Sterowanie Procesami Ciagłymi

Transkrypt

Sterowanie Procesami Ciągłymi
Dyskretyzacja modeli w przestrzeni stanu ciągłych stacjonarnych
systemów dynamicznych
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś
13.12.2010, Gdańsk
prof. dr hab. inż. Mieczysław Brdyś ()
13.12.2010, Gdańsk
1 / 33
Komputerowy system sterowania
e(t)
yzad(t)
-
e(kT) Komputer u(kT)
sterujący
e(t)
e(kT)
sygnał
ciągły
u(kT)
sygnał
dyskretny
sygnał
dyskretny
ZOH
u(t)
sygnał
ciągły
ZOH
u(t)
OBIEKT
y(t)
sample
(układ próbkujący)
interpolator
zerowego rzędu
(zero order hold)
Rysunek 1: Komputerowy system sterowania i jego komponenty
13.12.2010, Gdańsk
2 / 33
Błąd nadążania przez wyjście sterowane obiektu y (t) za trajektorią zadaną
y zad (t)
e(t) = y zad (t) − y (t)
jest próbkowany (ang. sampled) w chwilach t0 + kT , dla k = 0, 1, 2, 3, . . .
produkując ciąg dyskretnych w czasie wartości błędu,
e(t0 + kT ), k = 1, 2, 3, . . .
gdzie T jest czasem próbkowania (ang. sampling interval)
Definiując
e(k) , e(t0 + kT )
Otrzymujemy dyskretny w czasie sygnał
e(k), k = 1, 2, 3, . . .
gdzie k jest zmienną dyskretnego czasu.
13.12.2010, Gdańsk
3 / 33
Próbkowanie sygnału ciągłego
e(t)
e(t0+kT)
e(t0+3T)
e(t0+2T)
e(t0+T)
e(t0)
t0
t0+T
t0+2T t0+3T
t0
t
t0+T
t0+2T t0+3T
t
e(k)
e(3)
e(2)
e(1)
e(0)
0
1
2
3
k
Rysunek 2: Proces próbkowania sygnału ciągłego
13.12.2010, Gdańsk
4 / 33
Próbkowany sygnał błędu jest przetwarzany przez algorym sterowania
znajdujący sie w komputerze generując sygnały syterujące,
u(t0 + kT )
w chwilach,
tk = t0 + kT
Np.
u(t0 +kT ) = 4u(t0 +(k−1)T )+2e(t0 +kT )+5[e(t0 +kT )−e(t0 +(k−1)T )]
lub krócej,
u(k) = 4u(k − 1) + 2e(k) + 5[e(k) − e(k − 1)]
13.12.2010, Gdańsk
5 / 33
Interpolator
Po to aby skutecznie oddziaływać na obiekt sygnał sterujący dyskretny
musi być przetworzony w sygnał ciągły w czasie. Wymaga to zdefiniowania
(interpolacji) wartości sygnału w chwilach pomiędzy kT oraz (k + 1)T
Interpolator zerowego rzędu
u(t) , u(kT )
dla kT ¬ t ¬ (k + 1)T , k̇ = 1, 2, 3, . . .
Jest to sygnał przedziałami stały. Wpływ takiego sygnału na obiekt
inercyjny na takie wejście pokazana jest na Rysunku (3).
13.12.2010, Gdańsk
6 / 33
u(t),u(k)
u(3)
u(1)
u(0)
u(2)
t,k
y(t)
y(2)
y(0)
y(1)
y(3)
t0
0
t0+T
1
t0+2T
2
t0+3T
3
t,k
Rysunek 3: ZOH i wyjście inercji pierwszego rzedu
13.12.2010, Gdańsk
7 / 33
Wyjście obiektu jest ciągłe w czasie, ale komputer sterujący może ocenić
na bieżąco jakość generowanego sterowania jedynie w dyskretnych
chwilach próbkowania błędu nadążania (fikcyjny sampler na wyjściu
obiektu). Projektant układu sterowania potrzebuje znajomości relacji
u(k) → u(t)
która jest liniowa ale niestacjonarna.
Z drugiej strony szybkie (częste) próbkowanie daje dobrą informację o
ciągłym błędzie e(t), a jak zaraz zostanie pokazane relacja
u(k) → y (k)
jest zarówno liniowa jak i stacjonarna.
13.12.2010, Gdańsk
8 / 33
Dyskretyzacja
Niech model w przestrzeni stanu dynamiki obiektu na Rys. 1 z czasem
ciągłym będzie opisany,
dx
= Ax(t) + Bu(t)
dt
y (t) = Cx(t)
gdzie, x(t) ∈ Rnx , y (t) ∈ Rny oraz u(t) ∈ Rnu
Potrzebujemy
u(kT ) → y (kT )
(1)
13.12.2010, Gdańsk
9 / 33
Dyskretyzacja
Wyprowadzimy powyższą zależność pomiędzy próbkami sygnału
sterującego i próbkami wymuszanego wyjścia dla obiektu pierwszego rzędu,
dx
= ax(t) + bu(t)
dt
y (t) = cx(t)
Stąd otrzymujemy
x(t) = e
a(t−t̄0 )
Z t
x(t̄0 ) +
e a(t−τ )bu(τ )dτ
(2)
t̄0
13.12.2010, Gdańsk
10 / 33
Dyskretyzacja
Niech t = t0 + (k + 1)T oraz t̄0 = t0 + kT , wówczas z (2)
x(t0 + (k + 1)T )) = e aT x(t0 + kT ) +
Z t0 +(k+1)T
e a(t0 +(k+1)T −τ ) bu(τ )dτ
t0 +kT
Niech t0 = 0, wówczas
x((k + 1)T ) = e aT x(kT ) +
Z (k+1)T
e a((k+1)T −τ ) b u(τ )dτ =
kT
=e
aT
x(kT ) + e
a((k+1)T )
Z (k+1)T
e −aτ b u(τ )dτ =
kT
= e aT x(kT ) + e a((k+1)T )
Z (k+1)T
e −aτ dτ b u(kT )
(3)
kT
13.12.2010, Gdańsk
11 / 33
Dyskretyzacja
Następnie zastosujmy w (3) następujące podstawienie,
t = τ − kT
Rozpatrując dolną granice całkowania,
τ = kT → t = 0
Dla górnej granicy całkowania,
τ = (k + 1)T → t = T
Oraz,
dτ = dt
13.12.2010, Gdańsk
12 / 33
Dyskretyzacja
x((k + 1)T ) = e aT x(kT ) + e a((k+1)T )
Z T
e −a(t+kT ) dt b u(kT ) =
0
= e aT x(kT ) +
Z T
e −a(T −t) dt b u(kT )
(4)
0
Stosujemy w (4) kolejne podstawienie,
p =T −t
Rozpatrując dolną granice całkowania,
t=0→p=T
Dla górnej granicy całkowania,
t=T →p=0
Oraz,
dt = −dp
13.12.2010, Gdańsk
13 / 33
Dyskretyzacja
Otrzymujemy
x((k + 1)T ) = e aT x(kT ) −
Z 0
e ap dp b u(kT ) =
T
=e
aT
Z T
x(kT ) +
e ap dp b u(kT )
0
Ostatecznie otrzymujemy:
x((k + 1)T ) = e aT x(kT ) +
x(0) = x(t0 )
R T ap
0 e dp b u(kT )
(5)
e aT - macierz stanu w modelu dyskretnym
w przestrzeni stanu,
aT
at e = e t=T
13.12.2010, Gdańsk
14 / 33
Dyskretyzacja
b 0T e ap dp - wzmocnienie sterowania (całka macierzy tranzycji stanu
obiektu ciągłego na przedziale próbkowania) wzmocniona przez
wzmocnienie sterowania w modelu obiektu ciągłego w przestrzeni stanu.
R
Dyskretyzacja równania wyjścia
y (t) = cx(t)t=kT
y (kT ) = cx(kT )
(6)
13.12.2010, Gdańsk
15 / 33
Dyskretyzacja
Ostatecznie równania (5) i (6) stanowią model w przestrzeni stanu
dokładnie zdyskretyzowanego w sensie wartości próbek wejścia i wyjścia,
obiektu ciągłego dla klasy wejść przedziałami stałych. Dlatego ten model
nazywa się równoważnym w sensie ZOH, przy czym to ostatnie dotyczy
klasy sygnałów wejściowych.
Każdy sygnał ciągły i gładki można dowolnie dokładnie aproksymować
sygnałem przedziałami stałym. A wiec dyskretny model może być dowolnie
bliski ciągłemu jeśli czas próbkowania jest wystarczająco mały.
13.12.2010, Gdańsk
16 / 33
Dyskretyzacja
Uwaga 1
Parametry modelu zdyskretyzowanego typu ZOH zależą od okresu
próbkowania.
Uwaga 2
Model (5), (6) sam w sobie jest modelem dyskretnym w przestrzeni stanu
dynamiki dyskretnej relacji wejście-wyjście (wyjścia dyskretnego obiektu
dynamicznego).
Dane sterowanie u(kT ) w chwili kT oraz stan x(kT ) w chwili kT , nowy
stan x((k + 1)T ) w chwili (k + 1)T jest generowany przez równanie stanu
(5).
Wartość wyjścia y ((k + 1)T ) w chwili (k + 1)T jest generowana przez
równanie wyjścia (6).
13.12.2010, Gdańsk
17 / 33
Dyskretyzacja
Dla systemów MIMO z czasem ciągłym, dyskretyzacja typu ZOH w
przestrzeni stanu ma postać,
x((k + 1)T ) = F (T )x(kT ) + H(T )u(kT )
y (kT ) = Cx(kT )
(7)
(8)
gdzie,
F (T ) = e AT - macierz tranzycji stanu systemu MIMO.
H(T ) =
R T Ap
0 e dp B - macierz wzmocnień sterowania
13.12.2010, Gdańsk
18 / 33
Dyskretyzacja
Przybyliżone wyznaczanie wzmocnienia sterowania H(T )
Niech A−1 istnieje, wówczas
Z T
H(T ) =
0
−1 AT
e Ap dp = A− 1[e Ap ]T
− I]
0 = A [e
(9)
Rozważmy w (9) wyrażenie,
e AT − I
Z definicji macierzy tranzycji stanu,
1
1
e AT = I + AT + A2 T 2 + A3 T 3 + . . .
2!
3!
więc,
e AT − I = AT +
1 2 2
1
A T + A3 T 3 + . . .
2!
3!
oraz
A−1 [e AT − I ] = T +
1
1
AT 2 + A2 T 3 + . . .
2!
3!
13.12.2010, Gdańsk
(10)
19 / 33
Dyskretyzacja
Przybyliżone wyznaczanie wzmocnienia sterowania H(T )
Wyrażenie (10) jest punktem wyjścia do uzyskania przybliżeń wzoru
dokładnego (9) w zależności od liczby kolejnych wykorzystanych
elementów szeregu (10).
Przybliżenie 1 rzędu H p1 (T )
przybliżenie A−1 [e AT − I ] ≈ TI
generuje H p1 (T ) ≈ TB
Przybliżenie 2 rzędu H p2 (T )
przybliżenie A−1 [e AT − I ] ≈ TI +
generuje H p2 (T ) ≈ (TI +
T2
2 A
T2
2 A)B
13.12.2010, Gdańsk
20 / 33
Sampled data system
r(t)
r(kT)
ZOH
u(t)
OBIEKT
y(t)
y(kT)
Sampled Data System
Rozważmy system przedstawiony na rysunku powyżej z wejście r (t) i
wyjście y (t). Dynamika systemu jest taka, że w transformacji wejścia r (t)
do wyjścia y (t) uczestniczą zarówno elementy dyskretne (sampler), ciagłe
(obiekt) oraz mieszane (ZOH), generując sygnały z czasem zarówno
ciągłym i dyskretnym. Dlatego taki system nosi nazwe,
Sampled Data System
13.12.2010, Gdańsk
21 / 33
Sampled data system
Dynamika obiektu z czasem ciągłym dana jest przez transmitancje,
G (s) =
Y (s)
1
=
U(s)
s +1
(11)
Zakładając wystarczająco mały czas próbkowania T znajdziemy dyskretną
w czasie aproksymacje ciągłej w czasie relacji wejście - wyjście sampled
data system.
Będzie to zależność pomiędzy próbkami,
r (kT ), y (kT )
sygnałów r (t) oraz y (t) pokazany na Rys. 23. Aproksymacja ta będzie
dokładna dokładna dla sygnałów r (t) przedziałami stałych dla dowolnego
czasu próbkowania.
13.12.2010, Gdańsk
22 / 33
Sample Data System
r(t)
r(kT)
Sampled
Data System
y(t)
dyskretna w
czasie
aproksymacja SDS
ya(kT)
Rysunek 4:
13.12.2010, Gdańsk
23 / 33
Sampled data system
W celu zaprojektowania tej aproksymacji zastosujemy dyskretyzację
obiektu ciągłego metodą ZOH.
Rzeczywiście, dla sygnałów r (t) stałych na przedziałach o długości T
zachodzi,
u(kT ) = r (kT )
Dyskretyzacja obiektu metodą ZOH jest dokładna dla sygnałów
wejściowych przedziałami stałych. A więc próbki wyjścia SDS będą
dokładnie takie same jak wyjście dyskretyzacji ZOH obiektu ciągłego,
pobudzanej sygnałem dyskretnym r (kT ).
r(kT)
a
dyskretyzacja ZOH y (kT)=y(kT)
obiektu ciągłego
13.12.2010, Gdańsk
24 / 33
Dyskretyzacja dynamiki obiektu ciągłego
Równania stanu
sY (s) + Y (s) = U(s)
Korzystając z odwrotnej tranformaty Laplace’a otrzymujemy,
dy
+ y (t) = u(t)
dt
dy
= −y (t) + u(t)
dt
Definiując
x ,y
Otrzymujemy
dx
= −x(t) + u(t)
dt
y (t) = x(t)
(12)
13.12.2010, Gdańsk
25 / 33
Dyskretyzacja obiektu metodą ZOH
Z (12),
e At = e −t
oraz,
F (T ) = e −T
i
Z T
H(T ) =
e −p dp = 1 − e −T
0
13.12.2010, Gdańsk
26 / 33
Ostatecznie dykretyzacja ZOH obiektu ma postać,
x(k + 1) = e −T x(k) + (1 − e −T )u(k)
y (k) = x(k)
(13)
Gdzie,
x(k) , x(t0 + kT )
u(k) , u(t0 + kT )
Dyskretyzacja metodą ZOH
Ponieważ
u(k) = r (k)
wiec z (13) otrzymujemy dokładną aproksymacje dyskretną SDS
x(k + 1) = e −T x(k) + (1 − e −T )r (k)
y (k) = x(k)
13.12.2010, Gdańsk
(14)
27 / 33
Zależność od czasu próbkowania
Dla dwóch różnych czasów próbkowania,
T = 1 sek oraz T = 0, 1 sek
mamy z (14), że
x(k + 1) = 0, 37x(k) + 0, 63u(k)
(15)
x(k + 1) = 0, 9x(k) + 0, 1u(k)
(16)
oraz
a więc dwa różne równania stanu.
13.12.2010, Gdańsk
28 / 33
Zależność od czasu próbkowania
Sprawdzmy teraz dokładność aproksymacji wzmocnienia sterowania,
Dla szybkiego próbkowania z T = 0, 1sek,
H p1 (T ) = TB = 0, 1 · 1 = 0, 1
czyli przybliżenie 1 rzędu jest dokładne.
Dla wolnego próbkowania z T = 1sek,
H p1 (T ) = TB = 1 · 1 = 1 6= 0, 63
oraz,
H p2 (T ) = (TI +
1
T2
A)B = (1 + (−1))1 = 0, 5 6= 0, 63
2
2
Potrzebne jest zatem przybliżenie rzędu większego niż drugi.
13.12.2010, Gdańsk
29 / 33
Przykład 2
Dany jest SDS, gdzie dynamika ciągłego obiektu dynamicznego jest
drugiego rzędu i opisana jest przez transmitancję,
Y (s)
1
G (s) =
=
U(s)
s(s + 2)
(17)
Model w przestrzeni stanu takiego układu jest następujący,
s 2 Y (s) + 2sY (s) = U(s)
A zatem w dziedzinie czasu,
d 2y
dy
+2
= u(t)
2
dt
dt
(18)
13.12.2010, Gdańsk
30 / 33
Przykład 2
Zmienne stanu,
c)x1 , y
x2 , dy
dt
Stąd równania stanu mają postać,
dx1
= x2
dt
dx2
= −2x1 + u
dt
y = x1
Oraz w postaci macierzowej, "
#
"
#
dx
0
0 1
=
x+
u
0 −2
1
dt
y=
h
1 0
i
x
13.12.2010, Gdańsk
31 / 33
Przykład 2
Macierz stanu i wejścia obiektu
ciągłego
"
# ma postac,
"
#
0 1
0
A=
, B=
0 −2
1
Stąd macierz tranzycji stanu systemu ciągłego
można wyznaczyć
jako,
"
#
1
−2t )
(1
−
e
1
2
e At = L−1 [(sI − A)−1 ] =
0
e −2t
Stąd,
"
F (t) = e
AT
=
1
0
1
2 (1
− e −2T )
e −2T
#
13.12.2010, Gdańsk
32 / 33
Przykład 2
Oraz macierz wzmocnień sterowania,"
Z T
H(T ) =
e
Ap
Z T
dtB =
0
"
=
0
e −2T −1
1
)
2 (T +
2
1
−2T
)
2 (1 − e
1
0
1
2 (1
− e −2p )
e −2p
#
"
dp
0
1
#
#
Dyskretne modele SDS dla T = 1 sek oraz T = 0, 1 sek
"
x(k + 1) =
oraz
x(k + 1) =
x1 (k + 1)
x2 (k + 1)
"
#
x1 (k + 1)
x2 (k + 1)
"
#"
=
1 0, 432
0 0, 135
#
"
#"
=
1 0, 09
0 0, 82
x1 (k)
x2 (k)
#
"
x1 (k)
x2 (k)
#
+
"
+
0, 284
0, 432
0
0, 1
#
u(k)
#
u(k)
13.12.2010, Gdańsk
33 / 33

Sterowanie Procesami Ciagłymi

Transkrypt

Podobne dokumenty

Sterowanie Procesami Ciagłymi - Systemy dynamiczne z czasem

Sterowanie Procesami Ciagłymi

ulotka 10 Qq - agraterm.pl

Gdańsk Śródmieście Główny

informacja z otwarcia ofert

Restauracja Harmonia w Gdańsku

Grąbka Mieczysław (1950 )

III FORUM „MŁODZI I MIŁOŚĆ” GDAŃSK

"Qigong-Lecacy Zuraw" Stowarzyszenie Promocji