slip tit

Nr 50
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Politechniki Wrocławskiej
Studia i Materiały
Nr 22
Nr 50
2000
elektromechaniczne przetwarzanie energii,
maszyny elektryczne asynchroniczne,
obwody magnetyczne nieliniowe
Adam WARZECHA*
WYZNACZANIE EFEKTÓW NASYCENIOWYCH
W SILNIKU ASYNCHRONICZNYM NA PODSTAWIE OBLICZEŃ POLOWYCH
Praca prezentuje model maszyny asynchronicznej o nieliniowym głównym obwodzie
magnetycznym uwzględniający pierwszą i trzecią harmoniczną przepływu wypadkowego oraz
przedstawia polowe metody wyznaczania jego parametrów. Nieliniowe charakterystyki uzwojeń
wyrażające związki pomiędzy strumieniami skojarzonymi a prądami uzwojeń są wyznaczone metodą
modelowania pola magnetycznego wytwarzanego przez składową pierwszą i zerową prądów
fazowych przy wydzielonych strumieniach rozproszeń. Poszczególne składniki funkcji
aproksymujących nieliniowe charakterystyki są powiązane z efektami nasyceniowymi występującymi
w silniku pierścieniowym. Na podstawie obliczeń pola dla silnika o poszerzonym i zwężonym jarzmie
stojana oszacowano wpływ stopnia nasycenia stref żłobkowych i strefy jarzm obwodu magnetycznego
na występowanie składowej zerowej strumieni fazowych oraz na stopień zmniejszenia indukcyjności
dla składowej zerowej.
1. WPROWADZENIE
Podstawowym efektem nasyceniowym występującym w silniku pracującym na
biegu jałowym i pod obciążeniem jest nieliniowa zależność prądu od napięcia
zasilającego, związana z nasycaniem głównego obwodu magnetycznego. Efektem
dodatkowym jest występowanie trzeciej harmonicznej w napięciach fazowych.
Składowa zerowa tych napięć przy skojarzeniu uzwojeń w gwiazdę z przewodem
zerowym lub w trójkąt wymusza przepływ składowej zerowej prądów fazowych.
Obecność składowej zerowej w napięciach fazowych wpływa na pracę układu
sterowania silnikiem, natomiast składowa zerowa prądów powiększa obciążenie
prądowe uzwojeń i może generować momenty pasożytnicze. Zawartość trzeciej
harmonicznej napięć szybko wzrasta ze stopniem nasycenia obwodu magnetycznego,
osiągając kilkanaście procent przy zasilaniu znamionowym. Jej przesunięcie fazowe
względem harmonicznej podstawowej zależy od lokalizacji stref nasycenia oraz od
______________
* Instytut Elektromechanicznych Przemian Energii, Politechnika Krakowska, ul. Warszawska 24,
31-155 Kraków.
199
stopnia obciążenia silnika [1]. Zastosowany model matematyczny obejmuje silnik z
wirnikiem wielofazowym przy założeniu niezależnych liniowych obwodów
magnetycznych dla strumieni rozproszenia. Obliczenia polowe wykonano dla silnika
pierścieniowego.
2. DWUHARMONICZNY MODEL SILNIKA
W SKŁADOWYCH SYMETRYCZNYCH
Analiza efektów nasyceniowych wywołanych nieliniowością głównego obwodu
magnetycznego powinna być przeprowadzona przy użyciu modelu silnika z nieliniowym
obwodem magnetycznym uwzględniającego co najmniej pierwszą i trzecią harmoniczną
pola szczelinowego. Wymagania te spełnia model przedstawiony w pracy [2]. Został on
sformułowany na bazie funkcji koenergii pola magnetycznego i operuje zastępczymi
prądami magnesującymi równymi amplitudom kolejnych harmonicznych przepływu
wypadkowego, wytwarzanego przez prądy wszystkich uzwojeń.
∞
∑ϑmρ (t )cosρ (x −α ρ (t )) ;
θ ( x, t ) =
ϑmρ (t ) = imρ (t )
(1)
ρ =1 p ,3 p ,...
Amplitudyϑmρ i położenie α ρ są określane przez składowe prostokątne harmonicznych
przepływu. Dla trójfazowego silnika klatkowego o symetrycznych uzwojeniach składowe te
wygodnie jest traktować jako część rzeczywistą i urojoną zespolonej amplitudy przepływu
magnesującego ϑmρ , która może być zapisana w postaci
ϑmρ = ϑmsρ + ϑmrρ


= ν sρ  1 a ρ


[
a ρ2
]
 is 
 1
N −1
is 2  + 1 L bρ
i s 
 3
[
]

 i ' r1 
  jρϕ 
 M e 

i ' r 
 N

(2)
przy czym
{ };
ϑmρ = abs ϑmρ
{ }
ρα ρ = arg ϑmρ
(3)
gdzie
jρ
aρ = e
2π
3p
jρ
;
bρ = e
2π
Np
(4)
200
ir'n
ρ
= ir / K ; K
ρ
n
=
ρ
ws k ws
ρ
wr k wr
; ν sρ =
ρ
2 ws k ws
π
(5)
ρ
N – liczba faz wirnika,
ws , r – liczba zwojów stojana, wirnika,
ρ
k ws
, r – współczynnik uzwojenia stojana, wirnika dla ρ-tej harmonicznej,
p – liczba par biegunów,
ϕ – kąt położenia wirnika względem stojana.
Z porównania wzoru (2) z transformacją N-fazowego układu prądów do składowych
symetrycznych o kolejnościach od (0) do (N – 1) otrzymuje się związki pomiędzy
zespolonymi amplitudami przepływu wypadkowego dla poszczególnych harmonicznych, a
składowymi symetrycznymi prądów stojana i wirnika. Dla pierwszej i trzeciej harmonicznej
mamy
 ( 1)
N ′( 1) jpϕ 
( 1)
ϑm1 =ν s1 3  i s +
i r e  = ν s1 3 im ;
3


 0
N ( 3) j 3 pϕ 
(0 )
ϑm3 =ν s 3 3  i (s ) +
i′ r e
 = ν s 3 3 im ;
3


( 1)
im = im1
(6)
( 0)
im
= im 3
Wyrażenia występujące w nawiasach mogą być traktowane jako składowe symetryczne
prądu magnesującego im(1) , im(0 ) równe zespolonym prądom magnesującym im1 , im 3 dla
kolejnych harmonicznych przepływu. Dla silnika pierścieniowego należy przyjąć N = 3 oraz
zastąpić składową symetryczną kolejności trzeciej prądów wirnika przez składową
symetryczną kolejności zerowej.
Koenergia pola magnetycznego Eco wytwarzanego przez wszystkie prądy obwodowe
jest sumą koenergii pola głównego i pól rozproszeń. Koenergia pola głównego Em jest
dostarczana przez przepływ wypadkowy i zakłada się, że w maszynie cylindrycznej nie
zależy ona od chwilowego położenia harmonicznych przepływu, a tylko od ich amplitud i
kątów pomiędzy nimi. Zatem dla pola wytwarzanego tylko przez pierwszą i trzecią
harmoniczną przepływu jest funkcją trzech zmiennych: modułów prądu magnesującego dla
pierwszej
i trzeciej harmonicznej oraz różnicy ich argumentów. Zakładając liniowość wydzielonych
obwodów strumieni rozproszenia, można napisać:
Eco (ϕ , i1 , . . . , i N ) =
N +3
∑ 12 Lσ in2 + Em (I m1 , I m3 ,α )
n
(7)
n=1
{ }
{ }
I m1 = abs im1 ; I m3 = abs im 3
(8)
201
α = α1 − α 3 = arg { im1 }/ p − arg { im3 }/ 3 p
(9)
Lσ n – indukcyjność rozproszenia dla n-tego obwodu.
Strumienie skojarzone z uzwojeniami fazowymi są pochodną funkcji koenergii
względem prądu płynącego w tej fazie, a ich składowe symetryczne dla stojana i wirnika
w układzie związanym ze stojanem otrzymuje się po wielu przekształceniach w następującej
postaci:
1)
(1)
= ψ 'mr
= ψ (m1) =
ψ (ms
(0 )
'(0 ) j 3 pϕ
= ψ mr
e
=
ψ ms
3
2
 ∂ Em
∂ E m 1  jpα1
+j

e
p∂ α I m1 
 ∂ I m1
(10)
∂ Em
3 ∂ Em 1
im3 + im* 3 = 3
cos(3 pα 3 )
2 ∂ I m 3 I m3
∂ I m3
(
)
(11)
Powyższe wzory są słuszne przy braku składowej zerowej prądów wirnika, tzn.
0
ir0 = 0 ⇒ 3 pα 3 = arg is0 = 
π
( )
is0 ≥ 0
is0
<0
⇒ e j 3 pα = e j 3 p (α1 −α3 ) =
is0
I s0
e j 3 pα1
(12)
Otrzymane analityczne związki (10), (11) pomiędzy składowymi symetrycznymi prądów
i strumieni w maszynie o nieliniowym głównym obwodzie magnetycznym mogą być
wprowadzone do znanych równań silnika asynchronicznego dla składowych symetrycznych
kolejności pierwszej i zerowej. Podobnie określa się moment elektromagnetyczny silnika [3].
Występującą we wzorach koenergię pola magnetycznego jako funkcję trzech
zmiennych należy aproksymować szeregiem trygonometrycznym względem kąta fazowego
pomiędzy harmonicznymi, a jego współczynniki zależne od obu prądów magnesujących
szeregami potęgowymi dwóch zmiennych.
Em ( I m1 , I m3 ,α ) = Em0 (I m1 , I m3 ) + Em3 (I m1 , I m3 ) cos 3 pα +...
(13)
Wyniki obliczeń polowych globalnej koenergii dla różnych wartości prądów
magnesujących w silniku modelowym zostały przedstawione w pracy [3]. Na ich podstawie
stwierdzono, że zmiany wartości koenergii pola magnetycznego w funkcji kąta pomiędzy
harmonicznymi są na poziomie kilkuprocentowej dokładności obliczeń koenergii. Z tego
względu nie jest realne wyznaczanie strumieni w wyniku różniczkowania numerycznego tak
niedokładnie określanej punktowo funkcji dwóch zmiennych. Natomiast jej analityczna postać
jest niezbędna do prawidłowego zapisania funkcji aproksymujących strumienie skojarzone.
3. APROKSYMACJA NIELINIOWYCH CHARAKTERYSTYK UZWOJEŃ
202
Uwzględniając aproksymację koenergii szeregiem trygonometrycznym, otrzymuje się
następujące wyrażenia określające składowe symetryczne strumieni fazowych:
ψ (µ1) =
3  ∂ Em0
+

2  ∂ I m1
 1 ∂ E m3 3 Em3  is0 − j 3 pα1  1 ∂ Em3 3 Em3  is0 j 3 pα1  jα1
 0 e
 0 e
+ 
+ 
+
−
e
2
∂
I
2
p
I
2
∂
I
2
p
I
I
I
m1
m1  s
m1
m1  s



 ∂ E i 0 ∂ Em3

cos 3 pα1 + ... ;
ψ s0 = 3 m 0 s0 +
 ∂ I m3 I s ∂ I m3

ψ r0 = ψ s0 cos 3 pϕ
(14)
(15)
Gdy jeden z dwóch prądów magnesujących jest równy zero, koenergia pola
magnetycznego nie zależy od kąta α. Wtedy drugi wyraz szeregu trygonometrycznego oraz
jego pochodne zerują się
E m3 ( I m1 , 0 ) =
∂
∂ I m1
E m3 (I m1 ,0 ) = E m3 (0, I m3 ) =
∂
∂ I m3
E m 3 (0, I m1 ) = 0
(16)
Z drugiej strony pochodne pierwszego składnika szeregu muszą spełniać warunki
wynikające z założenia, że strumień kolejności pierwszej jest równy zero, gdy prąd tej
kolejności nie płynie. Podobnie jest dla składowej zerowej strumienia:
∂
∂ I m1
E m 0 (I m1 , I m3 )
=
I m1 = 0
∂
∂ I m3
E m 0 (I m1 , I m3 )
=0
(17)
I m3 = 0
Ponadto składowa zerowa prądów nie może generować składowej pierwszej strumieni, jeśli
prąd składowej pierwszej nie płynie
ψ (m1) (0,I m3 ) = 0
⇒
∂ E m3
∂ I m1
=0
(18)
I m1 = 0
Powyższe warunki redukują liczbę wyrazów w szeregach potęgowych dwóch
zmiennych aproksymujących względem modułów prądów magnesujących poszczególne
składniki szeregu trygonometrycznego koenergii. Praktycznie użyteczne wyrażenia
otrzymuje się, uwzględniając wyrazy do stopnia czwartego. Z warunku symetrii funkcji
koenergii wynika, że szeregi aproksymujące względem prądów fazowych mogą zawierać
tylko wyrazy o potęgach parzystych. W tym przypadku, gdy argumentami funkcji są
203
nieujemne moduły prądów, warunek ten jest spełniony również dla wyrazów o potęgach
nieparzystych. Dla zachowania ogólności modelu w wyprowadzonych wzorach są
uwzględnione wyrazy o potęgach parzystych.
ψ (m1) = L(m1) im(1)
(
)
0
0 2
L(m1) = B20
+ B40
I m1 +
[
(19)
(
)
0
3
3
3
+ I m3 B22
I m3 +  3B31
I m1 + 5 B22
I m3  e − j 3 p (α1 −α3 ) + − B22
I m3 e j 3 p (α1 +α3 )
ψ (m0 ) = L(m0 ) im(0 ) +
(0 )
Lm =
0
B02
+
2 3 3
8 3 2
B31 I m1 cos 3 pα1 +
B22 I m1 I m3 cos 3 pα1
3
3
0 2
B04
I m3
]
(20)
0 2
+ 2 B22
I m1
Wszystkie składniki strumienia składowej pierwszej są zależne od prądu składowej
pierwszej. Można zatem wydzielić nieliniową indukcyjność statyczną dla tej składowej,
w której wyróżnia się składnik odpowiadający harmonicznej podstawowej oraz składniki
zależne od składowej zerowej prądów odpowiadające wyższym harmonicznym. W strumieniu
składowej zerowej wyróżniają się trzy składniki: zależny od składowej zerowej prądów,
zależny tylko od składowej pierwszej prądów oraz zależny od obu składowych. Współczynniki
0
3
3
B22
, B31
, B22
wyrażają wzajemne sprzężenie pomiędzy składowymi symetrycznymi
3
występujące w warunkach nasycenia obwodu magnetycznego. Przyjęcie B22
= 0 oznacza
pominięcie wyższych harmonicznych, a wzory stają się wtedy identyczne z podawanymi we
wcześniejszych publikacjach dla symetrycznego trójfazowego uzwojenia stojana.
4. OBLICZENIA POLOWE NIELINIOWYCH CHARAKTERYSTYK
Całkowity strumień skojarzony z uzwojeniem wygodnie jest wyznaczać na podstawie
energii dostarczonej do obwodu magnetycznego przez poszczególne obwody prądowe.
Pakiety do obliczeń polowych obliczają ją dla nieliniowego obwodu magnetycznego
zlinearyzowanego w punkcie końcowym. Całkowity strumień skojarzony z uzwojeniem przy
energii obliczanej dla jednej podziałki biegunowej otrzymuje się wtedy ze wzoru:
K
k
2∑ Elinear
n
ψn = 2p
k =1
in
(21)
gdzie K oznacza liczbę żłobków należących do obwodu n. Gdy prąd w n-tym uzwojeniu jest
równy zeru, strumień można wyznaczyć na podstawie średniej wartości potencjału
204
wektorowego w żłobkach. Otrzymane wartości strumienia całkowitego były pomniejszane o
strumień rozproszenia, obliczany na podstawie indukcyjności rozproszenia wyliczonej
z pola wyznaczonego dla jednej podziałki żłobkowej. Obliczenia wykonywano dla silnika
pierścieniowego małej mocy 1,1 kW o dwóch parach biegunów. Wartości strumieni były
wyznaczane dla uzwojeń zasilanych kolejno przez składową pierwszą i zerową prądów
stojana oraz przez składową pierwszą przy niezerowej składowej zerowej. Wartości
współczynników funkcji aproksymujących wyznaczano metodą najmniejszych kwadratów z
wagami dobieranymi doświadczalnie. Otrzymaną charakterystykę magnesowania i
indukcyjność statyczną dla składowej pierwszej przedstawia rysunek 1. Funkcja
aproksymująca traci fizykalną poprawność w punkcie maksymalnym, gdzie indukcyjność
dynamiczna maleje do zera. Poszerzenie przedziału dobrej aproksymacji wymagałoby
uwzględnienia większej liczby wyrazów w szeregu potęgowym.
1.4
1.2
Psi_m1r
Psi_m1r, L_m1r
1
0.8
0.6
L_m1r
0.4
0.2
0
0
0.5
1
I_m1r
1.5
2
Rys.1. Strumień i indukcyjność statyczna dla
składowej pierwszej przy zasilaniu składową
pierwszą prądów odniesione do wartości znaFunkcje aproksymujące
mionowych.
tracą fizykalną poprawność
dla prądu większego od 1,5
Fig.1. Flux and static inductance of the positive
sequence component at the suplying by the positive
sequence component of the currents in relative valuThe approximating functions
es.
lost their physical
correctness for the current greater than 1.5
Przy zasilaniu wyłącznie składową pierwszą prądów składowa zerowa strumieni
pozostawała bliska zero nawet przy dużym nasyceniu. Z tego względu obliczenia zostały
powtórzone dla poszerzonego i zwężonego dwukrotnie jarzma stojana.
Porównanie rozkładów strumienia szczelinowego w tych przypadkach przedstawia
rysunek 2, a charakterystyki składowej zerowej strumienia rysunek 3.
205
FLUX DISTRIBUTION
0.027
0.024
A
0.021
0.018
B
0.015
C
0.012
0.09
D
0.06
0.03
0.00
0.0
π/4
π/2
Rys. 2. Rozkłady gęstości strumienia szczelinowego
przy zasilaniu stojana składową pierwszą prądów
równą prądowi biegu jałowego.
Krzywa A – materiał liniowy, jarzmo oryginalne.
Krzywa C – materiał nieliniowy, jarzmo oryginalne.
Krzywa B – materiał nieliniowy, jarzmo poszerzone
dwukrotnie.
Krzywa D – materiał nieliniowy, jarzmo zwężone
dwukrotnie
Fig. 2. The air-gap flux distributions
for stator winding supplied by the positive sequence
component of the currents. Curve A – linear material,
original yoke. Curve C – nonlinear material, original
yoke. Curve B – nonlinear material, widened yoke.
Curve D – nonlinear material, narrowed yoke
r0m+Ps
Rozkład strumienia praktycznie nie zależy od pozycji amplitudy przepływu
wypadkowego w szczelinie. Przy jarzmie oryginalnym jest on najmniej odkształcony od
sinusoidalnego, a składowa zerowa strumieni jest bliska zero. Wskazuje to na kompensację
wpływu nasycenia w strefie żłobkowej i w jarzmach na rozkład pola szczelinowego. Przy
jarzmie poszerzonym, gdy dominuje wpływ nasycenia w zębach, rozkład strumienia
szczelinowego jest wyostrzony, a rozkład indukcji spłaszczony. Składowa zerowa strumieni
ma znak dodatni dla α1 = 0. Przy jarzmie zwężonym gdy dominuje wpływ nasycenia w
jarzmie, rozkład strumienia jest spłaszczony, a indukcji wyostrzony. Składowa zerowa
3
strumieni ma znak przeciwny. Ich wartości służą do wyznaczenia współczynnika B31
.
Rys. 3. Składowa zerowa strumieni
względem składowej pierwszej prądów
dla jarzma oryginalnego (A, C)
oraz poszerzonego (B) i zwężonego D
Fig. 3. Zero sequence component of the fluxes
versus first component of the currents
at the oryginal (A, C) yoke
and widened (B) and narrowed (D) yoke
I_m1r
Z obliczeń pola wytwarzanego przez składową zerową prądów otrzymuje się
0
0
współczynniki B02
, B04
. Obliczenia wykonane dla pola wytwarzanego przez obie składowe
prądu pozwalają na wyznaczenie zależności indukcyjności dla składowej zerowej od prądu
składowej pierwszej i wyznaczenie pozostałych współczynników. Wpływ składowej
206
pierwszej prądu na zmniejszenie indukcyjności składowej zerowej jest większy od wpływu
składowej zerowej prądu. Odwrotny wpływ składowej zerowej prądu na indukcyjność
składowej pierwszej nie jest zauważalny z powodu jej znacznie większej wartości.
5. WNIOSKI
Nieliniowe związki między strumieniami skojarzonymi symetrycznych uzwojeń a ich
prądami powinny być formułowane na poziomie pierwotnej funkcji koenergii. Dla maszyny
indukcyjnej o symetrycznych wielofazowych uzwojeniach wygodnie jest je zapisać w
składowych symetrycznych i wprowadzić do znanych równań silnika, sformułowanych w
tych współrzędnych. Uwzględnienie zależności koenergii od prądu magnesującego trzeciej
harmonicznej pozwala dodatkowo modelować zjawisko występowania składowej zerowej
strumieni przy braku prądu składowej zerowej oraz efekt zmniejszenia indukcyjności dla
składowej zerowej wskutek przepływu prądu składowej pierwszej. Współczynniki szeregów
aproksymujących te związki można wyznaczać metodą modelowania pola magnetycznego
wytwarzanego przez kombinacje składowych symetrycznych prądów w uzwojeniach.
Przedziały poprawnej aproksymacji najprostszą postacią szeregów potęgowych są
ograniczone, ale obejmują realne zakresy wartości prądów.
LITERATURA
[1] DROZDOWSKI P., Saturation and space harmonics in star and delta connected squirrel cage induction
motor., Proceedings of ICEM ’94, Paris, Vol. 3, s. 93–98.
[2] SOBCZYK T., Mathematical model of induction machines accounting for saturation due to the first and
the third MMF harmonics, Proceedings of ICEM ’98, Istambul,Vol. 3/3, s. 1504–1509.
[3] WARZECHA A., Computation of co-energy function for non-linear model of wound rotor induction
motor. Czasopismo Techniczne, seria Elektrotechnika, zeszyt 4/98, Wydawnictwo Politechniki
Krakowskiej, Kraków 1998, s. 143–152.
COMPUTATION OF NON-LINEAR EFFECTS IN INDUCTION MOTOR
BASING ON THE MAGNETIC FIELD CALCULATIONS
Analytical expressions of relationships between linked fluxes and currents of all individual windings
are very important in modelling of electrical machines with saturated magnetic circuit. For induction
machines the model can operate by magnetising current of the first and the higher harmonics instead of the
circuit currents. In the paper the first and the third harmonics are taken into account. The non-linear
characteristics based on the co-energy function were approximated by power series and transformed to the
symmetrical components. The general properties of the co-energy function for a cylindrical machine were
formulated and used in calculations of the linked fluxes by FEM method. The terms of the simplest series
were calculated from the magnetic field computed for a slip ring induction motor. In result the particular
terms of the series were determined, and the saturation effects generated by the positive and zero
symmetrical components of the currents were described.