Algebra liniowa i geometria analityczna Lista zadań nr 2.1

A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 5 marca 2009 roku)
91
Algebra liniowa i geometria analityczna
Lista zadań nr 2.1
Tematyka: Zadania na wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Wyznaczniki.
1. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
p1 = (4, 0, −1),
p2 = (4, −1, 3),
p3 = (0, −1, 5).
Czy i jak zmieni się ta płaszczyzna, jeśli punkt p3 zastąpić przez punkt (1, 1, 0)? Czy można tak dobrać punkt p4 , aby płaszczyzna przechodząca przez punkty p1 , p2 , p4 była równoległa do płaszczyzny
przechodzącej przez punkty p1 , p2 , p3 ale nie identyczna z nią?
2. a) Podać równanie płaszczyzny π1 przechodzącej przez punkty p1 = (2, 1, 0) i p2 = (−1, 2, −1) i równoległej do prostej l zadanej parametrycznie przez



x1 = 2t − 1,
.
x = 3t + 1,
2


x = t − 3,
3
b) Wykazać, że prosta l jest zawarta w płaszczyźnie π2 o równaniu 2x1 − x2 − x3 = 0. Jakie jest wzajemne
położenie płaszczyzn π1 i π2 ?
3. Wyznaczyć wszystkie płaszczyzny równoległe do prostych l1 i l2 , gdzie
l1 :
4. Obliczyć podane wyznaczniki:
1 2
4 5
7 8
3
6 ,
9
1 2
2 3
3 4



x1 = 2t − 1,
x = 3t + 1,
2


x = t − 3,
3
3
4 ,
5
3 2
1 3
0 2
5. Stosując rozwinięcie Laplace’a sprawdzić, że
1
2
−3
−4
0
3
4
−5
0 −1
4
7
= 216,
5
9
6
1
,
0
1 ,
3
l2 :
3 2
2 2
2 1



x1 = 4 − t,
.
x = t + 6,
2


x = 2 − 3t,
3
−6
−5 ,
−4
0 2
2 0
3 4
3 −1 5 2
2
0 7 0
= −106,
−3
1 2 0
5 −4 1 2
1
2
0
0
3
4 ,
0
3
2
−8
−11
1
1
5
7
1
1
9
7
7
1
2
0
0
3
5
6
0
0
.
5
7
1
1
= −12
5
4
6. Sprawdzić, czy podane układy równań liniowych są układami Cramera. W przypadku odpowiedzi twierdzącej zastosować wzory Cramera do wyznaczenia rozwiązania.
a)
x1 − 3x2 − x3 = 2
−x1 + 4x2 + 2x3 = 0
2x1 + 5x2 + x3 = 2
b)
2x1 + 3x2 + 4x3
−x1
+ 2x3
x1 + x2 + x3
x1 + 3x2 + 6x3
+ x4
+ 3x4
+ x4
+ 4x4
=1
=1
=0
=2
c)
x1
−x1
2x1
3x1
+ 2x2
− x2
+ 3x2
+ 2x2
+ x3
=0
− 2x3 + x4 = 0
+ x3 − x4 = 0
+ 5x3 − 2x4 = 0
7. Rozwiązać, w zależności od parametru m ∈ R, układ równań, którego macierzą rozszerzoną jest macierz
a)


m 1 1 1


[A | b] =  1 m 1 m  ,
2
1 1 1 m
b)


1 2
1
m


[A | b] =  m 1 m + 1 1  .
1 m m−1 0
ALiGA — Ćwiczenia 1 (Sem.2)
92
8. Wiedząc, że 1798 = 31·58, 2139 = 31·69, 3255 = 31·105, 4867 = 31·157 wykazać nie wykonując żadnych
obliczeń, że wyznacznik
1 7 9 8 2 1 3 9 3 2 5 5 4 8 6 7 jest też podzielny przez 31.
9. Wykazać, że dla dowolnych wartości θ, φ spełniona jest równość
cos θ cos φ sin θ cos φ
cos θ sin φ sin θ sin φ
− sin θ
cos θ
− sin φ
cos φ = −1
0 10. Rozwiązać równania (przyjmując, że drugi z podanych wyznaczników ma (dowolny) stopień n)
1
5 − t2
2
2
2
3
2
3
3 5 − t2
3
4
4
4
= 0,
1
1
x a a . . . a
a x a . . . a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a a a . . . x
11. Obliczyć wyznaczniki doprowadzając je najpierw do możliwie najprostszej postaci
4
2
−5 −1
0
0
1 −4
4
0
3
1 −6 ,
−2
1 −5
2
1 0
2 3
,
3 4
−1 1
2 −4
0
−1
0
2
2 −3
0
0
3
2
−6
1
0
Odp. −85; −24; 30; 2 · 1 · (−3) · (−4) · 5 = 120.
−3 −1
1
0
0
1 ,
−3
2
0
5
2 −4
6
0
1
2
0 −3
0
0
0
0
0
0
0
−7 −1
1
0
0
1
−4
2
0
5
12. Obliczyć wyznacznik macierzy AB oraz BA dla


3
1
 2 −3


A=
,
 1
1
−2
1
"
#
1 −1 2 −1
B=
.
−2
1 3
0
Czy po obliczeniu det(AB) można zastosować tw. Cauchy’ego, aby obliczyć det(BA) ?
Odp. det(AB) = 0, det(BA) = −5. Nie gdyż A, B nie są macierzami kwadratowymi.
13. Sprawdzić dla każdej z niżej podanych macierzy, że macierz det1 A [Aij ]T , gdzie Aij jest dopełnieniem
algebraicznym wyrazu aij macierzy A, jest macierzą odwrotną do A.
a) A =
"


0
1 −3


b) B = 2
1 −2 ,
5 −1
1
#
2
3
,
−2 −5
14. Dla macierzy nieosobliwej stopnia drugiego A =
do A za pomocą wyrazów macierzy A.
a b
c d


6
0 0


c) A = 0 −4 0 .
0
0 2
podać wzór wyrażający wyrazy macierzy odwrotnej
15. Wykazać, że macierzą odwrotną do nieosobliwej macierzy diagonalnej


a11
0 ...
0

0
 0 a22


A= .
..
..

.
.
 .
.
0 . . . . . . ann
jest macierz
A−1

a−1
0 ...
11

−1
 0 a22
=
..
 ..
.
 .
0

0
0

..
.
.
. . . . . . a−1
nn