Pytania i zagadnienia EL S1 oraz NA S1 lato 2015-2016

Pytania i zagadnienia do egzaminu z
matematyki.
E oraz NT, II semestr 2015/2016.
Cześć
¾ pisemna egzaminu obejmuje zadania z ca÷ego materia÷u.
Aby przystapić do cześci
¾ ustnej nalez·y uzyskać zaliczenie ćwiczeń oraz pozytywna¾ocene¾ z cześci
¾ pisemnej. W cześci
¾ ustnej odpowiadamy z teorii - sprawdzane
jest rozumienie pojeć
¾ i znajomość twierdzeń. Nalez·y przynieść: .
legitymacje¾ studencka,
¾ papier do pisania, pióro lub d÷
ugopis.
Po otrzymaniu pytań mamy czas na przygotowanie sie¾ do odpowiedzi. Prosze¾
zwrócić uwage¾ na poprawność logiczna¾i gramatyczna¾przygotowywanych odpowiedzi.
Symbol oznacza zagadnienia o szczególnym znaczeniu, a
obowiazkowe.
¾
Wymagana jest znajomość rachunku róz·niczkowego w zakresie semestru pierwszego, w szczególności funkcji i umiejetność
¾
róz·niczkowania.
1.
2.
De…nicje, w÷asności i wykresy funkcji elementarnych. W÷asności logarytmu. (Semestr I).
Róz·niczka funkcji (Semestr I).
3. De…nicja ca÷
ki nieoznaczonej. Jej w÷asności.
4. Ca÷
kowanie przez cześci.
¾
Zamiana zmiennych w ca÷ce nieoznaczonej.
5.
U÷
amki proste Rozk÷ad funkcji wymiernych na sume¾ u÷amków prostych
i wielomianu. Ca÷
kowanie.
R
R
R
6. Obliczanie ca÷
ek typu sin ax sin bxdx; sin ax cos bxdx; cos ax cos bxdx:
Z jakich wzorów trygonometrycznych korzystamy?
R
7. Ca÷
ki postaci xa lnb xdx:
8. Korzystanie z wzorów rekurencyjnych.
9.
De…nicja ca÷
ki oznaczonej. Interpretacja geometryczna. W÷asności.
(Ka·
zdy musi odpowiedziec na to pytanie.)
W zor
Zb
f (x)dx = F (b)
F (a) N IE JEST DEF IN ICJA!!
a
10. Obliczanie ca÷
ek oznaczonych: twierdzenie Newtona, ca÷kowanie przez
czaści,
¾ zamiana zmiennych w ca÷ce oznaczonej.
11.
12.
Zastosowania geometryczne ca÷ki oznaczonej: pole obszaru p÷askiego.
Proste przyk÷
ady.
Ca÷
ka niew÷
aściwa: ca÷ka z funkcji w przedziale nieograniczonym. Przyk÷ady.
1
13.
De…nicje pochodnych czastkowych.
¾
14.
Pochodna czastkowa
¾
funkcji z÷oz·onej dwóch zmiennych.
15. Pochodne czastkowe
¾
wyz·szych rzedów.
¾
Lemat Schwarza.
16. Funkcja uwik÷ana: warunek istnienia i obliczanie jej pochodnej.
17. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
18.
Styczna i normalna do krzywej danej równaniem uwik÷anym.
19. De…nicja ca÷
ki podwójnej.
20. Wyznaczanie granic ca÷kowania i zamiana na ca÷ki iterowane.
21. Ca÷
ka powierzchniowa jako uogólnienie ca÷ki podwójnej.
22.
De…nicja szeregu liczbowego. Suma szeregu liczbowego. Zbiez·ność i
rozbiez·ność. Warunek konieczny zbiez·ności szeregu.
23.
Szereg geometryczny. Kiedy jest zbiez·ny?. Obliczanie sumy szeregu
geometrycznego.
24.
Szereg
1
P
n=1
25.
1
ns
i jego zbiez·ność w zalez·nosci od parametru s:
Szereg harmoniczny - wykaz· rozbiez·ność (s = 1).
26. Kryteria zbiez·ności: porównawcze, d’Alamberta, pierwiastkowe, ca÷kowe,
porównawcze Cauchy’ego, porównawcze ilorazowe..
27. Reszta szeregu i jej w÷
asności.
28. Szereg przemienny, kryterium Leibniza.
29. Szeregi funkcyjne. Zbiez·ność jednostajna. Czym sie róz·ni od zbiez·ności
zwyk÷
ej (punktowej)?
30. W÷
asności szeregów zbiez·nych jednostajnie: ciag÷
¾ ość sumy szeregu, calkowanie,
róz·niczkowanie.
31. Wzory Taylora i Maclaurina. (Semestr I).
32.
Szeregi potegowe
¾
i badanie ich zbiez·ności, w tym na końcach przedzia÷
ów.
33. Rozwiniecia
¾ w szeregi potegowe funkcji ex ; sin x; cos x ln(1+x) i przedzia÷y
ich zbiez·ności. Otrzymywanie rozwinieć
¾ prostych funkcji z÷oz·onych, np.
x
ln(1 + ax); e b ; ln(1 + x2 ) itp.
34. Równania róz·niczkowe zwyczajne. R. r. rzedu
¾ pierwszego. Postać normalna. Zagadnienie Cauchy’ego dla takiego równania. Jednoznaczność
rozwiazania
¾
zagadnienia Cauchy’ego.
2
35. R. r. o zmiennych rozdzielonych.
36. R. r. które mozna sprowadzić do r. r. o zmiennych rozdzielonych: jednorodne y 0 = f ( xy ) oraz y 0 = f (ax + by + c):
37.
R. r. linowe i metoda uzmienniania sta÷ej. R. r. Bernoulli’ego.
Tylko NA
38. R. r. rodziny krzywych. Trajektorie i trajektorie ortogonalne rodziny
krzywych.
Tylko EL
39. Wspó÷
rzedne
¾
biegunowe i ich zwiazek
¾
z wspó÷rzednymi
¾
kartezjańskimi.
40.
Przestrzeń L2(a;b) : Iloczyn skalarny w tej przestrzeni.
41.
Uk÷
ady: ortogonalny i ortonormalny funkcji.
42. Wspó÷
czynniki Fouriera. Skad
¾ sie¾ biora¾ i jaka¾ maja w÷asność?
43. Szereg Fouriera funkcji f (SF (f ))
44. Szereg trygonometryczny Fouriera funkcji f (ST F (f )).
45.
Jakie warunki musza¾być spe÷nione aby dla x 2 Df zachodzi÷a toz·samość
ST F (f )(x) = f (x)?
46.
Sporzadzanie wykresu funkcji okresowej ST F (f )(x) na podstawie wykresu
funkcji f (x):
47.
Wzór Eulera.
48.
De…nicja orygina÷
u i przekszta÷cenia Laplace’a.
49. W÷
asności przekszta÷cenia Laplace’a (liniowość).
50. Zastosowanie do rozwiazywania
¾
r. r. liniowych.
3