vuu - Fizyka UMK
Transkrypt
vuu - Fizyka UMK
Wykł Wykład VIII STW i OTW Elementy fizyki relatywistycznej szczególna teoria względności (Einstein, 1905 r.) transformacje Galileusza inercjalne układy odniesienia problem eteru i doświadczenie Michelsona-Morleya dwa postulaty osobliwa cecha prędkości światła liniowa czasoprzestrzeń Minkowskiego historyczne próby wyznaczenia prędkości światła ogólna teoria względności (Einstein, 1916 r.) względność jednoczesności uogólnienie STW na układy nieinercjalne transformacje Lorentza zaawansowany aparat matematyczny kontrakcja długości przestrzeń Riemanna dylatacja czasu rachunek tensorowy geometria nieeuklidesowa pęd i energia w fizyce relatywistycznej Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 1 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski Transformacje Galileusza Transformacje Galileusza związki między współrzędnymi w układzie nieruchomym S i układzie S’ poruszającym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v związek między przesunięciami wzdłuż osi x w układach S i S’ ∆ x = x2 − x1 S: ∆t = t2 − t1 ∆ x' = x2 '− x1 ' S': ∆t ' = t2 '−t1 ' x' = x − vt y' = y z' = z t ' = t x1 ' = x1 − vt1 , x2 ' = x2 − vt2 x = x'+vt y = y' z = z' t = t' Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka t1 ' = t1 , t2 ' = t2 x2 '−x1' = x2 − vt2 − ( x1 − vt1 ) = ( x2 − x1 ) − v(t2 − t1 ) ∆ x' = ∆ x − v∆t W. Drozdowski 3 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski Transformacje Galileusza Koncepcja eteru związek między prędkościami w kierunku osi x w układach S i S’ dziewiętnastowieczny postulat istnienia ośrodka niezbędnego do propagacji fal elektromagnetycznych (na wzór fal mechanicznych) ∆x S: u = ∆t ∆ x' S': u' = ∆t' układ spoczywającego eteru jako wyróżniony układ odniesienia obecność „wiatru eteru” w innych układach - składanie prędkości zgodnie z transformacjami Galileusza (brak przeciwwskazań wobec przekraczania prędkości światła) ∆ x − v∆t ∆ x ∆t = −v ∆t ∆t ∆t upadek teorii eteru w wyniku doświadczeń Michelsona i Morleya u' = u − v Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka 4 kosmos wypełniony sprężystym ośrodkiem, tzw. eterem ∆ x' = ∆ x − v∆t ∆t' = ∆t u' = 2 współczesne pamiątki: „na falach eteru”, ethernet W. Drozdowski 5 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 6 1 Doś Doświadczenie MichelsonaMichelsona-Morleya Dwa postulaty STW wynik postulat względności brak różnic w rozkładzie prążków w obrazie interferencyjnym w różnych dla wszystkich obserwatorów w inercjalnych układach odniesienia prawa chwilach czasowych na przestrzeni roku fizyki są takie same; żaden z układów nie jest w żaden sposób wyróżniony wnioski postulat stałej prędkości światła brak wiatru eteru światło w próżni rozchodzi się we wszystkich inercjalnych układach odniesienia i we wszystkich kierunkach z tą samą prędkością c słuszność praw Maxwella w każdym inercjalnym układzie odniesienia jeden z najważniejszych eksperymentów w historii fizyki c= wiele powtórzeń w różnych konfiguracjach - zawsze taki sam rezultat Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 7 1 ε 0 µ0 = 299792458 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka m s W. Drozdowski Osobliwa cecha prę prędkoś dkości światł wiatła Wyznaczanie prę prędkoś dkości światł wiatła prędkość światła wartością graniczną prędkości nie tylko dla fal elektromagnetycznych, lecz również dla wszystkich cząstek (zarówno tych posiadających masę, jak i tych jej pozbawionych) próby nierezultatywne doświadczenie Bertozziego (1964 r.) – przyspieszanie elektronów z pomiarem ich prędkości i (niezależnie) energii kinetycznej próby rezultatywne 8 Beeckman (1629 r.) - błysk strzelającego działa z odległości 1.6 km Galileusz (1638 r.) - odsłonięcie odległej latarni Rømer (1676 r.) - zaćmienie Io (księżyc Jowisza), c ~ 220000 km/s Bradley (1729 r.) - aberracja światła gwiazd, c ~ 301000 km/s Fizeau (1849 r.) - koło zębate i zwierciadło, c ~ 315000 km/s Foucault (1862 r.) - wirujące zwierciadło, c ~ 298000 km/s Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 9 Wyznaczanie prę prędkoś dkości światł wiatła Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 10 Wyznaczanie prę prędkoś dkości światł wiatła próby rezultatywne Rosa i Dorsey (1907 r.) - pośrednio na podstawie wartości stałych elektromagnetycznych, c = (299710 ± 30) km/s Michelson (1926 r.) - wirujące zwierciadło, c = (299796 ± 4) km/s Essen i Gordon-Smith (1950 r.) - mikrofalowa wnęka rezonansowa, c = (299792.5 ± 3.0) km/s Froome (1958 r.) – interferometr radiowy, c = (299792.50 ± 0.10) km/s Evenson (1972 r.) – interferometr laserowy, c = (299792.4562 ± 0.0011) km/s Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 11 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 12 2 Wzglę Względność dność jednoczesnoś jednoczesności Transformacje Lorentza jednoczesność pojęciem względnym, zależnym od ruchu obserwatora poszukiwane związki między współrzędnymi w układzie nieruchomym S i układzie S’ poruszającym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v x' = γ x + ε t y' = y z' = z t ' = α x + β t Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 13 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 14 Transformacje Lorentza Transformacje Lorentza związki między przesunięciami w przestrzeni (w kierunku osi x) i w czasie w układach S i S’ przypadek szczególny nr 1: spoczynek w układzie S u = 0 ⇒ u' = −v ∆ x' = γ ∆ x + ε ∆t ∆t ' = α ∆ x + β ∆t ε β ε = −β v −v = związek między prędkościami w kierunku osi x w układach S i S’ przypadek szczególny nr 2: spoczynek w układzie S’ ∆ x' γ ∆ x + ε ∆t = ∆t ' α ∆ x + β ∆t γ u +ε u' = αu + β Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka u' = 0 ⇒ u = v γ v +ε αv + β ε = −γ v 0= W. Drozdowski 15 Transformacje Lorentza W. Drozdowski 16 Transformacje Lorentza ε = −β v = −γ v ⇒ β = γ γ u +ε u' = αu + γ końcowa postać związku między prędkościami w kierunku osi x w układach S i S’ u −v uv 1− 2 c u'+v u= uv 1+ 2 c u' = przypadek szczególny nr 3: impuls świetlny u = u' = c γ c +ε c= αc +γ α c2 + γ c = γ c + ε α c2 = ε = −γ v v α = −γ 2 c Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 17 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka u' = c ⇒ u = W. Drozdowski c+v c+v =c =c cv c+v 1+ 2 c 18 3 Transformacje Lorentza Transformacje Lorentza uogólnienie dla składowych prędkości w trzech kierunkach związki między współrzędnymi w układzie nieruchomym S i układzie S’ poruszającym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością v r r r u = (ux , u y , uz ) , u ' = (ux ' , u y ' , uz ' ) , v = (v,0,0) x' = γ x − γ vt = γ ( x − vt) y' = y z' = z v v t ' = −γ 2 x + γ t = γ (t − 2 x) c c ux '+v ux = u v 1 + x2 c uy ' u y = u v 1 + x2 c uz ' u = z uv 1 + x2 c u x −v ux ' = u v 1 − x2 c uy u y ' = u v 1 − x2 c uz u ' = z uv 1 − x2 c Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 19 Transformacje Lorentza x − vt x' = v2 1− 2 c y' = y , z' = z v t− 2 x c t' = v2 1 − c2 v2 v2 x' ) = γ 2 x' (1 − 2 ) 2 c c współczynnik Lorentza 1 1− 20 końcowa postać związków między współrzędnymi v x = γ ( x'+vt' ) , t = γ (t '+ 2 x' ) c γ= W. Drozdowski Transformacje Lorentza x' = γ ( x − vt) x' = γ 2 ( x'+vt'−vt'− Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka x = γ ( x'+vt' ) y = y' z = z' v t = γ (t '+ 2 x' ) c v2 c2 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 21 Transformacje Lorentza Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka x'+vt' x= v2 1− 2 c y = y' , z = z' v t '+ 2 x' c t= v2 1 − c2 W. Drozdowski 22 Kontrakcja dł długoś ugości prawidłowy pomiar długości - odczyt położenia początku i końca spostrzeżenie wniosek przejście do transformacji Galileusza przy v << c mechanika klasyczna przypadkiem szczególnym mechaniki relatywistycznej (tj. dla bardzo małych prędkości) brak sensu przy v > c prędkość światła c maksymalną możliwą prędkością jakichkolwiek obiektów we wszechświecie Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski w tej samej chwili czasowej prawidłowy sposób pomiaru - lewy rysunek 23 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 24 4 Kontrakcja dł długoś ugości Kontrakcja dł długoś ugości wyznaczanie długości pręta (równoległego do osi x i spoczywającego w układzie S) w układzie S’ wzór Lorentza l0 = γ l l0 = x2 (τ ) − x1 (τ ) v2 l = = l0 1− 2 γ c l0 l = x2 ' (τ ' ) − x1 ' (τ ' ) x1 = γ ( x1 '+vt1 ' ) , x2 = γ ( x2 '+vt2 ' ) efekt przewidziany przez FitzGeralda (1889 r.) i Lorentza (1892 r.) przy próbach wyjaśnienia negatywnego wyniku doświadczenia Michelsona-Morleya x2 − x1 = γ ( x2 '+vt2 '− x1 '−vt1 ' ) t1 ' = t2 ' = τ ' ⇒ x2 − x1 = γ ( x2 '−x1 ' ) Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski alternatywna nazwa: skrócenie FitzGeralda-Lorentza 25 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 26 Dylatacja czasu Dylatacja czasu zależność odstępu czasu między zdarzeniami zarówno od współrzędnych czasowych, jak i przestrzennych czas własny - odstęp czasowy między zdarzeniami zachodzącymi w tym samym miejscu w układzie inercjalnym bezwzględna konieczność synchronizacji zegarów τ 0 = t2 − t1 τ = t2 '−t1 ' v v x1 ) , t2 ' = γ (t2 − 2 x2 ) c2 c v v t2 '−t1 ' = γ (t2 − 2 x2 − t1 + 2 x1 ) c c t1 ' = γ (t1 − x1 = x2 ⇒ t2 '−t1 ' = γ (t2 − t1 ) Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 27 Dylatacja czasu τ = γτ 0 τ0 τ= 1− Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 28 Pęd w fizyce relatywistycznej konieczność modyfikacji definicji pędu w celu utrzymania słuszności zasady zachowania pędu w różnych układach inercjalnych r r ∆r p=m ∆t0 2 v c2 ∆t v2 = ∆t 1 − 2 γ c r r r ∆r p =γm = γ mv = ∆t ∆t0 = potwierdzenia dylatacji czasu miony atmosferyczne doświadczenie Hafele’go i Keatinga (1977 r.) Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 29 Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka r mv 1− v2 c2 W. Drozdowski 30 5 Energia spoczynkowa Energia kinetyczna masa jedną z postaci energii (Einstein, 1905 r.) wyrażenie klasyczne zależność energii spoczynkowej E0 od masy m mv2 Ek = 2 E0 = mc2 stosowane jednostki wyrażenie relatywistyczne [m] = 1 u = 1.66⋅10 kg [E] = 1 eV = 1.6 ⋅10−19 J −27 c = 931.5 Ek = mc2 (γ −1) = mc2 ( MeV u Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka 1 v2 1− 2 c −1) zgodność przy niewielkich wartościach v (v << c) W. Drozdowski 31 Energia cał całkowita Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 32 Diagram mnemotechniczny E = γ mc2 , p = γ mv suma energii spoczynkowej i energii kinetycznej E0 = mc2 E 2 = γ 2m2c 4 , p2 = γ 2 m2v2 2 Ek = mc (γ −1) E 2 − p2c2 = γ 2m2c4 − γ 2 m2v2c2 E = E0 + Ek = mc2 + mc2 (γ −1) v2 E 2 − p2c 2 = γ 2m2c 4 (1 − 2 ) = m2c 4 c E = γ mc2 E 2 = p 2c2 + m2c4 słuszność zasady zachowania energii całkowitej dla układów izolowanych w mechanice relatywistycznej Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski cosθ = 33 1 γ Fizyka ogólna 3 – fizyka falowa i optyka W. Drozdowski 34 6