plik - pdf - Politechnika Białostocka

Proces narodzin i śmierci
Jeżeli w pewnej populacji nowe osobniki pojawiają się w sposób losowy, przy czym
gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czasie i wynosi λ, oraz liczba osobników n,
(λt ) n −λt
e
to mamy do
które pojawiły się od chwili 0 do t podlega rozkładowi Pn (λ ) =
n!
czynienia z procesem narodzin – procesem Poissona. Jest to proces stochastyczny o
przyrostach niezależnych tzn. liczby nowych osobników w różnych, nie zachodzących na
siebie przedziałach czasowych są statystycznie niezależne. Prawdopodobieństwo pojawienia
się nowego osobnika w przedziale czasowym między t i t+∆t nie zależy od położenia tego
przedziału na osi czasu i jest równe λk∆t+o(∆t), gdzie k jest liczbą osobników w populacji
(k = 0, 1, 2, …), λk parametrem procesu narodzin, ∆t małym przedziałem czasowym, a o(∆t)
jest wielkością nieskończenie małą, taką że:
lim
∆t →0
o(∆t )
= 0.
∆t
Prawdopodobieństwo pojawienia się w przedziale ∆t, więcej niż jednego osobnika wynosi
o(∆t).
1-λ0∆t
E0
1-λ1∆t
λ 0 ∆t
E1
1-λn∆t
λ 1 ∆t
λn-1∆t
En
1-λn+1∆t
λ n ∆t
En+1
Rysunek 1 Graf stanów dla procesu narodzin1
Proces śmierci (umierania) charakteryzują bardzo zbliżone hipotezy jak w przypadku
procesu narodzin. Warunkiem dodatkowym jest założenie istnienia osobników w dowolnym
momencie t. Prawdopodobieństwo zniknięcia (śmierci) osobnika w przedziale czasu ∆t, przy
założeniu że istniało k osobników (k = 1, 2, …) wynosi µk∆t+ o(∆t), gdzie µk jest parametrem
procesu śmierci (umierania).
Prawdopodobieństwo zniknięcia w przedziale ∆t więcej niż jednego osobnika, jeżeli istniał
wcześniej więcej niż jeden, jest równe o(∆t).
1
Bogusław Filipowicz: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1996, s. 48
1-µ1∆t
E0
µ1∆t
E1
1-µn∆t
µ2∆t
µn∆t
1-µn+1∆t
µn+1∆t
En
En+1
Rysunek 2 Graf stanów dla procesu narodzin2
„Proces narodzin i śmierci powstaje w wyniku superpozycji procesu narodzin i
procesu śmierci. Zdarzenia, jakie mogą zaistnieć, to narodziny nowego osobnika lub śmierć
jednego z istniejących w przedziale czasu ∆t. Zakłada się, że w przedziale czasu ∆t może
zaistnieć najwyżej jedno zdarzenie”3.
Niech Nt oznacza liczbę osobników w momencie t.
Zakładając, że ∆t→0, prawdopodobieństwa przejść
(
)
pi, j (t) = p Nt+t0 = j | Nt0 =i
spełniają następujące warunki:
pi ,i +1 (∆t ) = λi ∆t + o1 (∆t )
pi ,i −1 (∆t ) = µ i ∆t + o2 (∆t )
pi ,i (∆t ) = 1 − (λi + µ i )∆t + o3 (∆t )
pi , j (0) = δ i , j
0
1
δ i, j = 
gdzie, przy założeniach że w populacji istnieje i osobników:
λi jest intensywnością narodzin nowych osobników,
µi jest intensywnością umierania osobników.
Parametry λi i µi są liczbami dodatnimi (z wyjątkiem µ0 = 0).
2
Bogusław Filipowicz: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1996, s. 54
3
Tamże …s. 55
1-λ0∆t
1-(λ1+µ1)∆t
λ 0 ∆t
E0
λ 1 ∆t
1-(λn+µn)∆t
λn-1∆t
E1
µ1∆t
1-(λn+1+µn+1)∆t
λ n ∆t
En
µ2∆t
En+1
µn∆t
µn+1∆t
Rysunek 3 Graf stanów dla procesu narodzin i śmierci4
Kiedy proces narodzin i śmierci jest ograniczony, tzn. ma skończoną liczbę stanów N(λN = 0),
to dla stanu N prawdopodobieństwo odpowiadające pętli końcowej przyjmuje postać
1 − µ N ∆t .
Przykład
Charakterystyka strumienia Poissona
Klienci pewnego banku tworzą strumień Poissona, z parametrem λ.
Kasjerki w banku mogą obsłużyć maksymalnie 10 klientów w ciągu minuty.
Obliczyć i przedstawić w formie graficznej prawdopodobieństwa przybycia do banku k
klientów w ciągu czasu t, oraz wszystkie dystrybuanty dla zadanego parametru λ = 1, 3, 6, 9,
k = 10, oraz t = 1 minuta.
Jakie jest prawdopodobieństwo przybycia 10 lub mniej klientów do banku.
W celu obliczenia prawdopodobieństwa wystąpienia k zdarzeń, w strumieniu
Poissona, w przedziale czasu od 0 do t stosujemy wzór:
Pk (t ) =
(λt ) k −λt
dla k >= 0, t >= 0
e
k!
Prawdopodobieństwo przybycia 10 lub mniej klientów wynosi:
P{k ≤ 10} =
∑ P (t )
10
k =0
5
k
Prawdopodobieństwo przybycia zadanej liczby klientów:
4
Bogusław Filipowicz: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1996, s. 55
5
Por. Walenty Oniszczuk „Metody modelowania”, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 25 - 26
λ
1
3
6
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,367879
0,367879
0,18394
0,061313
0,015328
0,003066
0,000511
7,3E-05
9,12E-06
1,01E-06
1,01E-07
0,049787
0,149361
0,224042
0,224042
0,168031
0,100819
0,050409
0,021604
0,008102
0,002701
0,00081
0,002479
0,014873
0,044618
0,089235
0,133853
0,160623
0,160623
0,137677
0,103258
0,068838
0,041303
0,000123
0,001111
0,004998
0,014994
0,033737
0,060727
0,09109
0,117116
0,131756
0,131756
0,11858
P{k≤
≤10}
1
0,999708
0,957379
0,705988
k
Prawdopodobieństwa wystąpienia k zadarzeń w
ciągu minuty
0,4
P(k)
0,3
0,2
0,1
0
6
4
2
0
lambda=6
10
8
lambda=1
k
lambda=1
lambda=3
lambda=6
lambda=9
Analiza prawdopodobieństwa przybycia klientów do banku pokazuje, że bezpośrednio
zależy ono od intensywności przybywania klientów.
Wartość
intensywności
λ
=
1,
3,
6,
9
oznacza,
że
z
największym
prawdopodobieństwem do banku w ciągu minuty przybędzie odpowiednio 1, 3, 6, 9 klientów.
Wartości otrzymanych prawdopodobieństw potwierdzają to. Dla λ = 1 z najprawdopodobniej
przybędzie jeden klient lub żaden. Przybycie w ciągu minuty sześciu i więcej klientów jest
praktycznie niemożliwe. Dla λ = 3 maksymalna wartość prawdopodobieństwa jest dla k = 2 i
k =3. W przypadku intensywności λ = 6 największe jest prawdopodobieństwo wystąpienia 5
lub 6 zdarzeń, zaś dla λ = 9 – 8 lub 9.
Prawdopodobieństwo tego, że do banku nie przybędzie więcej niż dziesięciu klientów
w ciągu minuty maleje wraz ze wzrostem intensywności ich przybywania.
Dla λ = 9 jest ono najmniejsze. Możemy zatem stwierdzić że przy takiej intensywności
przybędzie więcej niż dziesięciu interesantów.
Obciążenie kasy równe ilorazowi średniej liczby zgłoszeń na minutę przez
maksymalną liczbę obsłużonych zgłoszeń, niepokojąco duże jest tylko dla λ = 9 i wynosi
ρ = 0.9.
Dystrybuanta, czyli prawdopodobieństwo tego, że odstępy t między kolejnymi
klientami są mniejsze lub równe 0.0, 0.1, 0.2, …0.9, 1.0 dla λ = 3, 6, 9 obliczana jest z
następującego wzoru:
F (t ) = 1 − e − λt
Wyniki:
λ
t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1
3
6
9
0
0,095163
0,181269
0,259182
0,32968
0,393469
0,451188
0,503415
0,550671
0,59343
0,632121
0
0,259182
0,451188
0,59343
0,698806
0,77687
0,834701
0,877544
0,909282
0,932794
0,950213
0
0,451188
0,698806
0,834701
0,909282
0,950213
0,972676
0,985004
0,99177
0,995483
0,997521
0
0,59343
0,834701
0,932794
0,972676
0,988891
0,995483
0,998164
0,999253
0,999696
0,999877
Dystrybuanta
1
F(t)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t
lambda=1
lambda=3
lambda=6
lambda=9
Wnioski:
Dla λ = 3, klienci między których przybyciami minął czas ok. 1 minuty stanowią 90%
a wszystkich klientów przychodzących do banku. Dla λ = 6 i λ = 9 – 100 %,
zaś dla λ =1 tylko 45%. Możemy zatem stwierdzić, że od intensywności zależy również
częstość przybywania klientów. Im jest ona większa tym większe jest natężenie napływu
klientów. Wartości F(t) dla mniejszej intensywności są mniejsze dla każdej badanej wartości
t, niż dla wyższych wartości λ.
Zadania
1. Pizzeria
Klienci pewnej pizzerii tworzą strumień Poissona. Intensywność przybywania
klientów zależy od pory dnia. Przed południem klienci przychodzą z intensywnością λ = a.
Czyli średnio w ciągu godziny do pizzerii przybywa ok. czterech klientów. W porze
obiadowej λ = b, po południu λ = c, zaś wieczorem λ = d. Kucharz może w ciągu godziny
przygotować maksymalnie n pizz. Zakładamy, że jeden klient zamawia jedną pizzę.
Przeprowadź analizę przybywania klientów (prawdopodobieństwa przybycia k klientów w
ciągu godziny, oraz k lub mniej klientów i dystrybuanty). Wyniki przedstaw graficznie.
Zaproponuj rozwiązanie, które usprawni działanie pizzerii.
a) a = 4, b = 7, c = 9, d = 11, n = 24, k = 0, 1, …, 19, 20;
b) a = 2, b = 4, c = 7, d = 9, n = 24, k = 0, 1, …, 14, 15;
c) a = 4, b = 6, c = 8, d = 10, n = 18, k = 0, 1, …, 16, 17;
d) a = 6, b = 8, c = 10, d = 15, n = 36, k = 0, 1, …, 34, 35;
e) a = 4, b = 7, c = 8, d = 11, n = 18, k = 0, 1, …, 19, 20;
2. Serwer biblioteki
Do serwera pewnej biblioteki podłączone są terminale, na których użytkownicy mogą
wyszukiwać i zamawiać książki. Z serwerem można połączyć się również przez Internet.
Zgłoszenia napływające do serwera tworzą strumień Poissona z parametrem λ. Jakie jest
prawdopodobieństwo napłynięcia do serwera k zgłoszeń w ciągu minuty? Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że zgłoszenia napływają najwyżej co t sekund. Wyniki
przedstawić graficznie.
a) λ = 100, 150, 200; k = 0, 20, …, 380, 400; t = 0.0, 0.1, …, 0.9, 1.
b) λ = 200, 250, 300; k = 0, 50, …, 550, 600; t = 0, 0.01, …, 0.09, 0.1.
c) λ = 10, 20, 25; k = 0, 5, …, 55, 60; t = 0, 1, …, 9, 10.
d) λ = 50, 300, 350; k = 0, 50, …,400, 450; t = 0.0, 0.2, …, 1.8, 2.0.
3. Kasa biletowa
Kasa biletowa dworca autobusowego jest w stanie obsłużyć maksymalnie k
podróżnych. Zakładamy, że strumień zgłoszeń jest strumieniem Poissona z parametrem λ.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przed kasą nie będzie się ustawiała kolejka (kasa nie
będzie przeciążona). Jakie jest obciążenie kasy? Wyniki przedstaw graficznie.
a) λ = 1, 2, …,7; k = 10;
b) λ = 2, 4, …,12; k = 18;
c) λ = 1, 3, …,12; k = 15;
d) λ = 1, 2, …,5; k = 8;
e) λ = 2, 5, 7, 10; k = 16;