xk F о о

Wykład 4
Temat: Drgania i fale mechaniczne
Ruch drgający harmoniczny.
Jest to ruch wywołany niezrównoważoną siłą, której wartośd nie jest stała, ale zależy od wychylenia
z położenia równowagi.
Przykład 1- wahadło matematyczne, czyli kulka o niewielkich rozmiarach zawieszona na długiej
nieważkiej i nierozciągliwej nitce. Niezrównoważoną siłą, która powoduje ruch jest wypadkowa siły
ciężkości i siły naprężenia nitki. Wartośd tej siły wynosi F=mg sin
i zmienia się w czasie ruchu, bo zmienia się kąt wychylenia nici. Dla małych kątów wartośd sinusa
można przybliżyd wartością kąta, więc siłę zapisujemy jako:


x
F  mg
l
Znak „-„ oznacza, że zwrot siły jest przeciwny do zwrotu wychylenia.
Drugi przykład – to ruch ciężarka na sprężynce ( w kierunku poziomym). W tym przypadku
niezrównoważona siła jest siłą sprężystości odkształconej sprężyny. Jej wartośd jest również
proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi


F  kx
k- współczynnik sprężystości sprężyny.
Oba ruchu charakteryzuje periodycznośd. Wszystkie fazy ruchu okresowo powtarzają się. Czas
jednego cyklu nazywa się okresem - T.
Częstotliwośd f – to liczba cyklów w jednostce czasu.
T=
1
f
Ogólnie mówimy, że
jeśli działa na ciało niezrównoważona siła proporcjonalna do wychylenia i jej zwrot jest przeciwny
do zwrotu wektora przemieszczenia, to porusza się ono ruchem drgającym harmonicznym.


F  m 2 x 
W ruchu harmonicznym wychylenie, prędkośd i przyspieszenie nie są stałe. Ich zależnośd od czasu
podają następujące zależności:
x=Acos(t +ϕ)
v= - v0 sin (t +ϕ)
a= - a0cos(t +ϕ)
Iloczyn A- jest stałą, którą oznaczamy jako v 0, natomiast a0=A
Układy drgające
Wahadło matematyczne- masa punktowa zawieszona na nici o długości l.
Okres wahao dla wahadła matematycznego:
T  2
l
g
Ciężarek o masie m na sprężynce o stałej sprężystości k
Okres wahao dla ciężarka
T=2

Fale mechaniczne
Fala jest to zaburzenie ośrodka, które rozchodzi się ze skooczoną prędkością bez przemieszczania się
masy
Fale mechaniczne rozchodzą się w ośrodkach – powietrzu, cieczy i ciałach stałych. Polegają na
deformacji ośrodka, która się w nim rozprzestrzenia.
Fala elektromagnetyczna polega na zaburzeniu pola elektrycznego i magnetycznego. Może
rozchodzid się w ośrodku i w próżni
Fale poprzeczne- drgania ośrodka ( lub wektora pola ) są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się
fali
Fale podłużne- drgania ośrodka mają kierunek zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali
y(x,t)=Acos(kx-t+)
– najbardziej powszechnie stosowana postad funkcji opisującej falę biegnąca
A- amplituda
x- położenie
t-czas
k-liczba falowa
- częstośd kołowa
faza początkowa
T- okres- czas , w którym dowolny element ośrodka wykonuje jedno pełne drganie
Prędkośd fazowa fali- z taką prędkością porusza się faza fali- zaburzenie.
Grzbiet fali przesunął się w czasie  t o  x. W granicy v=lim
x dx
.Element sznura nie przesunął

t dt
się wzdłuż osi x, ale z inną prędkością wzdłuż osi y.
kx-t=const.( faza fali)
k
x
   0 ( dla fali biegnącej w prawo)
t
kv=

v

k
klasyczna zależnośd dyspersyjna.
Zjawiska falowe:
Odbicie fal, załamanie fal, interferencja, dyfrakcja, polaryzacja
Zjawisko odbicia fali polega na zmianie kierunku fali na granicy dwóch ośrodków, przy czym fala nie
przechodzi do drugiego ośrodka. Jeśli mówimy o zmianie kierunku, to najpierw należy określid
kierunek biegu fali przed odbiciem. Określa go jednoznacznie kąt padania.
Kątem padania fali nazywamy kąt zawarty pomiędzy promieniem fali padającej a prostopadłą do
granicy ośrodków.
Kątem odbicia fali nazywamy kąt zawarty pomiędzy promieniem fali odbitej a prostopadłą do
granicy dwóch ośrodków.
Prawo odbicia brzmi następująco:
W zjawisku odbicia fal kąt padania równy jest kątowi odbicia.
Promieo fali padającej i odbitej oraz prostopadła wystawiona w punkcie padania leżą w jednej
płaszczyźnie
Załamaniem fali nazywamy zjawisko zmiany kierunku rozchodzenia się na granicy dwóch ośrodków
przy przejściu fali z jednego ośrodka do drugiego na skutek różnej prędkości rozprzestrzeniania się
fali w tych ośrodkach.
Analogicznie jak definiowany był kąt padania i odbicia definiowany jest kąt załamania.
Kątem załamania nazywamy kąt pomiędzy promieniem fali załamanej a prostopadłą do granicy
dwóch ośrodków.
W zjawisku załamania fali stosunek sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania jest równy
stosunkowi prędkości w pierwszym ośrodku do prędkości w drugim
sin  v1

sin  v 2
Promieo fali padającej i promieo fali załamanej oraz prostopadła do granicy dwóch ośrodków leżą w
jednej płaszczyźnie.
Powyższe stwierdzenia są treścią prawa załamania fal.
Zasada superpozycji fal.
Wypadkowe wychylenie elementów ośrodka, w którym rozchodzą się dwie fale jest równe sumie
wychyleo odpowiadających poszczególnym falom.
Zjawisko nakładania się w ośrodku kilku fal nosi nazwę interferencji fal.
Interferencja fal w przypadku fali padającej i odbitej- fala stojąca
y1=Acos(kx-t)
y2=A(coskx+t+)- równanie fali odbitej
y1+y2=2A cos
kx  t  kx  t  
kx  t  kx  t  


cos
 2 A cos(kx  ) cos(t  )
2
2
2
2
Zauważmy, że:

2 A cos(kx  )  A' amplituda fali stojącej zależna od x.
2

cos(t  ) - czynnik opisujący drgania harmoniczne.
2
A’=0 węzły fali stojącej
A’=2A-strzałki fali stojącej
Odległośd między najbliższymi węzłami x=x1-x2
(kx1+


)  (kx2  )  
2
2
k(x1-x2)=

2
x   stąd x=

2

Przykład
Powstawanie fali stojącej w pobudzonym przez generator drgań sznurze o długości l.
Prędkość rozchodzenia się fali zależy od siły naprężającej F oraz gęstości liniowej .
v=
ln


2

f
n
f 
2l
n- liczna połówek długości fali= liczbie strzałek fali stojącej.
Zjawisko dyfrakcji - to inaczej ugięcie – polega na zmianie kierunku rozchodzenia się fali w wyniku
natknięcia się na przeszkodę o rozmiarach porównywalnych z jej długością lub od niej większych
Zjawisko uporządkowania drgao w dowolnej fali , tak, aby zachodziły one w ustalonej płaszczyźnie,
nazywamy polaryzacją liniową tej fali.
Literatura:
D. Hallyday R. Resnick „Podstawy fizyki”cz.2;
Roz. 16.2 16.3 16.4 16.7 17.3 17.4 17.5
Zadania i przykłady do samodzielnego rozwiązania:
Przykłady: 16.1; 16.2; 16.3; 17.1; 17.7
Zadania:
Zadanie 3,5,8,str.116
Zadanie 12,19 str.117
Zadanie 36,37,43 str 119
Zadanie 1 srt 131
Zadanie 3,4,5, str 149
Zadanie 7 str 150
Zadanie 33,36,46 str 152
Zadanie 48 str 153
17.8
17.9
17.11