9. Granica i ci ag losc funkcji zmiennej rzeczywistej. Oblicz granice

9. Granica i ciag
, lość funkcji zmiennej rzeczywistej.
Oblicz granice lub wykaż, że nie istnieja,
9.1.
√
9.3.
lim
x→2
9.5.
9.8.
x3 − 1/8
lim
π
x→ 21 x − cos( 3 )
9.2.
x3 − 3x2 + 4 − x + 2
x2 − 4
sin 17x
x→0 sin 8x
lim
9.6.
sin x
lim
x→0 x + tg x
9.11.
√
lim
x→4+
√
x2 + a2 − a
lim √
, gdzie a > 0 i b > 0
x→0
x2 + b2 − b
9.4.
1 − cos x
x→0
x2
lim
9.9.
√
x−2+ x−4
√
x2 − 16
lim x2 (1 − cos(1/x))
9.7.
x→∞
sin(x − (π/3))
limπ
1 − 2 cos x
x→ 3
p
√
1 − cos x
lim
x→0
x
9.12.
9.10.
1
lim x
x→0
x
ln(ex + 1)
x→∞
x
lim
9.13. Udowodnij, że nie istnieje granica limx→−∞ cos x.
9.14. Dobierz wartości parametrów a i b tak, aby funkcja dana poniższym wzorem byla
ciag
 sin x−x
, la na R:
dla x < 0


x
a √
dla x = 0
f (x) =
3

x+1
 b + 1− √
dla x > 0.
1− 4 x+1
9.15. Jaka jest dziedzina funkcji f (x) = sin(1/x)? Czy można rozszerzyć te, funkcje, na cala,
prosta, tak aby byla ciag
, la?
9.16. Czy może sie, zdarzyć, że iloczyn funkcji ma w jakimś punkcie granice, i jedna z tych
funkcji też, a druga nie ma granicy?
Zbadaj ciag
, lość funkcji:
9.17.
f : (−1, ∞) → R,
9.18.
f : R → R,
9.19.
x2
n→∞ 1 + xn
x 7→ lim
enx + 1
n→∞ xenx + 2
f (x) = lim
f : R → R,
x 7→ sgn (sin x)
(
9.20.
φ : R → R,
φ(x) =
x
gdy x ∈ Q
0
gdy x 6∈ Q
9.21. Pokaż, że jeśli funkcje f, g : R → R sa, ciag
, le, to funkcja
φ(x) = max{f (x), g(x)}
też jest ciag
, la na R.
1