Wykład 4 1. Równoważność metryk Przykład: topologie taksówkowa

Wykład 4
1. Równoważność metryk
Przykład: topologie taksówkowa, euklidesowa i maksimum na płaszczyźnie są jednakowe,
a rzeka już inna.
Definicja 1. Metryki d1 i d2 na X są równoważne, gdy określają tę sama topologię.
Innymi słowy, d1 i d2 na X są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x ∈ X
oraz ciągu (xn ) zawartego w X
d1 (xn , x) → 0
⇐⇒
d2 (xn , x) → 0.
Jeszcze inny warunek równoważny to żądanie, by
∀x ∀ > 0 ∃δ > 0 Kd1 (x, δ) ⊂ Kd2 (x, )
oraz
∀x ∀ > 0 ∃δ > 0 Kd2 (x, δ) ⊂ Kd1 (x, ).
Definicja 2. Metryki d1 i d2 są jednostajnie równoważne, gdy istnieją stałe C1 i C2 takie,
że
C1 d1 (x, y) ¬ d2 (x, y) ¬ C2 d2 (x, y).
W tej definicji delty w powyższych warunkach można wybrać niezależnie od x.
2. Zbiory duże, zbiory małe...
Sposób w jaki zdefiniowaliśmy zbiory otwarte i domknięte może sugerować, że zbiory
domknięte są duże, bo zawierają wszystkie swoje punkty skupienia, a zbiory otwarte małe,
bo nie dość, że nie muszą mieć wszystkich swoich, to jeszcze nie podbierają innym. Zresztą
każdy przyzna, że kula otwarta jest mniejsza od kuli domkniętej, bo się w niej zawiera.
Ale to błędna intuicja. Zbiór otwarty w przestrzeni metrycznej wraz z każdym punktem
zawiera jeszcze pewną kulkę – nie może więc być „za chudy”. Zbiór domknięty nie ma
takiego obowiązku, może więc być dość mizerny.
1
Przykłady
1. Zbiór jednoelementowy lub skończony w przestrzeni metrycznej jest domknięty. Zbiór
przeliczalny może, ale nie musi być domknięty.
2. Jeśli pojedynczy punkt jest zbiorem otwartym, to nie jest punktem skupienia przestrzeni. Nazywamy go wtedy punktem izolowanym. W metryce dyskretnej każdy punkt
jest izolowany. Wtedy też wszystkie zbiory są otwarte i jednocześnie wszystkie domknięte.
3. Na płaszczyźnie z metryką euklidesową odcinek, prosta, okrąg, czy też dowolny wykres
funkcji ciągłej jest domknięty, a często trudno te zbiory nazwać dużymi na płaszczyźnie. Ale nie jest możliwe by były otwarte – są za chude!
4. W przestrzeni ciągów {0, 1}N z metryką d(x, y) = k1 , gdzie k = min{n : xn 6= yn }, gdy
x 6= y. Wtedy zbiór {(xn ) : x0 = 0} jest jednocześnie otwarty i domknięty.
Często pojęcia duży/mały zależą od kontekstu. Są pojęcia które mówią o wielkości, ale
trudno je jednoznacznie zakwalifikować do szufladek „duży” lub „mały”.
Definicja 3. Ziór A ⊂ X jest gęsty, gdy A = X.
Gęste są Q w R, czy ogólniej Qn w Rn , zbiór wszystkich ciągów o wyrazach wymiernych
zawartych w [0, 1] w przestrzeni [0, 1]N , zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach
wymiernych w C(0, 1).
Twierdzenie 1. Następujące warunki są równoważne:
1. A jest gęsty,
2. dla każdego x ∈ X istnieje ciąg (an ) elementów A zbieżny do x,
3. dla każdego niepustego zbioru otwartego U ⊂ X przekrój A ∩ U jest niepusty,
4. dla każdej kuli K(x, ) przekrój A ∩ K(x, ) jest niepusty.
Dowód. (1⇒2) Skoro A = X, to każdy punkt z X albo należy do A, albo jest punktem skupienia zbioru A, więc, z poprzedniego wykładu, dla każdego x ∈ X istnieje ciąg
elementów z A zbieżny do x (ewentualnie równy stale x).
(2⇒3) Weźmy dowolny zbiór otwarty U i dowolny x ∈ U . Istnieje > 0, dla którego
K(x, ) ⊂ U . Pewien ciąg (an ) zawarty w A jest zbieżny do x, więc od pewnego miejsca
należy do A. Stąd A ∩ U 6= φ.
(3⇒4) Oczywiste, bo kule K(x, ) są zbiorami otwartymi.
c
(4⇒1) Gdyby A było właściwym podzbiorem X, to A byłoby niepustym zbiorem otwartym. Zawierałoby więc pewną kulę K(x, ), której przekrój z A byłby niepusty.
Definicja 4. Przestrzeń X jest ośrodkowa, gdy istnieje przeliczalny zbiów gęsty w X.
Przestrzeniami ośrodkowymi są więc R i wszystkie Rn , zbiór funkcji ciągłych na [0, 1]
i wiele innych, o których będzie mowa na innym wykładzie. Zauważmy, że podany wyżej
zbiór gęsty w [0, 1]N nie jest przeliczalny.
Definicja 5. Zbiór A jest brzegowy w X, gdy int (A) = φ.
2
Twierdzenie 2. Następujące warunki są równoważne:
1. A jest brzegowy w X,
2. Ac jest gęsty w X,
3. w każdym niepustym zbiorze otwartym w X istnieją punkty nie należące do A
Dowód. Na ćwiczeniach
Zbiory mogą być jednocześnie gęste i brzegowe, np. Q w R (bo brzegowość to „chudość”,
a nie „rzadkość”). Suma zbiorów gęstych musi być zbiorem gęstym, ale przekrój nie musi (np.
Q i Qc mają pusty przekrój, choć oba są gęste). Podobnie przekrój zbiorów brzegowych jest
brzegowy, ale suma niekoniecznie. Nadzbiór zbioru gęstego jest gęsty, a podzbiór brzegowego
jest brzegowy). Także domknięcie zbioru brzegowego może nie być zbiorem brzegowym, np.
Q = R.
Definicja 6. Zbiór A nazywamy nigdziegęstym, gdy jego domknięcie jest zbiorem brzegowym.
Sumę zbiorów nigdziegęstych nazywamy zbiorem pierwszej kategorii.
Zbiór, który nie jest pierwszej kategorii nazywamy zbiorem drugiej kategorii.
Zbiór, który jest dopełnieniem zbioru pierwszej kategorii nazywamy zbiorem rezydualnym.
Oczywiście, domknięty zbiór brzegowy jest nigdziegęsty, a zbiór jest pierwszej kategorii
wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzbiorem przeliczalnej sumy domkniętych zbiorów brzegowych. Jeśli któreś zbiory mają być uznane za małe, to właśnie zbiory pierwszej kategorii, a
duże – zbiory rezydualne, zwłaszcza w przestrzeniach zupełnych – o tym później.
3