ZADANIA MATURALNE

i potrafi
określać zależność funkcyjną między wielkościami liczbowymi
• opisywać za pomocą funkcji zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym
interpretować zależności funkcyjne na podstawie danego wzoru
Samochód jadący autostradą spala 5,6 litra paliwa na 100 km.
a) Napisz wzór funkcji p określającej zużycie paliwa (w litrach) w zależności od przebytej drogi 5 (w km).
b) Napisz wzór funkcji s określającej przebytą drogę (w kilometrach) w zależności od zużytego paliwa p (w litrach).
•
•
»
i T*
O godzinie 10® rozpoczęto napełnianie wodą dwóch identycznych, częściowo wypełnionych zbiorników. Ilość wody
(w litrach) w pierwszym zbiorniku po upływie t sekund od rozpoczęcia napełniania wyraża wzór W|(f)=3f+1900.
a) Ile litrów wody znajdowało się w zbiorniku o godzinie 10~?
b) Ile litrów wody wpływa do pierwszego zbiornika w ciągu minuty?
c) O godzinie 10® w drugim zbiorniku znajdowało się 4600 1 wody. Napisz wzór funkcji określającej ilość
wody w tym zbiorniku (w litrach) w zależności od czasu (w sekundach), jeżeli wiadomo, że w ciągu sekundy
wpływały 2 litry wody.
d) O której godzinie zbiorniki zostały napełnione, jeśli wiadomo, że ich napełnienie nastąpiło równocześnie?
e) Oblicz objętość zbiorników. Wynik podaj w m l
ZADANIA MATURALNE
RÓŻNE SPOSOBY OKREŚLANIA FUNKCJI
SC.
BI
Funkcja / określona jest wzorem f(x) = 4xą - 4x3 - 9x2+x + 2.
a) Sprawdź, która z liczb - 1 , 0,5, 1, 2 jest miejscem zerowym funkcji /.
b) Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji / z osią OY.
c) R Wyznacz te argumenty, dla których funkcja / i funkcja g(x) = Ir -l5x+2
Funkcja / określona jest wzorem f(x) = -J-x2 -
przyjmują tę samą wartość.
6x-5.
a) R Wyznacz dziedzinę funkcji /.
b) Dla którego z argumentów: ~
52./R
czy J 3 - 3 funkcja / przyjmuje większą wartość?
Funkcja / określona jest następująco: f(x) = \x
[x
+x
-4x
6
dla ^ < 1
dla x > 1
a) Oblicz wartość funkcji / dla argumentu 1.
b) Sprawdź, która z liczb - 3 , 0, 2, 4 jest miejscem zerowym funkcji /.
c) Wyznacz te argumenty, dla których funkcja / przyjmuje wartość - 4 .
Dziedziną funkcji / jest zbiór {-2, - 1 , 0, 1, 2, 3}. Funkcja / k a ż d e m u argumentowi przyporządkowuje
jego kwadrat pomniejszony o 1.
a) Określ zbiór wartości funkcji /.
b) Podaj wzór funkcji /.
c) Sporządź wykres funkcji /.
M . R Funkcja / , określona na zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich, każdej liczbie
R+ przyporządkowuje jej
odwrotność pomnożoną przez 18.
a) Podaj wzór funkcji /.
b) Uzasadnij, że wszystkie punkty wykresu funkcji / znajdują się w I ćwiartce układu współrzędnych.
c) Wyznacz wszystkie te punkty należące do wykresu funkcji /, których obie współrzędne są liczbami
naturalnymi.
Dziedziną funkcji / jest zbiór D- {-2, - 1 , O, 1, 2, 3, 4}. Funkcja / każdej liczbie ujemnej ke D przyp
rządkowuje jej wartość bezwzględną, a każdej liczbie nieujemnej m e D przyporządkowuje sumę licz
m i liczby o 6 od niej mniejszej.
a) Oblicz / ( - 1 ) i / ( I ) .
b) Podaj wszystkie argumenty x, dla których zachodzi równość f(x) = 2.
c) Podaj wszystkie argumenty x spełniające nierówność f(x) < 0.
R Na płaszczyźnie z układem współrzędnych dane są dwa zbiory punktów:
A= {(-3, 3), (0, 4), (2, 5), (2, 0), (3, -7), (4, 9)}, B= {(-3, 4), (0, 4), (2, -2), (3, 0), (4, -1)}.
Jeden z tych zbiorów jest wykresem pewnej funkcji / : {-3, 0, 2, 3, 4} —» R.
a) Wskaż zbiór, który jest wykresem funkcji f i uzasadnij, że drugi ze zbiorów nie jest wykresem żadn
funkcji ze zbioru {-2, 0, 2, 3, 4} w zbiórR.
b) Podaj najmniejszą wartość funkcji /.
c) Podaj miejsca zerowe funkcji /.
Wykresem funkcji / jest zbiór wszystkich punktów należących do odcinka AB lub odcinka CD, gdz
A = (-2,4), B = ( 1,2), C=(4,1), £> = (7,6).
a) Jaką wartość funkcja / przyjmuje dla argumentu 4?
b) Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji /.
Obok zamieszczono wykresy funkcji / i g.
a) Określ zbiór wartości funkcji / oraz funkcji g.
b) Podaj te wartości funkcji g, które nie są_wartościami funkcji /.
c) Podaj te argumenty, dla których wartości obu funkcji są
równe.
d) Podaj zbiór tych argumentów, dla których wartości funkcji /
są większe od wartości funkcji g.
e) Podaj te argumenty x, dla których f(x) < 0 i g(x) < 0.
f) Podaj te argumenty x, dla których f(x)-g(x) = 0.
g) W Podaj te argumenty x, dla których f(x)-g(x) < 0.
,y
y\
\
i \
o i \
A
V/
A
\ f
Funkcja / określona jest za pomocą poniższej tabelki.
X
-3
-2
m
-V3
-2
0
1,2
3
-2
0
0
4V5
2
a) Przedstaw funkcję / za pomocą grafu.
b) R Przedstaw za pomocą tabelki funkcję g, która każdej liczbie w, należącej do zbioru wartości funkcji
przyporządkowuje liczbę argumentów, dla których funkcja / przyjmuje wartość w. Sporządź wykrs
funkcji g.
Funkcja rosnąca / : {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} —> C została częściowo określona za pomocą tabelki.
X
m
0
-2
1
2
0
3
5
4
9
5
6
7
12
a) Uzupełnij tabelkę.
b) Podaj punkty wspólne wykresu funkcji / z osiami układu współrzędnych.
c) R Podaj ten argument a, dla którego zachodzi równość /f(f(a)) + 2 = 0.
Dziedziną funkcji / jest zbiór wszystkich dodatnich liczb wymiernych W+. Funkcja / każdej liczbie
w e W+ przyporządkowuje licznik ułamka
gdzie
= w,
jest ułamkiem nieskracalnym i p, q są
liczbami całkowitymi dodatnimi.
a) Oblicz wartość funkcji / dla argumentów 3, 2,49, ,^6-k
b) Dla którego argumentu, — czy — , funkcja / przyjmuje większą wartość?
84
68
c) Podaj zbiór wartości funkcji / .
Funkcja / każdej naturalnej liczbie trzycyfrowej przyporządkowuje sumę jej cyfr.
a) Podaj wszystkie argumenty, dla których funkcja / przyjmuje wartość 2.
b) W Dla pewnego argumentu a funkcja / przyjmuje wartość 15. Uzasadnij, że a dzieli się przez 3.
c) Podaj najmniejszą liczbę a taką że f(a) = 20.
Funkcja / każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje największą liczbę parzystą mniejszą od x.
a) Oblicz/(ji) i / ( 1 0 ) .
b) Podaj zbiór wszystkich miejsc zerowych funkcji f .
c) Określ zbiór wartości funkcji /.
d) Naszkicuj wykres funkcji / dla x e (2; 8).
Funkcja g każdej liczbie x e (-5; 6) przyporządkowuje najmniejszą liczbę całkowitą n taką że 3n jest
większa od x.
a) Podaj wartości funkcji g dla argumentów 0, - 5 ,
b) Podaj miejsca zerowe funkcji g.
c) Podaj zbiór wartości funkcji g.
Funkcja / każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje najmniejszą liczbę nieujemną a taką, że liczba
x + a jest podzielna przez 4.
a) Jaką wartość przyjmuje funkcja / dla argumentu -10-L, a jaką dla argumentu >/2?
b) Ile miejsc zerowych funkcji / należy do przedziału (1; 100)?
c) Podaj zbiór wartości funkcji /.
d) W Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n suma f(n)+f(n+
! ) + / ( « + 2)+/'(« + 3 ) ma stałą wartość.
Funkcja / każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje liczbę cyfr potrzebnych do jej zapisania w zapisie
dziesiętnym, np./(7285) = 4.
a) Podaj zbiór wartości funkcji /.
b) Dla ilu argumentów funkcja / przyjmuje wartość 3?
c) Podaj wszystkie argumenty n < 3000, dla których zachodzi równość f(n + !)=/(«) + 1.
Funkcja /, określona na zbiorze liczb naturalnych większych od 9, przyporządkowuje każdej liczbie n
cyfrę dziesiątek liczby n.
a) Określ zbiór wartości funkcji /.
b) Dla ilu argumentów mniejszych od 999 funkcja / przyjmuje wartość 5?
c) Dla jakich ke C+liczba I Ok jest miejscem zerowym f u n k c j i / ?
d) Dla jakich n nie zachodzi równość f(n+ l)=/(n)?
108.
Podczas napełniania zbiornika uszkodzony został zawór
odpływowy, przez który zaczęła wydostawać się woda
40
z prędkością 10 mVmin. Awarię usunięto po 9 minutach.
E 35
a
Na wykresie pokazano, jak zmieniała się ilość wody w
30
/
zbiorniku od momentu wystąpienia awarii do momentu jej
25
i
usunięcia.
i 15
a) Oblicz
10
1) ile m' wody dostarczono do zbiornika w ciągu dwóch
i
i i
5
początkowych minut,
02) z jaką prędkością (w nr/min) dostarczano wodę do
3
4
5
Czas [minuty]
zbiornika w ciągu piątej i szóstej minuty,
3) ile m 3 wody wydostało się ze zbiornika w czasie trwania awarii.
b) W jakim przedziale czasu dostarczano wodę do zbiornika z prędkością 10 m 7min?
c) W którym momencie przestano dostarczać wodę do zbiornika?
i""
PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESU FUNKCJI
109.
Wykres funkcji f{x) = 3x-6 przesunięto o 2010 jednostek w górę otrzymując wykres funkcji g.
a) Napisz wzór funkcji g.
b) R Wykres funkcji g można otrzymać również przesuwając wykres funkcji/wzdłuż osi OX. O ile j e
stek i w którą stronę należy przesunąć wykres funkcji / ?
c) [2009 2010] Znajdź punkt przecięcia z osią OY wykresu funkcji h(x) = —f(x).
110.
Na rysunku obok zamieszczono wykres funkcji / : (-6, 7)
a) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji /
w przedziale (-4; 4).
b) Podaj zbiór wszystkich argumentów, dla których
wartość funkcji / jest z przedziału (-1; 3).
c) Podaj miejsca zerowe funkcji g(x) =f{x+ 3).
d) [2009 2010] Naszkicuj wykres funkcji g takiej, że
y
R.
..j....j—-i-—
N
sL;
: 0 l\
: \A
g(x)=f(-x).
111. R Dziedziną funkcji g jest zbiór liczb rzeczywistych. Wykres funkcji f(x) = xĄ - 3x3 - lx2 + 6x otrzyma
przesuwając wykres funkcji g wzdłuż osi OX o 2010 jednostek w lewo.
a) Oblicz g(2009).
b) Znajdź miejsca zerowe funkcji g.
112.
Obok zamieszczono wykres funkcji/. Funkcja g określona jest
w następujący sposób g(x) - \f(x- 1) + 21.
a) Naszkicuj wykres funkcji g.
b) Podaj zbiór miejsc zerowych funkcji g.
c) Podaj zbiór rozwiązań nierówności g(x) <2x + 4.
113.
Wykres funkcji fix) = x
x-3
przesunięto o wektor .. - - 2
-x-6
symetrycznie względem początku układu współrzećr>.±
wzór i wyznacz dziedzinę funkcji g.
_ następnie przesunięty wykres odb
Irrr.—uoo wykres pewnej funkcji g. Znaj