Operator Weingardena

Nie potrzeba wprowadzać koneksji, ani wiązek, żeby zdefiniować operator
kształtu. Spróbujmy w ten sposób:
1. Operator Weingartena
Niech M będzie orientowalną rozmaitością wymiaru n − 1 zanurzoną w Rn .
Wtedy (z orientowalności) istnieją dwa jednostkowe pola wektorowe ortogonalne do M . Oznaczmy je N (x) i −N (x). Dla ustalenia uwagi weźmijmy
sobie któreś z nich.
Przez ∇v X będę oznaczał różniczkowanie pola X w kierunku wektora v,
zaś przez v(f (x)) działanie wektora v na funkcję f .
Ustalmy punkt p ∈ M , oraz v ∈ Tp M . Teraz z reguły Leibnitza mamy,
iż:
0 = v(1) = v(hN (x), N (x)i) = h∇v N (x), N (x)i+hN (x), ∇v N (x)i = 2 h∇v N (x), N (x)i
Skoro wektor ∇v N pomnożony skalarnie z polem normalnym do M daje
0 to musi on siedzieć w przestrzeni stycznej do M , a dokładniej w Tp M
Oznaczmy przez K : Tp M → Tp M operator dany wzorem K(v) = ∇v N .
Na mocy tego co pisałem wyżej K jest dobrze zdefiniowane, tzn. wartości
ma tam gdzie trzeba. Operator K działa zatem z T M w T M (tzn z włókna
nad punktem we włókno nad punktem). Jego wektory własne nazywają się
kierunkami głównymi.
2. Druga forma podstawowa powierzchni
To jest po prostu forma kwadratowa f (v, w) = hKv, wi = h∇v N, wi.
3. Po co w takim razie wiązki i koneksje?
Wprawdzie to co napisałem powyżej (w zamierzeniu) mniej więcej pokazuje o co chodzi z tym operatorem Wiengartena, ale nie mamy tutaj jakiegoś zawrotnego poziomu ogólności. W wielkim skrócie zadanie koneksji to
jest powiedzenie w jaki sposób różniczkować cięcie wiązki w kierunku stycznego pola wektorowego. Gdy chcemy zwiększyć ogólność w to tej definicji
operatora Weingartena powyżej po prostu zastępujemy ∇v N przez f
∇v N ,
1
przy f
∇v N rozumiemy jako koneksję (czyli uogólnienie różniczkowania pola
N wzdłuż wektora stycznego v). Jeżeli wybierzemy sobie jakąś bazę ei w Rn
P
to f
∇v N = ci (v)ei . Zauważ, że jak się nie wstawi żadnego v to dostajemy:
f
∇
(·) N
=
X
ci (·)ei
Okazuje się, że w rzeczywistości ci (·) są formami różniczkowymi, tzn są to
odwzorowania z T M → R które się odpowiednio dobrze tranformują przy
zmianie pola wektorowego v. W wielkim skrócie koneksja to jest taki sposób
różniczkowania cięć wzdłuż pól, żeby te funkcje ci (·) były formami różniczkowymi.
2