RÓWNANIA CAŁKOWE

RÓWNANIA CAŁKOWE
1. Sprawdzić, czy podana funkcja jest rozwiązaniem danego równania całkowego:
a) f (x) = x, f (x) −
Z1
xy
5
f (y)dy = x;
2
6
0
b) f (x) = sin x, f (x) −
Zx
(x − y)f (y)dy = x;
0
c) f (x) = sinh x, f (x) −
Zx
(x − y)f (y)dy = x;
0
d) f (x) = x, f (x) −
1
3
Z1
0
1
5
(x + y)f (y)dy = x − ;
6
9
Z1
1 x+y
e) f (x) = 2x, f (x) − 6 ( −
+ xy)f (y)dy = x;
3
2
0
R1
f ) f (x) = Cx − 2, gdzie C ∈ R, f (x) − 3 xyf (y)dy = 3x − 2.
0
2. Metodą kolejnych przybliżeń rozwiązać równania Volterry drugiego rodzaju:
Rx
a) f (x) + (x − y)f (y)dy = x;
0
Rx
b) f (x) − f (y)dy = 1;
0
Rx
c) f (x) + xf (y)dy = 2x2 + 2;
0
Rx
d) f (x) − (y − x)f (y)dy = −1;
0
Rx
e) f (x) − (y − 2x)f (y)dy = −1.
0
3. Metodą kolejnych przybliżeń rozwiązać równania Fredholma drugiego rodzaju:
a) f (x) −
1/2
R
f (y)dy = x;
0
1
1Z
5
b) f (x) −
xyf (y)dy = x;
2
6
0
Z1
1 x+y
c) f (x) − 6 ( −
+ xy)f (y)dy = x;
3
2
0
R1
d) f (x) − yf (y)dy = x.
0
4. Dla równania postaci
f (x) −
Zb
h(x)k(y)f (y)dy = g(x)
a
(przypadek jądra zdegenerowanego) znaleźć rozwiązanie postaci f (x) = g(x) + ch(x)
metodą podaną na wykładzie:
a) f (x) −
1/2
R
f (y)dy = x;
0
1
1Z
5
b) f (x) −
xyf (y)dy = x;
2
6
0
R2
c) f (x) − 3 xyf (y)dy = 3x − 2;
0
R1
d) f (x) − yf (y)dy = x;
0
R1
e) f (x) − x2 yf (y)dy = x.
0
Odpowiedzi
2.a) sin x; b) ex ; c) 2; d) − cos x; e) znaleźć kilka pierwszych przybliżeń (rozwiązaniem jest
5 4
2n+1 2n
x + ... + (−1)n+1 2·4...2n
x + ...).
funkcja dana szeregiem: −1 + 32 x2 − 2·4
1
2
3 a) x + 4 ; b) x; c) 2x; d) x + 3 .
4 a) x + 41 ; b) x; c) 94 x − 2; d) x + 32 ; e) x + 49 x2 .