AlgTM 1 Rachunek zdań Zdanie logiczne jest to zdanie

AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
AlgTM 1
Rachunek zdań
Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość
logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na prawdziwe (przypisujemy im wartość 1) oraz
fałszywe (o wartości logicznej 0).
Podstawowe funktory zdaniotwórcze:
negacja
∼ ”nieprawda, że”
koniunkcja
∧
implikacja
⇒ ”jeśli...to...”
”i”
alternatywa
∨
”lub”
równoważność ⇔ ”wtedy i tylko wtedy, gdy”
W implikacji p ⇒ q zdanie p nazywamy poprzednikiem implikacji, zdanie q - następnikiem.
p
q
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
p
∼p
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
Prawami (tautologiami) rachunku zdań nazywamy formuły, które są prawdziwe niezależnie
od wartości logicznej zdań, które w nich występują.
1.
(p ∧ p) ⇔ p
prawo idempotentności koniunkcji
(p ∨ p) ⇔ p
prawo idempotentności alternatywy
2. ∼ (∼ p) ⇔ p
prawo podwójnej negacji
3. p ∨ (∼ p)
prawo wyłączonego środka
4. ∼ (p ∧ (∼ p))
prawo sprzeczności
5. ∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q)
prawa de Morgana
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q)
6.
(p ⇒ q) ⇔ ((∼ q) ⇒ (∼ p))
prawo kontrapozycji
7. ∼ (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ (∼ q))
prawo negacji implikacji
8. p ∧ q ⇔ q ∧ p
prawa przemienności
p∨q ⇔q∨p
9. p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
prawa łączności
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
10. p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r)
prawo przechodniości implikacji
11.
1
AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
Jeśli prawdziwa jest implikacja p ⇒ q to mówimy, że p jest warunkiem wystarczającym
dla q oraz q jest warunkiem koniecznym dla p.
Jeśli prawdziwa jest równoważność p ⇔ q to mówimy, że p jest warunkiem koniecznym i
wystarczającym dla q.
Dla danej implikacji p ⇒ q (którą nazywamy prostą), implikację
q ⇒ p nazywamy odwrotną,
(∼ p) ⇒ (∼ q) nazywamy przeciwną,
(∼ q) ⇒ (∼ p) nazywamy przeciwstawną.
Def. Niech X będzie zbiorem niepustym. Formą zdaniową zmiennej x ∈ X nazywamy takie
wyrażenie ϕ(x), które staje się zdaniem (prawdziwym lub fałszywym), gdy za x podstawiamy
elementy ze zbioru X. Zbiór X nazywamy zakresem zmienności formy zdaniowej ϕ(x).
Jeśli ϕ(x0 ) jest prawdziwe dla pewnego x0 ∈ X to mówimy, że x0 spełnia formę zdaniową
ϕ(x). Zbiór wszystkich zmiennych x ∈ X spełniających formę zdaniową ϕ(x) oznaczamy
{x ∈ X : ϕ(x)}.
Analogicznie można zdefiniować formy zdaniowe dwu- lub więcej argumentowe.
Zasada indukcji matematycznej
Tw. Niech ϕ(n) - forma zdaniowa zmiennej n ∈ N.
Jeżeli istnieje n0 ∈ N taka, że
1. ϕ(n0 ) jest zdaniem prawdziwym
2. dla każdego k ­ n0 prawdziwa jest implikacja ϕ(k) ⇒ ϕ(k + 1)
to ϕ(n) jest zdaniem prawdziwym dla każdej liczby naturalnej n ­ n0 .
Niech ϕ(x) będzie formą zdaniową zmiennej x ∈ X, X - zbiór niepusty.
Kwantyfikator uniwersalny (ogólny) oznaczamy symbolem ∀.
Napis ∀x ∈ X ϕ(x) czytamy ”dla każdego elementu x ze zbioru X zachodzi ϕ(x)”.
Kwantyfikator egzystencjalny (szczegółowy) oznaczamy symbolem ∃.
Napis ∃x ∈ X ϕ(x) czytamy ”istnieje element x w zbiorze X, dla którego zachodzi ϕ(x)”.
W przypadku, gdy zakres zmienności formy zdaniowej jest wcześniej określony,
zamiast ∃x ∈ X ϕ(x) można pisać ∃x ϕ(x), zamiast ∀x ∈ X ϕ(x) można pisać ∀x ϕ(x).
2
AlgTM, zima 2013/2014, A.Sz.
Zmienną do której odnosi się kwantyfikator nazywamy zmienną związaną.
Zmienne, które nie są związane nazywamy wolnymi.
Prawem rachunku kwantyfikatorów nazywamy formułę zawierającą symbole kwantyfikatorów, która jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej interpretacji symboli i form zdaniowych w
niej występujących.
Podstawowe prawa rachunku kwantyfikatorów
Niech x ∈ X, y ∈ Y , gdzie X, Y - zbiory niepuste.
1. ∀x ϕ(x) ⇒ ∃x ϕ(x)
2. ∼ (∀x ϕ(x)) ⇔ ∃x (∼ ϕ(x))
prawa de Morgana
∼ (∃x ϕ(x)) ⇔ ∀x (∼ ϕ(x))
3. ∃x ∃y ϕ(x, y) ⇔ ∃y ∃x ϕ(x, y)
prawa przemienności kwantyfikatorów
∀x ∀y ϕ(x, y) ⇔ ∀y ∀x ϕ(x, y)
∃x ∀y ϕ(x, y) ⇒ ∀y ∃x ϕ(x, y)
4. ∃x (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇔ ∃x ϕ(x) ∨ ∃x ψ(x)
prawa rozdzielności kwantyfikatora szczegółowego
∃x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇒ ∃x ϕ(x) ∧ ∃x ψ(x)
5. ∀x (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇔ ∀x ϕ(x) ∧ ∀x ψ(x)
prawa rozdzielności kwantyfikatora ogólnego
∀x ϕ(x) ∨ ∀x ψ(x) ⇒ ∀x (ϕ(x) ∨ ψ(x))
3