada jednoznaczne rozwiazanie , jako zadanie) za pomoca, twierdzenia o punkcie stałym dla x ∈ C[0, 1]. Dowód (pozostawiony w ksiażce , odwzorowań zweżaj acych w przestrzeni zupełnej. , , 2 Tw. 3. Volkov, s. 195 Lu ≡ u00 + p(x)u0 − q(x)u = f (x), 0 ≤ x ≤ 1 l0 u ≡ u(0) = µ1 , l1 u ≡ u(1) = µ2 . Zagadnienie brzegowe posiada jednoznaczne rozwiazanie u(x) ∈ C (4) [0, 1] dla p, q, f ∈ C (2) [0, 1], , q(x) ≥ 0. 2 Tw. 4. Stoer, Bulirsch, s. 486 (proponuje, obejrzeć, jest dowód . . . ) 2 II. Przykład Było omawiane równanie drgań spreżyny. Sformułujmy zagadnienie brzegowe: , mx00 + kx = 0, x(0) = 0 = x(T ). ogólnym r.r. jest Rozwiazaniem , dla ω = 2 k m. x(t) = c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt) Rozwiazanie niezerowe istnieje, jeśli ωT = nπ. Wówczas , x(t) = c1 sin( nπt ) T i parametr c1 pozostaje nieokreślony, czyli istnieje nieskończenie wiele rozwiazań. , III. Ilorazy różnicowe, siatka Podstawa, wszystkich metod różnicowych jest pomysł zastapienia pochodnych wystepuj acych w równaniu róż, , , niczkowym, odpowiednimi ilorazami różnicowymi, np: u(xi + h) − u(xi ) u(xi + h) − u(xi − h) du du ∼ ∼ , albo , dx x=xi h dx x=xi 2h u(xi + h) − 2u(xi ) + u(xi − h) d2 u . ∼ 2 dx h2 x=xi Czasem potrzebne jest aproksymowanie ilorazem różnicowym wartości pochodnej w punkcie brzegowym, np. x0 . Można zrobić to z rzedem 2 na trzech wezłach: , , du ∼ Au(x0 ) + Bu(x1 ) + Cu(x2 ) dx x=x0 1 Adam Szustalewicz dobierajac , odpowiednio współczynniki A, B, C (zad.1). Zamiast zaś funkcji, jako odwzorowania określonego na całym przedziale zmiennej niezależnej [0, 1], wykorzystujemy jedynie wartości takiej funkcji na ustalonym, dyskretnym zbiorze punktów z tego przedziału, najcześciej punktów równoodległych, zwanym siatka: , , równoodległych ωh nazywamy skończony zbiór punktów: 1. Siatka, wezłów , ωh = {xj }N j=0 : xj = jh, h = 1 , (N > 1). N wewnetrzne: Wyróżniamy dla wygody: ωh0 – wezły 1 ≤ j < N , ωh∗ – wezły brzegowe: j = 0, N , , , , 0 ∗ (ωh = ωh ∪ ωh ). 2. Na siatce określone sa, funkcje siatkowe yh , reprezentowane przez swój zbiór wartości w wezłach siatki: , yj = yh (xj ) dla xj ∈ ωh . siatki bedziemy 3. Wartości zwykłej funkcji f = f (x) w wezłach oznaczać przez f (xj ) lub [f ]j , a przez [f ]h , , oznaczymy funkcje, siatkowa, otrzymana, z funkcji f przez przyjecie jej wartości w wezłach siatki. , , 4. Przestrzeń liniowa Yh funkcji siatkowych określonych na ωh jest izomorficzna z przestrzenia, Euklidesowa, RN +1 . Analogicznie możemy wprowadzić przestrzenie liniowe funkcji siatkowych Yh0 i Yh∗ określonych na siatkach ωh0 i ωh∗ . 5. Wprowadźmy norme, maximum w tych przestrzeniach liniowych, oznaczajac , je odpowiednio: || . ||h , || . ||0h oraz || . ||h∗ : ||yh ||h = max |yj |. 0≤j≤N IV. Aproksymacja zagadnienia brzegowego Rozpatrzmy teraz liniowe zagadnienie brzegowe, dla którego mamy zagwarantowane istnienie i jednoznaczność (por. tw. 3): rozwiazania , Lu = f (1) na [0, 1], z warunkami brzegowymi (2) lu = g, gdzie 00 0 Lu ≡ u + pu − qu, lu ≡ ( l0 u ≡ u dla x = 0, l1 u ≡ u dla x = 1, g(x) = ( µ1 dla x = 0, µ2 dla x = 1. Zagadnienie to posiada jednoznaczne rozwiazanie u ∈ C (4) [0, 1] dla p, q, f ∈ C (2) [0, 1], i q(x) ≥ 0. , 2 Operatory różniczkowe L i l, określone dla dostatecznie regularnych funkcji ciagłych zostana, zastapione ope, , ratorami różnicowymi określonymi na przestrzeniach funkcji siatkowych. Niech (Lh [u]h )j = [u]j−1 − 2[u]j + [u]j+1 [u]j+1 − [u]j−1 + p(xj ) − q(xj )[u]j h2 2h dla j = 1, 2, . . . , N − 1. zagadnienia brzegowego (1), (2), to Tw.5 Jeśli funkcja u ∈ C (4) [0, 1] jest rozwiazaniem , _ Cu ∈ R ||[Lu]h − Lh [u]h ||h0 ≤ Cu h2 . Dowód wynika z nierówności: |p(xj )u0 (xj ) − p(xj ) |u00 (xj ) − 2 [u]j+1 − [u]j−1 h2 | ≤ ||p||C ||u000 ||C 2h 6 [u]j+1 − 2[u]j + [u]j−1 h2 | ≤ ||p||C ||u(4) ||C h2 12 Modelowanie zjawisk przyrodniczych 2001 gdzie ||p||C = max |p(x)|. [0,1] 2 Def. Operator różnicowy Lh aproksymuje operator różniczkowy L z rzedem wzgl h, w sensie k edem kroku , , normy ||.||0h jeżeli k > 0 i dla każdej dostatecznie regularnej funkcji u spełniona jest nierówność ||[Lu]h − Lh [u]h ||0h ≤ Cu hk gdzie Cu jest stała, nie zależac , a, od h. 2 V. Metoda przegnania Schemat różnicowy: dla fh ∈ Yh0 , gh ∈ Yh∗ , Lh yh = fh (3) lh yh = gh , (4) czyli yj+1 − yj−1 yj−1 − 2yj + yj+1 − q(xj )yj = f (xj ) + p(xj ) h2 2h y0 = µ1 , y N = µ2 (j = 1, 2, . . . , N − 1) ma postać układu równań liniowych o macierzy trójprzekatniowej. Ten układ można zapisać w postaci ogól, niejszej, uwzgledniaj ace wartości pochodnej: acej warunki brzegowe zawieraj , , , Ai yi−1 − Ci yi + Bi yi+1 = −Fi , y0 = κ1 y1 + µ1 , i = 1, 2, · · · , N − 1 yN = κ2 yN −1 + µ2 i przy dodatkowych założeniach rozwiazać sprytnie zaprogramowana, , zwykła, metoda, eliminacji Gaussa, zwana, , w tym przypadku metoda, przegnania albo sweep method (zob. np. A. A. Samarskij, Teorija raznostnych schiem, Nauka, Moskva 1977). Należy wykonać nastepuj kroki obliczeniowe: ace , , Krok 1: Obliczyć αi i βi ze wzorów rekurencyjnych: αi+1 = Bi , Ci − αi Ai i = 1, 2, · · · , N − 1, βi+1 = Ai βi + Fi , C i − αi Ai α1 = κ1 , β1 = µ1 . układu ze wzorów: Krok 2: Obliczyć rozwiazanie , yN = µ2 + κ2 βN , 1 − α N κ2 yi = αi+1 yi+1 + βi+1 , i = N − 1, N − 2, · · · , 0. VI. Zadania 2 1. Dobrać wartości współczynników A, B, C w wyrażeniu aproksymujacym wartość pierwszej pochodnej , na lewym końcu przedziału x0 tak, aby bład był maksymalnego rz W moga, być równoodległe, edu. ezły , , , ale nie musza. , 2. Analogiczne zadanie dla aproksymacji pochodnej na prawym końcu przedziału du ∼ Au(xN −2 ) + Bu(xN −1 ) + Cu(xN ) . dx x=xN 3. Wyznaczyć rzad , aproksymacji drugiej pochodnej ilorazem różnicowym: 2 d u u(xi + h) − 2u(xi ) + u(xi − h) ∼ . dx2 x=xi h2 3 Adam Szustalewicz 4. Rozwiazać numerycznie zagadnienie brzegowe: , y 00 = 400y − 401 sin x , y(0) = 0 , y(a) = sin a dla kilku długości przedziału [0, a], np. a = 1, 2, 5 . Obejrzeć błedy rozwiazań numerycznych otrzy, , manych dla różnych wartości parametrów metod. numerycznie nieliniowe zagadnienie brzegowe: 5. Rozwiazać , y 00 − y 02 − y 2 + y + 1 = 0 , y(0) = 0.5 , y(π) = −0.5 z rozwiazaniem: , y(x) = sin(x + π ). 6 Zastosować metode, strzałów, oraz zaproponować i wypróbować metode, iteracyjna, do rozwiazywania , nieliniowego zagadnienia różnicowego. xi z maksymalna, dokładnościa, 6. Aproksymować wartość pierwszej , drugiej pochodnej funkcji f w weźle , , ezły x , x , x w przypadku gdy w te nie sa, równoodległymi. za pomoca, wartości funkcji w wezłach i−1 i i+1 , , • 4