Fizyka dla poetów, kucharzy i biznesmenów

Transkrypt

Fizyka dla biznesmenów
1
Plan referatu
1. Zwiazek
˛
ekonomii z naukami ścisłymi
2. Ekonofizyka
3. Metody fizyki w inżynierii finansowej
• Bładzenie
˛
przypadkowe
• Uniwersalność
• Korelacje
• Macierze przypadkowe
• ...
4. Metody fizyki w makroekonomii
• Uniwersalność i rozkład dochodów
• Kondensacja i korupcja
5. Podsumowanie i perspektywy
Z.Burda
XXXVIII Zjazd Fizyków Polskich
2
Zwiazek
˛
ekonomii z naukami ścisłymi
Ekonomia jest nauka˛ społeczna.
˛
Rynek → Spekulacje → Rachunek Prawdopodobieństwa → Procesy
Stochastyczne → Teoria Portfela (Macierze Przypadkowe) → Ryzyko Finansowe
→ ...
Paul Samuelson, Economics: An introductory analysis, 1948
Z.Burda
3
Wielcy prekursorzy
Spekulacje: Newton, Gauss
I can calculate the motions of heavenly bodies, but not the madness of people.
Isaac Newton
Rachunek pradwopodobieństwa: Pascal, Laplace
Procesy stochastyczne: Bachelier, Einstein, Smoluchowski, Wiener
Teoria portfela ↔ Macierze przypadkowe: Markovitz ↔ Wigner
Z.Burda
4
Louis Bachelier, Teoria Spekulacji, 1900
Xt+1 = Xt + ξt ,
hξt i = 0, hξt ξs i = σ 2 δts
• prawo rynku finansowego (ruchy Browna)
• rozkład prawdopodobieństwa cen,
• wycena kontraktów (czasowych),
• martyngały,
• arbitraż,
• efektywność rynku,
• ...
Nastepcy:
˛
Xt+1 = Xt eξt
Przykład arbitrażu: Euro/USD = 1.2,
90 EURO
Z.Burda
USD/ZL=3.0,
EURO/ZL=4.0
−→ 360 ZL −→ 120 USD −→ 100 EURO
5
Ekonofizyka
Matematyka finansowa =⇒ Fizyka finansowa
• doświadczalna: ogromne ilości danych
• teoria: metody fizyki statystycznej
Workshop on Econophysics, Budapeszt, 06.1997
J.-P. Bouchaud and M. Potters, Theory of Financial Risks: From Statistical Physics
to Risk Management, Cambridge University Press
R.-N. Mategna and H.E. Stanley, An Introduction to Econophysics Correlations and
Complexity in Finance, Cambridge University Press
Econophysics ? Phynance ? J.-P. Bouchaud
Z.Burda
6
Metody fizyki w inżynierii finansowej
• Procesy stochastyczne: prototyp ruchy Browna, równania Langevina,
równania Fokkera-Plancka;
• Uniwersalność: niezależność od szczegółów; przykład: centralne twierdzenie
graniczne;
• Macierze przypadkowe: funkcje Greena, diagramatyka Feynmana,
rozwiniecie
˛
kolorowe;
• ...
Z.Burda
7
Teoria macierzy przypadkowych
Wigner: nowy typ fizyki statystycznej do opisu kwantowego układu wielu ciał
·
¸
N
p(H)dH = exp − tr H2 dH
2
odległość miedzy
˛
poziomami:
pW (x) =
π
2x
= H†
¤
2
gdzie H
£
· exp − π4 x
1
Wigner
Poisson
data
probability
0.8
0.6
0.4
PSfrag replacements
0.2
0
Z.Burda
0
0.5
1
1.5
2
2.5
∆λ/h∆λi
3
3.5
4
8
Zastosowanie modeli macierzowy przypadkowych
• kwantowe układy wielu ciał
• teoria lokalizacji
• szkła spinowe
• chaos kwantowy
• QCD - operator Diraca
• rozwiniecie
˛
1/N (diagramatyka planarna)
• kombinatoryka wezłow,
˛
pseudowezłów, meandrów . . .
• 2d grawitacja kwantowa, struny niekrytyczne
• hipoteza Riemanna
• statysyka wielu stopni swobody
• ...
• sui generis gałaź
˛ fizyki matematycznej
Z.Burda
9
Macierze kowariancji
N zmiennych przypadkowych: Xi , i = 1, . . . , N
Macierz kowariancji:
Dla prostoty:
Cij = hXi Xj i − hXi ihXj i
hXi i = 0 −→ Cij = hXi Xj i
PSfrag replacements
ag replacementsDoświadczalna macierz kowariancji:
xit
T pomiarów Xi : xit , t = 1, . . . , T
N
xit
N
T r = N/T , (r < 1)
r = N/T , (r < 1)
T
cij =
c=
1
T
Z.Burda
1
T
T
P
t=1
xit xjt
c
=
x
·
xτ
xxτ
10
Rozkład wartości własnych macierzy przypadkowych
Przykład: nieskorolowane identyczne zmienne
Cij = hXi Xj i = δij =⇒ ρC (λ) = δ(λ − 1)
PSfrag
replacements
Pytanie:
ρc (λ) ?
cij ∼ δij + ²ij
Granice:
√
gdzie ²ij ∼ O(1/ T )
N → ∞ and r = N/T = const
p
1
Wishart: ρc (λ) = 2πrλ (λ+ − λ)(λ − λ− )
√ 2
gdzie λ± = (1 ± r)
5
r=1.0
r=0.4
r=0.1
r=0.01
ρc (λ)
4
3
2
1
0
0
Z.Burda
0.5
1
1.5
λ
2.5
3
3.5
4
11
Sygnał i szum w macierzy korelacji
Problem wprost: ρC (λ)
Problem odwrotny ρc (λ)
=⇒ ρc (λ)
=⇒ ρC (λ)
Rzeczywisty problem λ1 , . . . , λN
Wynik zależy od r
=
N
T : np.
=⇒ ρC (λ)
r→0
⇒
ρc (λ) → ρC (λ)
• matematyka
• fizyka
• biologia
• telekomunikacja
• teoria informacji
• matatyka finansowa (problem portfela)
• ...
Z.Burda
12
Wybór portfela
Zysk, ryzyko, dywersyfikacja (H. Markovitz)
N
P
pi = 1, X =
i=1
Zysk:
N
P
pi X i
i=1
hXi =
Ryzyko:
N
P
i=1
pi hXi i
σ 2 (X) =
P
pi Cij pj =
ij
P
i
λi vi2
Zasada wyboru portfela: zminimalizować ryzyko przy oczekiwanym zysku
Jak wyliczyć Cij ?
Dane historyczne:
cij =
ρc (λ)
Z.Burda
1
T
T
P
Rit = ln PPitit−1
=⇒
xit = Rit − hRi i
xit xjt
t=1
→
ρC (λ)
13
Obserwacje empiryczne
T
1X
Rit − hRi i
cij =
xit xjt gdzie xit =
T t=1
σi
6
6
ρ(λ)
4
4
Market
ρ(λ)
2
0
0
20
λ
40
60
2
0
0
1
λ
2
3
PRL 83(7), 1467 (1999) by Bouchaud, Cizeau, Laloux, Potters
C vs. c, pojedyncze piki = sektory
Uniwersalność =⇒ Potrzebne precyzyjniejsze metody analizy!
Z.Burda
Zwiazek
˛
miedzy
˛
C and c
14
Burda, Görlich, Jarosz, Jurkiewicz, Physica A343
(2004) 295.
1
N
g(z) =
¿
Tr
1
z−c
1
1
∓ iπδ(x)
=
P
V
+
x ± i0
x
À
=
=⇒
1
N
*
N
X
i=1
1
z − λi
+
1
ρ(x) = − Im g(x+i0+ )
π
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0
Z.Burda
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
15
Momenty spektralne
mk =
Z
ρc (λ)λk dλ , Mk =
Z
ρc (λ)λk dλ
m1
= M1
m2
= M2 + rM12
m3
= M3 + 3rM1 M2 + r2 M13
...
M1
= m1
M2
= m2 − rm21
M3
...
= m3 − 3rm1 m2 + 2r2 m31
.
Odszumiane macierzy kowariancji
Wykorzystanie niestatystycznej informacji w wyznaczaniu C
Z.Burda
16
Makroekonomia - rozkład dochodów (bogactwa)
V. Pareto, Cours d’économie politique, 1897
dx p(x) =
A dx
x1+α
Prusy 1852
Prusy 1894
Saksonia 1880
Florencja 1880
Bazylea 1880
x À x0
α = 1.89
α = 1.60
α = 1.58
α = 1.41
α = 1.24
R. Gibrat, Les Inégalités Economiques, 1931
dx 1
ln2 (x/x0 )
√
dx p(x) =
exp −
2
x 2πσ
2σ 2
Z.Burda
17
Rozkład bogactwa w Japoni ’98
Wataru Souma, Physics of Personal Income, cond-mat/0202388
Cumulative Probability
1
Adjusted Income−Tax
Income
Income + Employment Income
Power law (α=2.06)
Log−normal (x0=4 million yen, β=2.68)
−2
10
−4
10
−6
10
−8
10
Z.Burda
1
10
1
2
10
3
10
10
Income (million yen)
4
5
10
18
Argument średniopolowy
Addytywne zmiany przypadkowe:
hξt i = m ,
yt+1 = yt + ξt
hξt ξs ic = σ 2 δts
dy PA (y, T ) = √
dy
2πσ 2 T
exp −
Multiplikatywne zmiany przypadkowe:
dx PM (x, T ) =
Z.Burda
"
1
2σ 2 T
µ
y − y0 − mT
xt+1 = xt eξt ,
"
1
dx
1
√
exp − 2
x
2σ T
2πσ 2 T
¶2 #
yt = ln xt
µ
ln
x
x0 emT
¶2 #
Warunki brzegowe:
19
y > y∗
Addytywne zmiany przypadkowe:
yt+1 = yt + ξt
m = hξt i < 0 =⇒ rozkład eksponencjalny
PA (y) dy = αe−α(y−y∗ ) dy
Multiplikatywne zmiany przypadkowe:
xt+1 = xt eξt ,
yt = ln xt
xα
∗
PM (x) dx = α 1+α
dx
x
Prawo Pareto dla m
<0
Prawo Gibrata dla m
Z.Burda
>0
20
Model kulek w pudełkach (poprawiony argument średniopolowy)
P. Bialas, Z. Burda, D. Johnston, Nucl. Phys. B493 (1997) 505
p(x)dx ∼ x−1−α dx ,
X = x1 + ... + xN = const
Liczby naturalne xi
>0
Granica : N → ∞, ρ = X/N = const
Z(X, N ) =
X Y
{xi >0}
i
Ã
p(xi ) δ X −
N
X
i=1
xi
!
Efektywny rozkład prawdopodobieństwa :
pb(x) =
Z.Burda
1
N
*
N
X
i
δ(xi − x)
+
Z
21
PSfrag replacements
X=
PN
i=1 xi =
P
x
•
x4 = 2
1
Z.Burda
2
3
4
5
....
N −1 N
p(x)
Przejście fazowe at ρcr
=
P
W punkcie przejścia fazowego:
Faza deficytowa :
ρ < ρcr :
Faza nadmiarowa :
ρ > ρcr :
x
22
x p(x) .
ρ = ρcr :
pb(x) ∼ p(x) .
pb(x) ∼ e−σx p(x) .
1
pb(x) ∼ pcr (x) + δ(x, X − N ρcr ) .
N
Z.Burda
23
Kondensacja
10
pb(x)
ag replacements
PSfrag replacements
10
−2
10
−4
10
−6
−8
10
10
1
Z.Burda
2
3
4
5
0
−10
1
10
100
x
1000
N −1 N
24
Paradoks
Czym bardziej restryktywny system tym mniejsze ρcr .
Im mniejsze ρcr tym łatwiej wygenerować kondensacje (przejście do fazy
nadmiarowej) (Korupcja)
W liberalnej makroekonomii typu Pareto nie ma korupcji
p(x) ∼ x
−1−α
for
0 < α < 1 =⇒ ρcr =
X
x
xp(x) = ∞
Nature :
http:// www.nature.com/nsu/020121/020121-14.html
Wealth spawns corruption
Z.Burda
25
Podsumowanie
• Teoria portfela (odszumianie macierzy kowariancji)
• Makroekonomia (rozkład dochodów)
Perspektywy
• Instrumenty pochodne
• Arbitraż statystyczny
• Szukanie korelacji w danych
• Transakcje w internecie
• ...
Z.Burda

Fizyka dla poetów, kucharzy i biznesmenów

Transkrypt

Podobne dokumenty

Pobierz - ePrasa.pl

Lp. Nazwisko i imię nauczyciela Przedmiot 1. Bernatek Małgorzata

Propozycje tematów referatów na seminarium „Przyroda wokół nas

O tym jak żyć, co robić, by być sobą w pełni, jak zachować

"Spotkajmy się na drodze, którą kiedyś przemierzaliśmy razem

Kopiujemy francuskich impresjonistów!

Tabela robót ziemnych na zjazdach gospodarczych i na drogi boczne

wiersz