w trapezie

nauczanie matematyki
Średnie
w trapezie
n
n Metody
o problemowa,
o praca w grupach.
ZOFIA DIAKOWSKA
KLASA III LO (zakres rozszerzony)
n Temat
Cztery średnie w dowolnym trapezie.
n Cele lekcji
o przypomnienie trzech metod (wektorowej, analitycznej, syntetycznej) rozwiązywania zadań geometrycznych,
o pokazanie, że w dowolnym trapezie
występują odcinki będące czterema średnimi (arytmetyczną, geometryczną, harmoniczną, kwadratową),
o
poznanie nowej średniej – kwadratowej,
o wysunięcie hipotezy o zależności pomiędzy wielkościami czterech średnich.
Metoda wektorowa
GH = GD + DC + CH
GH = GA + AB + BH
dodając stronami
2GH = GD + GA + DC +
+ AB + CH + BH
12
n Pomoce
3 tablice,
o rzutnik.
o
n Uproszczony tok lekcji
Prezentacja zadania domowego
Zadanie. Wykaż, że w dowolnym trapezie ABCD odcinek GH łączący środki boków nierównoległych jest równoległy do
podstaw trapezu. Postaraj się zrobić to
trzema metodami: wektorową, analityczną i syntetyczną.
Troje uczniów prezentuje jednocześnie
różne rozwiązania na trzech tablicach.
Metoda analityczna
G = ¼« d k ²³
¾ 2 2Ö
H = ¼« c + a k ²³
¾ 2 2Ö
GH = AB + DC ,
2
a ponieważ AB __DC , zatem
Ponieważ rzędne punktów
G i H są jednakowe, więc
GH __ AB . Stąd GH ||AB.
GH||AB.
140
Metoda syntetyczna
pr. DH Ç pr. AB = {M}
D DHC º D HBM
(CH = HB, vDHC º vBHM,
vDCH º vMBH).
Stąd DH = HM.
W D AMD odcinek GH
łączy środki dwóch boków,
jest zatem równoległy do trzeciego boku.
matematyka
nauczanie matematyki
Lekcja właściwa
AB = IJ
IJ
DC
Pozostajemy w problematyce zadania
domowego.
stąd IJ = a £ b Zadanie 1. Obliczyć długość odcinka GH,
znając długości podstaw trapezu, AB = a
i DC = b (a > b).
Zapisujemy kolejne spostrzeżenie.
Wniosek 2. Długość odcinka dzielącego
trapez na dwa trapezy podobne jest średnią geometryczną długości jego podstaw.
Po krótkiej dyskusji trzej uczniowie zapisują na tablicach rozwiązania.
Metoda wektorowa
Ponieważ AB || DC i wektory AB i DC mają jednakowe zwroty, to
AB + DC
GH =
2
czyli
a +b
GH =
2
Metoda analityczna
GH =
a + c - d 2 =
2
2
= a + c -d
2
Ponieważ
c - d = b,
więc
a +b
GH =
2
Wniosek 1. Długość odcinka łączącego
środki dwóch nierównoległych boków trapezu jest średnią arytmetyczną długości jego podstaw.
Zadanie 2. W trapezie poprowadzono
trzy odcinki EF, IJ, KL równoległe do podstaw:
a) IJ dzieli trapez na dwa trapezy podobne;
b) EF dzieli trapez na dwa trapezy o równych polach;
c) KL przechodzi przez punkt przecięcia
przekątnych.
3/2004
BM = b, stąd AM = a + b.
Na podstawie twierdzenia
o odcinku łączącym środki
boków trójkąta mamy
czyli
GH = 1 AM
2
GH = 1 a + b 2
Kolejne przykłady rozwiązujemy pracując w sześciu grupach. Sekretarz każdej
grupy zapisuje ostateczne rozwiązanie na
folii; referent omawia je przed klasą rzutując na ekran rozwiązanie. Jeżeli rozwiązania w innych grupach są inne, uczniowie komentują jedynie różnice.
2. Przykładowe rozwiązanie podpunktu b).
Obliczyć długości tych odcinków.
1. Pierwszy przykład rozwiązujemy razem. Przypominamy własności figur podobnych i natychmiast obliczamy długość
odcinka IJ.
Metoda syntetyczna
D ADY @ D EDX
h1
= EX
h1 + h2 AY
(*) 1 +
h1 + h2 AY
=
h1
EX
h2
h
= a- b Ý 2 = a- b -1 .
h1 EF - b
h1 EF - b
141
13
nauczanie matematyki
Z warunku o równych polach mamy:
więc
(**)
a + EF h = EF + b h 2
1
2
2
h2
= b + EF .
h1
EF + a
Z (*) i (**):
a - b - 1 = b + EF EF + a
EF - b
skąd po przekształceniu otrzymujemy
średnią kwadratową:
2
2
EF = a + b 2
3. Przykładowe rozwiązanie podpunktu c).
4. Podajemy nazwy dla obliczonych długości odcinków i zapisujemy kolejne
wnioski.
Wniosek 3. Długość odcinka dzielącego
trapez na dwa trapezy o równych polach
jest średnią kwadratową długości jego
podstaw.
Wniosek 4. Długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzącego
przez punkt przecięcia przekątnych jest
średnią harmoniczną długości jego podstaw.
Podsumowanie lekcji
Na tablicy rysujemy dowolny trapez, a w
nim wszystkie cztery rozważane na lekcji
odcinki. Hipotetycznie ustalamy ich kolejność.
D ABD @ D KOD
D ABC @ D OLC
a = DB
(2) a = AC
x OD
y OC
h + h2
(3) a = 1
= a skąd x = y
x
h1
y
b < KL < IJ < GH < EF < a.
Zauważamy, że gdy a = b, to
h
z (3) a = 1 + 2 , a stąd
x
h1
KL = IJ = GH = EF.
Zapisujemy hipotezę:
(1)
h2
= a- x .
h1
x
(*)
średnia harmoniczna £
£ średnia geometryczna £
£ średnia arytmetyczna £
£ średnia kwadratowa
D ADC @ D AOK
b = h1 + h2
x
h2
(**)
stąd
Dopiero teraz formułujemy temat lekcji:
„Cztery średnie w dowolnym trapezie”.
h2
= x .
h1
b- x
Z (*) i (**):
Zadanie pracy domowej
a- x = x
x
b- x
stąd x = ab . KL = 2 x, a więc KL jest
a+ b
średnią harmoniczną.
KL = 2 ab = 1 2 1 = 1 1 1 a+ b
+
+
a
b
a
b
2
14
142
Zadanie. Udowodnij algebraicznie, że postawiliśmy słuszną hipotezę o średnich.
ZOFIA DIAKOWSKA
nauczycielka I LO w Bolesławcu.
matematyka