docMd01 - Oznaczenia
download 
Reklamacja Transkrypt
Md01 - Oznaczenia
Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Oznaczenia W tym rozdziale przedstawimy podstawowe oznacznia. oznacza kwantyfikator ogólny "dla każdego". oznacza kwantyfikator szczegółowy "istnieje". 1.1 Sumy Maja̧c dany skończony cia̧g , ,... , sumȩ jego elementów zapisujemy jako Niezbyt formalnie możemy to zapisać Jako przykład zastosujmy symbol sumy do zapisu wzoru nasum˛ # e cia̧gu arytmetycznego). ! oraz wzoru na sum˛e cia̧gu geometrycznego). ( %$'& & )* 3 & & (wzór (1.2) jest słuszny dla każdego Bȩdziemy też używać zapisu typu&21 54 476 " ,+.- 0/ & & ) 98:9;.9<:=6 3 (1.1) (1.2) 4 Rozdział 1. Oznaczenia W tym przypadku zbiór indeksów określony jest za pomoca̧ warunku pod znakiem sumy. Warunek określaja̧cy indeksy, po których należy sumować może być bardziej skompliko wany, na przykład = ; 6 Stosować bȩdziemy także zapis // indeksy należa̧ do skończonego zbioru oznaczaja̧cy sumȩ tych elementów , /których indeksów . Na przykład, jeżeli , to 8:< Możemy też sumować ciagi, ˛ których elementy zależa˛ od dwóch indeksów, !"# $ &%# 8 8 8 8 8 ' Za pomoca˛ podwójnej sumy możemy na przykład przedstawić uogólnione prawo rozdzielności mnożenia wzgl˛edem dodawania: () -,. () 54 4+* 54 ,. ' ' 0 4 /21 3 &%4 ' (1.3) 1 a także wzór na podnoszenie sumy do kwadratu: () 4 40* ,. 4 40* - 5 4 ' + 4 * ' 1.2 Iloczyny Aby zapisać iloczyn elementów cia̧gu , ,... , stosujemy zapis 6 Znów niezbyt formalnie możemy to zapisać jako 6 (1.4) 1.3. Zbiory 5 1.3 Zbiory / / / elementów. / oznacza zbiór pusty, który nie zawierażadnych . oznacza zbiór liczb naturalnych oznacza zbiór liczb całkowitych. oznacza zbiór liczb wymiernych. oznacza zbiór liczb rzeczywistych. oznacza, że elment należy do zbioru , że elment nie należy do , / / zbioru . Najprostszy sposób zdefiniowania zbioru polega na wypisaniu jego elementów zawiera elementy 1,2,3. Inny spow nawiasach klamrowych. Na przykład zbiór / polega podaniu sób definiowania na własności, która̧ spełniaja̧ elementy zbioru. zbioru Na przykład oznacza zbiór liczb naturalnych wiȩkszych od 3 i & mniejszych od& 7. & oznacza moc zbioru , czyli liczbȩ jego elementów. // / oznacza sumȩ zbiorów, czyli zbiór, który zawiera elementy, które należa˛ do lub do : & & lub & A zatem suma zawiera wszystkie elementy zbioru i wszystkie elementy zbioru . oznacza iloczyn lub przekrój zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które należa̧ do obu zbiorów naraz. & & i & - oznacza różnicȩ zbiorów, czyli zbiór, który zawiera te elementy, które należa̧ do i nie należa̧ do . - i / / & / & / & mamy: Przykład 1.1 Dla i / / / / / 9/ - ! oznacza, że zbior zawiera siȩ w zbiorze , to znaczy wszystkie elementy zbioru / / / należa̧ do zbioru . Dwa zbiory sa̧ równe jeżeli zawieraja̧ te same elementy, lub inaczej wtedy gdy ! i " . / / / / / / wtedy i tylko / widać / Jak kolejność elementów w zapisie zbioru nie ma znaczenia. I tak na przykład . Taki zbiór dwuelementowy nazywamy czasami para̧ nieuporza̧dkowana̧. W poniższym lemacie zebrano podstawowe własności operacji sumy i iloczynu zbiorów. 6 Rozdział 1. Oznaczenia Lemat 1.2 # # , # (przemienność sumy). (przemienność iloczynu). # # # # (ła̧czność sumy). (ła̧czność iloczynu). # (rozdzielność sumy wzglȩdem iloczynu). wzglȩdem sumy). (rozdzielność iloczynu , , , 1.4 Różnica symetryczna zbiorów oznacza różnicȩ symetryczna̧ zbiorów, która zawiera elementy należa̧ce tylko do jednego z dwóch zbiorów: # # Przykład 1.3 / / - / / - / W poniższym lemacie zebrano podstawowe własności różnicy symetrycznej zbiorów. # , . # Lemat 1.4 # Jeżeli , to (przemienność). (ła̧czność). (rozdzielność wzglȩdem iloczynu). . Dowód: Udowodnimy, tylko dwie tożsamości, dowód pozostałych pozostawiamy czytelnikowi jako ćwiczenie. # # Aby pokazać, że różnica symetryczna jest łaczna ˛ wystarczy zauważyć, że zbiór lub zawiera te elementy, które należa̧ do nieparzystej liczby zbiorów, czyli te, które należa̧ tylko do , plus te, które należa̧ tylko do , plus te, które należa̧ tylko do , plus te, które należa̧ do przekroju . Udowodnimy teraz ostatni a˛ implikacj˛e#:. Jeżeli # , to 1.5. Iloczyn kartezjański Twierdzenie 1.5 Różnica symetryczna 7 zbiorów: / / / zawiera elementy, które należa̧ do nieparzystej liczby spośród zbiorów , Dowód przez indukcjȩ ze wzglȩdu na . Twierdzenie jest oczywiste dla . Załóżmy teraz, że jest ono prawdziwe dla i rozpatrzmy: # / + / # / # / . lub + / / i nie należa̧ do / + , Zbiór ten zawiera te elementy, które należa̧ do / i należa̧ do / + . W pierwszym przypadoraz te, które nie należa̧ do " ku sa̧ to elementy, które nie należa̧ do / + i na / mocy/ założenia indukcyjnego należa̧ do jakiejś nieparzystej liczby zbiorów spośród / . W drugim przypadku sa̧ to / / które należa̧ do / + , a także do pewnej parzystej liczby zbiorów spośród elementy, / mamy wszystkie elementy należa̧ce do nieparzystej liczby zbiorów / / . Razem spośród / + . 1.5 Iloczyn kartezjański / # / # / # Para uporza̧dkowana jest to dwuelementowy ciag ˛ . Mamy wtedy i & także &. tylko wtedy gdy oraz . Dopuszczalne jest # & iloczyn kartezjański zbiorów i . Jest to &zbiór wszystkich uporza̧dkowanych / oznacza par , w których i . Inaczej# 1 1 / / // 1 / 1 mamy i # # # # # # / / / / / / / / / / / Przykład 1.6 Dla Można łatwo wykazać, że 1.6 Rodzina zbiorów Czasami b˛edziemy mieli do czynienia # ze zbiorem, którego elementami sa˛ zbiory. Przez lub b˛edziemy oznaczać zbiór wszystkich podzbiorów zbioru . Przykład 1.7 Dla / 1 # / / 1 / / 1 8 Rozdział 1. Oznaczenia / / / Zbiór zbiorów nazywamy 8 ; czasami rodzina̧ zbiorów. Na przykład jest rodzina̧ zawieraja̧ca̧ cztery zbiory , , i , sa̧ to elementy zbioru . Możemy " 8 ; też zapisać . z rodziny. Suma Możemy sumować zbiory zawiera te elementy, które należa̧ do któregoś ze zbiorów , , ... , , czyli 4 47 & Inaczej możemy to zapisać: & ' Bȩdziemy też używać zapisu na oznaczenie sumy wszystkich zbiorów dzi wtedy , których indeksy należa̧ do zbioru . Zacho- & & Zbiór indeksów sumowania może być określony za pomoca̧ warunku. 5 - 5 8 ; < 6 Możemy też brać przekroje zbiorów z rodziny. Przekrój zawiera te elementy, które należa̧ do wszystkich zbiorów , , ... , , czyli & Inaczej możemy to zapisać: 4 47 & ' 1.7. Słowa Bȩdziemy też używać zapisu 9 na oznaczenie przekroju wszystich zbiorów , których indeksy należa̧ do zbioru . Za chodzi wtedy & & Zbiór indeksów przekroju może byćokreślony za pomoca̧ warunku. 57"5 8 ; < 6 /1.8 //Weźmy Przykład rodzinȩ złożona̧ z trzech zbiorów 8 . ' 8 8 // // 9 / 5 - 5 , // , / // / / / /// ' bȩdzie zbiorem indeksów. Dla każ . Mamy: / // / / & / / // & / 9/ / / / / / / / 5 - 5 Przykład 1.9 Niech dego określamy zbór / / 1.7 Słowa Słowa sa˛ to ciagi ˛ liter lub symboli z jakiegoś skończonego zbioru . Zbiór nazywamy wtedy alfabetem. Zbiór wszystkich słów nad alfabetem oznaczamy przez Wśród słów wyróżniamy słowo puste , które nie zawiera żadnych liter. / Przykład 1.10 Na przykład, jeżeli , to zawiera słowo puste , dwa słowa 1 , , i jednoliterowe i , cztery słowa dwuliterowe , osiem słów trzyliterowych 1 1 , 9 , i 1 , 9 , , i , i tak dalej. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 jest to liczba jego liter, b˛edziemy ja˛ oznaczać przez . DłuDługość słowa gość słowa pustego . Zbiór wszystkich słów długości nad alfabetem oznaczamy przez / Dla słów możemy określić operacj˛e konkatenacji, lub składania słów. Konkatenacja lub złożenie dwóch słów , , oznaczana przez , jest to sklejenie słów i . Do słowa dopisujemy na końcu słowo . Dla dowolnego słowa zachodzi . 10 Rozdział 1. Oznaczenia Przykład 1.11 Konkatenacja słów i 1 to sówo 1 1 1 1 1 . Słowo jest prefiksem lub przedrostkiem słowa , jeżeli istnieje takie słowo , że . Podobnie, słowo jest sufiksem lub przyrostkiem słowa , jeżeli istnieje takie słowo , że . Przykład 1.12 Na przykład jest prefiksem słowa 9 , a słowo jest sufiksem 1 prefixem i sufiksem dowolnego 1 1 1 słowa . Słowo puste jest słowa . Każde słowo 1 1 jest swoim własnym prefiksem i sufiksem. / ac Zwykle alfabet jest zbiorem uporzadkowanym, ˛ lub mówi ˛ inaczej mamy pewna˛ ko lejność liter w alfabecie. Na przykład w zbiorze litera stoi przed . Możemy 1 też wtedy uporzadkować ˛ zbiór słów nad alfabetem . 1 Jeden porzadek ˛ nazywa si˛e porzadkiem ˛ leksykograficznym. Jest to porzadek ˛ słów w słownikach. Aby porównać dwa słowa , , szukamy pierwszej pozycji, na której te dwa słowa si˛e różnia. ˛ Słowo, które ma na tej pozycji wcześniejsza˛ liter˛e, jest wcześniejsze w porzadku ˛ leksykograficznym. Jeżeli takiej pozycji nie ma, to albo , albo jedno ze słów jest prefiksem drugiego, wtedy wcześniejszy w porzadku ˛ leksykograficznym jest prefiks. Przykład 1.13 W porzadku ˛ leksykograficznym słowo a to jest wcześniejsze od . jest wcześniejsze od słowa , 1 1 1 1 1 / wygodny, Porzadek ˛ leksykograficzny jest jeżeli zbiór słów jest sko ńczony. Zauważmy, że w zbiorze wszystkich słów nieskończenie wiele słów (wszystkie słowa złożone tylko z litery ) poprzedza słowo1 . Dlatego czasami stosuje si˛e inny porzadek, ˛ tak zwany 1 porzadek ˛ kanoniczny. Słowo poprzedza słowo w porzadku ˛ kanonicznym, jeżeli: albo albo , i poprzedza w porzadku ˛ leksykograficznym. / Przykład 1.14 Poczatkowe ˛ słowa zbioru nicznego to: / / / / / / 1 1 1 / 1 1 / / / 1 uporzadkowane ˛ według porzadku ˛ kano- 1 1 / 1 1 1 / 1 / 1 1 1 / / 1 1 1 / 1.8 Zaokr¸aglenia Wprowadźmy dwa oznaczenia na zaokra̧glenie liczby rzeczywistej. Dla dowolnej liczby rzeczywistej & & oznacza zaokra̧glenie w górȩ do najbliższej liczby całkowitej. & & oznacza zaokra̧glenie Zaokraglenie ˛ & & w dół do najbliższej liczby całkowitej. nazywamy sufitem z , a zaokraglenie ˛ & & nazywamy podłoga˛ z . & 1.9. Przedrostki Przykład 1.15 / / / - / - / 11 - - / - - 1.9 Przedrostki W przypadku bardzo dużych lub bardzo małych wartości używa siȩ czasami jednostek miar bȩda̧cych wielokrotnościami lub podwielokrotnościami podstawowych jednostek. Takie jednostki wyraża siȩ przez dodanie do nazwy jednostki odpowiedniego przedrostka, a do oznaczenia tej jednostki dodaje siȩ oznaczenie przedrostka. W nastȩpuja̧cej tabeli zebrano te przedrostki. Przedrostek Oznaczenie Wielokrotność exa E < peta P tera T giga G 6 mega M 8 kilo k hekto h deka da Przedrostek Oznaczenie Podwielokrotność decy d centy c 8 mili m 6 mikro nano n piko p < femto f atto a Przykładami tak utworzonych jednostek sa̧: centymetr (cm), milimetr (mm), hehtopaskal, hektolitr, kilogram (kg), kilowat (kW). Do mierzenia prȩdkości (zegara) procesora używa siȩ megahertzów. Jeden megahertz (MHz) to jednostka czȩstości równa miliono siȩ do mierzenia wi impulsów na sekundȩ. Kilobajtów, megabajtów i gigabajtów używa komórek siȩ, że kilobajt ma liczby pamiȩci. Czȩsto przyjmuje bajtów, megabajt bajtów, a gigabajt bajtów. 1.10 Notacja asymptotyczna W analizie jakiegoś algorytmu (programu) ważne jest oszacowanie jego czasu działania. Jako przykład weźmy algorytm sortowania babelkowego, ˛ który ustawia elementy ciagu ˛ wejściowego w porzadku ˛ niemalejacym. ˛ 12 Rozdział 1. Oznaczenia Algorytm sortowania babelkowego. ˛ Aby posortować ciag ˛ długości : (1) wykonujemy co nast˛epuje - razy: (1a) wskazujemy na pierwszy element, (1b) wykonujemy co nast˛epuje - razy: porównujemy wskazany element z elementem nast˛epnym, jeżeli porównane elementy sa˛ w niewłaściwej kolejności, to zamieniamy je miejscami, wskazujemy na nast˛epny element. / W poniższej tabeli zilustrowano zastosowanie algorytmu dla ciagu ˛ 4 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 # / / . 2 Kolejne wiersze przedstawiaja˛ ciag ˛ po kolejnych porównaniach. Element aktualnie wskazany jest zaznaczony daszkiem. Poprawność powyższego algorytmu wynika z faktu, że po pierwszym wykonaniu zewn˛etrznej p˛etli (1) najwi˛ekszy element ciagu ˛ znajdzie si˛e na ko ńcu, po drugim wykonaniu p˛etli drugi najwi˛ekszy element ciagu ˛ znajdzie si˛e na przedostatniej pozycji, i tak dalej. Po każdym kolejnym wykonaniu p˛etli (1) kolejny najwi˛ekszy element znajdzie swoja˛ właściwa˛ pozycj˛e. Czas działania algorytmu zależy od — liczby elementów w ciagu. ˛ P˛etla zewn˛etrzna - razy. W każdej iteracji p˛etli zewn˛etrznej p˛etla wewn˛etrzna (1b) (1) jest wykowywana - razy. W każdym kolejnym wykonaniu p˛etli wewn˛etrznej również jest wykonywana # algorytm wykonuje kilka kroków. Tak wi˛ec, aby posortować ciag ˛ długości algorytm w kroków, gdzie jest pewna˛ stała.˛ sumie wykonuje Czas pracy powyższego algorytmu został oszacowany z dokładnościa˛ do stałej. Jest to powszechna praktyka i b˛edziemy tak post˛epować w tej ksiażce. ˛ Do szacowania czasu pracy algorytmu (jego złożoności czasowej) i do porównywania algorytmów pod wzgl˛edem czasu działania b˛edziemy używać notacji asymptotycznej. Niech i b˛eda˛ dwiema funkcjami określonymi na zbiorze liczb naturalnych o wartościach w zbiorze dodatnich liczb rzeczywistych Wtedy: / & & / & # 1.10. Notacja asymptotyczna ## 13 # # taka, że # , jeżeli istnieje dodatnia stała dla dla prawie wszystkich , to znaczy istnieje $ , takie, że każdego że funkcja jest O duże od . #. # $ # . W takim przypadku mówimy, . W takim przypadku mówimy, że funk , jeżeli cja # jest o małe# # od . # # dla , jeżeli istnieje dodatnia stała taka, że jest Omega . W takim przypadku mówimy, że funkcja prawie wszystkich duże# od . ## # / # # istnieja˛ dwie dodatnie stałe takie, że , jeżeli dla prawie wszystkich . W takim przypadku mówimy, że funkcja # jest Theta# duże od . # # Jeżeli , to mówimy, że funkcja ogranicza z góry funkcj˛e (z dokładnościa˛ do stałej), albo, że rzad ˛ funkcji jest nie wi˛ekszy od rz˛edu funkcji . # / / / # . Przykład 1.16 Czas ˛ jest działania # algorytmu sortowania babelkowego - #. . # - 8 . 8 - # . # 8 8 . / # B˛edziemy# dopuszczać funkcji, które sa˛ dodatnie # # notacj˛e asymptotyczna˛ także wobec . dla prawie wszystkich liczb naturalnych. Na przykład Jeżeli , to mówimy, że jest niższego rz˛edu niż . Przykład 1.17 # 8 8 . # # # . / # ## Jeżeli ## . Przykład 1.18 . # . , to i sa˛ tego samego rz˛edu, czyli #" ## oraz 14 Rozdział 1. Oznaczenia # . Nast˛epujacy ˛ lemat jest bardzo użyteczny przy szacowaniu asymptotycznym. Jego do# wód zostawiamy jako ćwiczenie. ## Lemat 1.19 Jeżeli granica . # Wniosek 1.20 Jeżeli istnieje i jest właściwa (nie jest równa ## # ## , to . / / ), to Nast˛epujacy ˛ przykład pokazuje, że oszacowanie asymptotyczne # # może by ć zawodne. # ## # # oraz Przykład 1.21 Weźmy dwie funkcje . Mamy $$ , ale dla wszystkich 8 , czyli dla wszystkich liczb mniejszych od liczby atomów w naszej galaktyce (porównaj podrozdział duże liczby w rozdziale o arytmetyce). Z drugiej jednak strony oszacowanie asymptotyczne wystarczy do naszych celów i jest łatwiejsze do uzyskania. # # # Przykład 1.22 Rozważmy trzy algorytmy: pierwszy działajacy ˛ w czasie , drugi w czasie 8 i trzeci w czasie 8 8 / . Funkcje te określaja˛ czas # działania # na pewnym #:( konkretnym komputerze. Niech , i 8 oznazczaja˛ długości wejść, dla których algorytmy daja˛ odpowiedź w ciagu ˛ jednej sekundy, to znaczy 8 8 Przypuśćmy teraz, że mamy 1000 razy szybszy komputer i pytamy jakie wejścia teraz moga˛ być policzone przez te algorytmy w ciagu ˛ jednej sekundy. # # Dla pierwszego algorytmu działajacego ˛ w czasie teraz obliczać liniowym możemy 1000 razy dłuższe dane wejściowe, ponieważ . Dla drugie # # go algorytmu działajacego ˛ w czasie sześciennym możemy teraz obliczać 10 razy dłuższe dane wejściowe, ponieważ . Dla trzeciego algorytmu działaja˛ #( # cego w czasie wykładniczym możemy teraz obliczać tylko dane wejściowe o 10 dłuższe, ponieważ 8 8 8 8 . 1.11 Zadania 1. Oblicz 2. Oblicz 3. Oblicz 4. Niech 5. Niech zbór / < ; / , / / / / / . dla # .# . // / , / / / , , ,i # / // // // . Oblicz . , bȩdzie zbiorem indeksów. Dla każdego określamy . Oblicz , , 8 < oraz & 8 ; & < . 6. Niech / / / , 7. Niech zbór & / / / / 1.11. Zadania / / / # 15 . Wypisz elementy 1 oraz 1 bȩdzie określamy zbiorem indeksów. Dla każdego oraz dzieli . Oblicz oraz . & , & 8. Uporzadkuj ˛ nast˛epujacy ˛ zbiór słów [Fragment wiersza Ptasie radio Juliana Tuwima] według porzadku ˛ leksykograficznego i kanonicznego: słowik, wróbel, kos, jaskółka, kogut, dzi˛ecioł, gil, kukułka, szczygieł, sowa, kruk, czubatka, drozd, sikora i dzierlatka, kaczka, gaska, ˛ jemiołuszka, dudek, trznadel, pośmieciuszka, wilga, zi˛eba, bocian, szpak. 9. Udowodnij wzór (1.1) na sum˛e ciagu ˛ arytmetycznego. 10. Udowodnij wzór (1.2) na sum˛e ciagu ˛ geometrycznego. 11. Udowodnij wzór (1.3). 12. Udowodnij wzór (1.4). 13. Udowodnij lemat 1.19, 14. Udowodnij zależności z przykładów 1.16, 1.17, 1.18,
