Filtry interferencyjne wąskopasmowe

Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
Laboratorium Fizyki Cienkich Warstw
Ćwiczenie 8
Filtry interferencyjne wąskopasmowe
Opracowanie:
T.Wiktorczyk, C.Wesołowska
aktualizacja, 02.02.2007
1. Cel ćwiczenia:
1) Wprowadzenie w tematykę cienkowarstwowych filtrów interferencyjnych.
2) Zapoznanie się z budową interferometru Fabry-Perota oraz cienkowarstwowych filtrów
interferencyjnych dielektrycznych i metalowych.
3) Ilościowy opis przejścia światła przez filtr interferencyjny.
4) Pomiar charakterystyk spektralnych współczynnika transmisji filtrów interferencyjnych.
5) Wyznaczenie podstawowych parametrów filtrów interferencyjnych.
1
2. Wstęp
Filtry interferencyjne są stosunkowo młodą dziedziną optyki. Do roku 1939 określony przedział widma
światła białego zazwyczaj wydzielano monochromatorami, zaś do wyodrębnienia jednej długości fali z
lampy spektralnej stosowano filtry absorpcyjne. Pierwszy metalowy filtr interferencyjny został opatentowany przez Geffeckena [1] w 1939 roku. Podczas II wojny światowej został skonstruowany filtr
interferencyjny odbiciowy dla fal radarowych. Od 1947 roku obserwuje się olbrzymi postęp w dziedzinie
filtrów interferencyjnych metalowych i dielektrycznych dla części widzialnej widma, ultrafioletu, a
także dla podczerwieni bliskiej i dalszej [2-4]
Przyczyną dużego zainteresowania filtrami interferencyjnymi są ich zalety i liczne zastosowania.
Zaletami filtrów są między innymi: (a) prostota budowy, (b) łatwość obsługi, (c) duża wydajność
świetlna w porównaniu z monochromatorem.
Zastosowanie filtrów interferencyjnych umożliwia uproszczenie wielu konstrukcji
przyrządów optycznych oraz wyeliminowanie w niektórych przyrządach lamp spektralnych. Np. w
sacharymetrze (polarymetrze) zamiast lampy sodowej można stosować oświetlacz składający
się ze źródła światła białego oraz filtru interferencyjnego dla żółtej linii sodu. Podobnie w
gładkościomierzach i mikroskopach interferencyjnych. Zastosowanie lampy spektralnej z filtrem
interferencyjnym gwarantuje lepszą, niż przy zastosowaniu filtru absorpcyjnego, czystość linii
spektralnej. Dzięki filtrom dielektrycznym astronomowie mogą rejestrować o wiele mniejsze natężenie światła niż w przypadku używania monochromatora. Filtr interferencyjny ciągły, lub komplet
filtrów interferencyjnych, w wielu badaniach zastępuje z powodzeniem monochromator.
3. Interferometr Fabry-Perota
Filtry interferencyjne wąskopasmowe są pewną odmianą interferometru Fabry-Perota (1899r).
Interferometr F-P odegrał dużą rolę w rozwoju optyki cienkich warstw. Teoria filtrów została
opracowana na bazie teorii interferometru F-P. Interferometr F-P składa się z dwóch płaskich płytek
szklanych lub kwarcowych (zwanych etalonami F-P), pokrytych jednostronnie metalową warstwą
odbijającą o wysokim współczynniku odbicia światła R oraz przepuszczalności rzędu kilku procent.
Płytki ustawia się w ten sposób, aby między powierzchniami odbijającymi znajdowała się dokładnie
płasko-równoległa warstwa powietrza, zwana warstwą rozdzielającą. Odległość płytek (grubość
warstwy rozdzielającej d) ustala się za pomocą pierścieni. Na rysunku 1 przedstawiono schemat
interferometru F-P.
Rys.1.
Schemat układu interferencyjnego Fabry-Perota
Jeżeli na taki układ pada równoległa wiązka światła spójnego i monochromatycznego, to między
powierzchniami odbijającymi ulega ona wielokrotnym odbiciom i po przejściu przez układ promienie
2
mogą ze sobą interferować. Na skutek interferencji wielopromieniowej otrzymuje się układ prążków
interferencyjnych. Rozdzielająca warstwa powietrza w interferometrze jest gruba (d ~ 1 cm),
dlatego otrzymuje się bardzo wysokie rzędy interferencji (m ~ 4×104). Dlatego też interferometr
F-P oświetlony światłem niemonochromatycznym nie daje prążków interferencyjnych. Interferometr
służy do badania subtelnej oraz nadsubtelnej struktury linii widmowych. Jeżeli badana linia widmowa
składa się z dwóch bliskich długości fal λ1 oraz λ2 każda z tych długości fal, z powodu wielokrotnych
odbić, daje swój układ prążków interferencyjnych. Nieznaczne różnice λ1 oraz λ2 powodują znaczne
przesunięcia układu prążków. Klasyczny interferometr pozwala rozdzielić długości fal λ1 oraz λ2
różniące się o 0,005Å.
Zdolność rozdzielcza interferometru F-P jest wprost proporcjonalna do rzędu interferencji
(grubości warstwy rozdzielającej), odwrotnie proporcjonalna do połówkowej szerokości prążków.
Połówkowa szerokość prążków zależy od współczynnika odbicia warstw odbijających, co wykażemy
dalej dla filtru interferencyjnego.
4. Filtry interferencyjne wąskopasmowe
Filtr interferencyjny wąskopasmowy jest zwartym i poręcznym interferometrem Fabry-Perota
wykonanym z cienkich warstw. Rolę rozdzielającej warstwy powietrza w klasycznym interferometrze
F-P spełnia warstwa dielektryczna (nieabsorpcyjna) o grubości optycznej n1·d1=m·λ0/2 dla wybranej
długości fali λ0. Znajduje się ona między dwiema warstwami odbijającymi o współczynnikach odbicia R 1
oraz R2. Metalowe filtry interferencyjne mają metalowe warstwy odbijające (najczęściej warstwy
srebra dla części widzialnej widma, glinu dla ultrafioletu). W dielektrycznych filtrach
interferencyjnych warstwy odbijające są wykonane z wielowarstwowych pokryć dielektrycznych typu
WNW (przy czym W-wysoki, N-niski współczynnik załamania, grubość optyczna każdej warstwy λ/4),
które zapewniają wysoki współczynnik odbicia w szerokim przedziale widma.
Warstwy naparowuje się kolejno w wysokiej próżni na podłoże szklane (kwarcowe lub inne) , potem
dla zabezpieczenia filtru (warstw) przykleja się drugą płytkę szklaną. Na rysunkach 2 i 3
przedstawiono schematy filtru interferencyjnego metalowego oraz dielektrycznego.
Rys. 2.
Filtr interferencyjny metalowy. R1,R2- warstwy
metalowe, n1·d1- warstwa dielektryczna
rozdzielająca (półfalowa) .
Rys. 3.
Filtr interferencyjny dielektryczny. W, N - warstwy
dielektryczne o współczynnikach załamania wyższym
(W) i niższym (N) w stosunku do współczynnika
załamania podłoża. n1·d1- warstwa dielektryczna
rozdzielająca (półfalowa).
3
Ogólnie można powiedzieć, że filtr interferencyjny stanowi cienka warstwa dielektryczna
(nieabsorbująca) znajdująca się między warstwami odbijającymi o energetycznych współczynnikach
odbicia R1 oraz R2 i energetycznych współczynnikach przepuszczalności T1 oraz T2. Energetyczne
współczynniki odbicia R1 , R2 oraz przepuszczalności T1 , T2 na powierzchniach granicznych określają
odpowiednio stosunek natężenia światła odbitego lub przechodzącego do padającego na powierzchnię
graniczną. W praktyce warstwy odbijające powinny mieć wysokie współczynniki odbicia (powyżej
90%) oraz niskie współczynniki przepuszczalności (około 5%).
Teoria wąskopasmowego filtru interferencyjnego jest teorią pojedynczej warstwy dielektrycznej o
grubości optycznej n1·d1 znajdującej się między dwoma ośrodkami odbijającymi 0,2 (rys. 4).
Powierzchnie graniczne ośrodków 0,1 oraz 1,2 można scharakteryzować za pomocą współczynników
Fresnela r1,t1 oraz r2,t2. Fresnelowskie współczynniki odbicia (r1,r2) określają stosunek odbitej
amplitudy wektora elektrycznego (Er) do amplitudy wektora pola elektrycznego (E0) dla fali padającej
na granicę ośrodków 0,1 oraz 1,2 :
E 
E 
r1 =  r  , r2 =  r 
 E0  0,1
 E 0  1, 2
(1)
Podobnie współczynniki przepuszczalności (t1,t2) określają stosunek amplitudy wektora pola
elektrycznego (Et) fali przechodzącej do amplitudy wektora (E0) dla fali padającej na granicę
ośrodków 0,1 oraz 1,2:
 E 
 E 
t1 =  t  , t 2 =  t 
 E 0  0,1
 E 0  1, 2
(2)
W przypadku gdy ośrodki 0 oraz 2 są ośrodkami dielektrycznymi bez absorpcji (np. wielowarstwowy
układ dielektryczny w filtrze dielektrycznym), współczynniki Fresnela są rzeczywiste i przy odbiciu
występuje zmiana fazy 0 lub π, w zależności od tego czy odbicie następuje od ośrodka optycznie
rzadszego czy gęstszego. W przypadku gdy ośrodki 0 oraz 2 są ośrodkami absorbującymi (warstwy
metaliczne) współczynniki Fresnela są wielkościami zespolonymi, a zmiana fazy na powierzchniach
granicznych wynosi ε1 oraz ε2 i jest różna od 0 oraz π. Ponadto należy jeszcze uwzględnić przesunięcie fazy β1 na grubości optycznej warstwy dielektrycznej. To przesunięcie fazy zwane często
grubością fazową warstwy β1 określa wzór:
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d 1
β1=
cos ϕ 1
(3)
λ
w którym: n1·d1-grubość optyczna warstwy dielektrycznej, λ-długość fali,φ1-kąt załamania w warstwie.
Jeżeli na układ z cienką warstwą (rys.4) pada równoległa wiązka promieni, to ulega ona wielokrotnym
odbiciom na powierzchniach granicznych i należy zsumować wiązki wielokrotnie odbite i
przechodzące. Wypadkowy współczynnik przepuszczalności Fresnela przez układ dla promieni 1, 2, 3
określa wzór:
t = t1 ⋅ t 2 ⋅ e − iβ 1 − t1 ⋅ t 2 ⋅ r1 ⋅ r2 ⋅ e i (ε 1 + ε 2 − 3 β 1 ) + t1 ⋅ t 2 ⋅ r12 ⋅ r22 ⋅ e i ( 2ε 1 + 2ε 2 + 5 β 1 ) ⋅ ⋅ ⋅
(4)
Jak widać wypadkowy współczynnik Fresnela jest wyrażony postępem geometrycznym, którego sumę
określa równanie (3). Wypadkowy współczynnik Fresnela takiego układu jest wielkością zespoloną.
t1 ⋅ t 2 ⋅ e −iβ1
t =
1 + r1 ⋅ r2 ⋅ e i (ε1 +ε2 −2β2 )
(5)
Z pomiarów optycznych zwykle otrzymuje się energetyczny współczynnik transmisji
(przepuszczalności).
Energetyczny współczynnik przepuszczalności układu, zwany w skrócie
4
przepuszczalnością filtru Tf, określa stosunek natężenia światła przechodzącego przez filtr (IT) do
natężenia światła padającego na filtr (I0):
Tf =
IT
I0
(6)
Związki między współczynnikami Fresnela: r1, r2, t1 ,t2 , zwanymi czasem amplitudowymi
współczynnikami, a energetycznymi współczynnikami: R1 , R2 , T1 , T2 są następujące [5]:
2
R1 = r1 = r1 ⋅ r1* ,
2
R2 = r2 = r2 ⋅ r2* , T1 =
n1 2 n1
t1 =
t1 ⋅ t1* ,
n0
n0
T2 =
n2 2 n2
t2 =
t 2 ⋅ t 2*
n1
n1
Podobnie związek między amplitudowym współczynnikiem transmisji
energetycznym współczynnikiem transmisji wyrażony jest relacją (8):
Tf =
n2
t
n0
2
=
całego
filtru,
n2
⋅ t ⋅ t*
n0
(7)
a
jego
(8)
Korzystając ze wzoru (5) otrzymujemy:
n
t1 ⋅ t 2 ⋅ e − iβ 1
t1* ⋅ t 2* ⋅ e iβ 1
Tf = 2 ⋅
⋅
=
n0 1 + r1 ⋅ r2 ⋅ e i (ε 1 + ε 2 − 2 β 1 ) 1 + r1* ⋅ r2* ⋅ e − i (ε 1 + ε 2 − 2 β 1 )
=
n2
(t1 ⋅ t1* ) ⋅ (t 2 ⋅ t 2* )
⋅
=
i (ε 1+ ε 2 − 2 β 1 )
n0 1 + r1 ⋅ r2 ⋅ e
+ r1* ⋅ r2* ⋅ e − i (ε 1 + ε 2 − β 1 ) + (r1 ⋅ r1* ) ⋅ (r2 ⋅ r2* )
T1 ⋅ T2
=
=
1 + R1 ⋅ R2 + 2 R1 ⋅ R2 cos(ε 1 + ε 2 − 2 β 1 ) (1 −
R1 ⋅ R2 ) 2 + 2 ⋅
(9)
T1 ⋅ T2
R1 ⋅ R2 [1 + cos(ε 1 + ε 2 − 2 β 1 )]
Rys.4
Warstwa dielektryczna o współczynniku załamania n1, grubości d1 między ośrodkami
o współczynnikach n0, n2. Fresnelowskie współczynniki odbicia i przepuszczalności na
powierzchniach granicznych oznaczono przez r1,t1 oraz r2,t2 .
5
Wobec tego energetyczny współczynnik transmisji filtru wynosi:
Tf =
(1 −
T1 ⋅ T2
R1 ⋅ R2
)
2
⋅
1
1 + F ⋅ sin 2
(10)
y
2
przy czym parametr F (zwany współczynnikiem finezji) wynosi:
F=
4 ⋅ R1 ⋅ R2
(1 −
R1 ⋅ R2
)
(10a)
2
Natomiast czynnik fazowy y/2 jest określony zależnością:
y ε1+ ε
=
2
2
2
− β1 =
ε1+ ε
2
2
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d1
cos ϕ 1
λ
−
(10b)
Jak widać ze wzoru przepuszczalność filtru zależy od wielkości: R1 , R2 , T1 , T2 , φ, ε1, ε2, n1 , d1 , λ.
Przepuszczalność filtru zależy od długości fali padającego światła λ przede wszystkim
poprzez czynnik fazowy y oraz współczynniki R1 , R2 , T1 , T2 .
Dla danych wartości R1 , R2 , T1 , T2 przepuszczalność filtru Tf jest periodyczną funkcją
czynnika fazowego y. Czynnik fazowy y zależy zaś od grubości fazowej warstwy
rozdzielającej β1 oraz przesunięć fazowych ε1, ε2 na granicy warstwa dielektryczna - warstwy odbijające. Jeżeli na filtr pada światło białe to filtr prze puści szereg pasm
(prążków) odpowiadających różnym rzędom interferencji. Zazwyczaj wykorzystuje się jedno
pasmo, inne zaś obcina się za pomocą odpowiednio dobranego filtru absorpcyjnego.
Aby otrzymać wielkości charakteryzujące filtr interferencyjny tzn. λmax, Tmax, połówkową szerokość
Δλ1/2 i inne (patrz rozdział 5) należy przeprowadzić analizę wzoru (10).
Maksymalna przepuszczalność filtru będzie występować dla długości fali λ max, dla której
sin2(y/2)=0. Będzie to spełnione wówczas, gdy
ε 1 + ε 2 2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d1
−
cos ϕ 1 = m ⋅ π
2
λ max
Wówczas:
T f max =
T1 ⋅ T2
(1 −
R1 ⋅ R1 )
2
przy czym
(11a)
m=0, ±1,±2,±3.
λ max =
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d1 ⋅ cos ϕ 1
m + ε 12+⋅πε 2
(11)
(11b)
Wzór (10) jest wzorem ogólnym dla filtrów interferencyjnych zarówno metalowych jak i
dielektrycznych. Można go zapisać w prostszej postaci, zakładając, że warstwy odbijające mają
takie same właściwości optyczne, tzn.: : T1=T2=T, R1=R2=R, ε1=ε2=ε. Otrzymuje się wówczas klasyczną
postać (zwaną sumą Airy'ego) na przepuszczalność filtru w funkcji długości fali λ:
Tf =
T2
1
⋅
2
(1 − R ) 1 + F ⋅ sin 2
(12)
y
2
przy czym:
4R
(1 − R ) 2
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d1
y
= ε −
cos ϕ 1
2
λ
F=
(12a)
(12b)
R,T są energetycznymi współczynnikami odbicia i przepuszczalności pojedynczej warstwy odbijającej.
6
5. Wielkości charakteryzujące filtr interferencyjny
Przeprowadzimy analizę wzorów (12), (12a) i (12b), aby otrzymać wielkości charakteryzujące filtr
interferencyjny zarówno metalowy jak i dielektryczny zakładając, że na filtr pada prostopadła
wiązka światła niemonochromatycznego (φ0=0 oraz kąt załamania w warstwie φ1=0 ).
W filtrach interferencyjnych metalowych absorpcja A≠0, natomiast dla filtrów
dielektrycznych przyjmuje się absorpcję A=0. Przy odbiciu światła na granicy warstwa
rozdzielająca/warstwa odbijająca metaliczna skok fazy światła wynosi ε, przy czym 0<ε< π. W
przypadku filtrów dielektrycznych skok fazy ε przyjmuje się zero lub π .
Wyznaczmy parametry charakterystyczne dla takiego filtru.
5.1
λmax , czyli długość fali, dla której przepuszczalność fil tru jest największa
tzn. wynosi Tfmax.
Ze wzoru (12) widać, ze Tfmax będzie kiedy sin2(y/2)=0, czyli
ε −
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d1
cos ϕ 1 = m ⋅ π ,
λ
przy czym m=0, ±1, ±2, ±3, ±4... Zgodnie z założeniem φ1=0. Względy fizyczne (0<ε< π)
wymagają ponadto przyjęcie założenia, że:
ε −
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d1
= − m ⋅ π , gdzie m=0, 1, 2, 3, 4...
λ max
Wobec tego długość fali, dla której przepuszczalność filtru jest największa wynosi:
λ max =
2 ⋅ n1 ⋅ d1
m + πε
(13)
Jak widać ze wzoru (13) dla danej grubości optycznej warstwy rozdzielającej n1d1, filtr
może mieć kilka λmax odpowiadających różnym rzędom interferencji m. Ponadto widać, że
jeżeli chcemy aby filtr przepuszczał pasmo dla wybranej długości λ0 -λmax , warstwa
dielektryczna rozdzielająca musi mieć grubość optyczną n1d1 równą całkowitej wielokrotności
λ/2.
Dlatego
często
warstwę
rozdzielającą
nazywa
się
warstwą
półfalową.
Pojedyncze filtry interferencyjne, które omawiamy, mają jedną warstwę półfalową.
Podwójny filtr interferencyjny, zwany w literaturze DHW (double–half-wave) – podwójnym
układem półfalowym, ma dwie warstwy półfalowe oddzielone od siebie warstwą (lub układem
warstw) o wysokim współczynniku odbicia R. Obecnie konstruuje się także filtry wielopółfalowe.
W tych przypadkach współczynniki odbicia R 1 oraz R g są różne na jednej i drugiej stronie
pierwszej warstwy półfalowej i dlatego analizując własności podwójnych i wielopółfalowych
filtrów należy korzystać z ogólnego wzoru (10).
Jak wspomniano wyżej, skok fazy ε przy odbiciu światła od zwierciadeł dielektrycznych wynosi
zero lub π. W przypadku zwierciadeł metalicznych skok fazy przy odbiciu można obliczyć, znając
stałe optyczne warstwy metalowej oraz n1, ze wzoru (14):
ε = arctg
2 ⋅ n1 ⋅ k met
2
2
n − n met
− k met
(14)
2
1
w którym: nmet - część rzeczywista współczynnika załamania metalu, kmet - część urojona
współczynnika załamania metalu.
Analizując wzór (13) widać, że
dla danej grubości optycznej warstwy n1 d1 skok fazy ε
powoduje przesunięcie λmax
w stronę fal krótszych
w stosunku do filtru
dielektrycznego, kiedy ε=0.
7
5.2
Tfmax - maksymalna przepuszczalność filtru dla λmax
Z wyrażenia (12) otrzymujemy wzór na Tfmax :
T f max =
T2
(1 − R ) 2
(15)
Ponieważ warstwy odbijające w filtrze metalowym są absorbujące, to zgodnie z prawem
zachowania energii mamy:
R+ T + A= 1
(16)
przy czym A jest energetycznym współczynnikiem absorpcji warstwy.
Na podstawie wzorów (15 i (16) otrzymujemy:
T f max =
T2
T2
1
=
=
2
2
(1 + TA )
(1 − R)
(T + A)
(17)
Ze wzoru (17) widać, że dla filtrów metalowych maksymalna przepuszczalność filtru jest tym
mniejsza, im większa jest absorpcja. Ilustruje to rysunek 5, na którym przedstawiono T f=f(λλmax) dla różnych wartości R, T, A.
W przypadku filtrów interferencyjnych dielektrycznych A=0 i na podstawie zasady zachowania
energii dla warstw odbijających bezabsorpcyjnych spełniony jest związek T + R = 1. Ze
wzoru (17) otrzymujemy że Tfmax=1, tzn. teoretyczna maksymalna przepuszczalność filtru
dla A=0 wynosić powinna 100%. W praktyce dla filtrów dielektrycznych Tfmax<100%,
ponieważ występują straty energii związane z rozpraszaniem światła w wielowarstwowych
pokryciach dielektrycznych, które tworzą warstwę odbijającą. Charakterystyki spektralne
współczynnika przepuszczalności filtrów dielektrycznych pokazano na rys.6.
Rys.6
Przepuszczalność filtru interferencyjnego
dielektrycznego dla różnych wartości współczynnika
odbicia R układu warstw dielektrycznych.
Rys.5
Przepuszczalność filtru metalowego dla różnych wartości
współczynnika odbicia R i transmisji T warstw
metalowych..
5.3
Tfmin - minimalna przepuszczalność filtru
Tfmin występuje dla λmin , wówczas, gdy we wzorze (8) sin2(y/2)=1, czyli:
T f min =
T2
(1 + R ) 2
(18)
8
5.4
Współczynnik kontrastu (contrast factor)
Współczynnik kontrastu C, zwany czasem kontrastowością prążków,
następująco:
C=
T f max
T f min
=
zdefiniowany
(1 + R) 2
(1 − R) 2
jest
(19)
Jak widać ze wzoru (19) kontrast zależy jedynie od współczynnika odbicia R. W przypadku
filtrów metalowych współczynnik kontrastu nie zależy więc od absorpcji w warstwie
metalowej.
5.5
Połówkowa szerokość filtru Δλ1/2
Połówkową szerokością filtru Δλ1/2 nazywamy szerokość przepuszczonego przedziału długości
fal, dla którego przepuszczalność równa jest połowie przepuszczalności w szczycie
prążka, tzn. Tf(λmax ±Δλ)=½Tfmax. Na podstawie wzorów (7, 7a,7c) otrzymujemy:
T f ( λ ) = T f max ⋅
1
1 + F ⋅ sin 2 δ
(20)
przy czym czynnik fazowy δ wynosi:
δ =
y
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d 1
dla filtrów metalowych oraz δ =
dla
2
λ
filtrów dielektrycznych.
Dla zmiany fazy Δδ spełniającej warunek Tf(λmax ±Δλ)=½Tfmax , ze wzoru (20) otrzymamy:
1
1
⋅ T f max = T f max ⋅
,
2
1 + F ⋅ sin 2 (∆ δ )
(21)
Jeżeli zmiana fazy Δδ jest dostatecznie mała, to sin2(Δδ) można zastąpić przez (Δδ)2, czyli
1
1
=
2 1 + F ⋅ (∆ δ ) 2
∆δ =
Stąd mamy:
1
F
=
(21a)
1− R
(21b)
2⋅ R
Zmiana fazy odpowiadająca połówkowej szerokości filtru interferencyjnego wynosi więc:
2⋅ ∆ δ =
1− R
(21c)
2⋅ R
W przypadku filtrów interferencyjnych chcemy wyrazić połówkową szerokość nie przez zmianę
fazy 2|Δδ|, ale przez przedział długości fal Δλ1/2 odpowiadającej tej zmianie fazy:
2 ⋅ π ⋅ n1 ⋅ d1 ⋅ (∆ λ )
λ2
Z tego wyrażenia obliczyć można ∆ λ 1 / 2 = 2 ⋅ ∆ λ :
∆δ =
∆ λ 1/ 2 =
λ max ⋅ (1 − R )
(21d)
(22)
m⋅π ⋅ R
Jak widać ze wzoru (22) połówkowa szerokość filtru Δλ1/2 zależy od współczynnika odbicia R
oraz od rzędu interferencji m. Im większy R oraz większy rząd interferencji, tym mniejsza
połówkowa szerokość filtru.
9
Często dla filtrów interferencyjnych, oprócz połówkowej szerokości Δλ1/2 , podaje się
jeszcze szerokość przedziału długości fal Δλ0,1, dla którego przepuszczalność filtru Tf równa
jest 0,1 przepuszczalności w szczycie prążka: Tf0,1=0,1Tfmax. Związek Δλ0,1 z połówkową
szerokością określa wzór:
∆ λ 0,1 = 3 ⋅ ∆ λ 1 / 2
(23)
6. Zależność przepuszczonego przez filtr interferencyjny pasma od kąta padania
światła
Dotychczas omówiono wielkości charakteryzujące filtry wąskopasmowe zakładając, że na
filtr pada prostopadle równoległa wiąz k a ś w i a t ł a (φ0=0 oraz φ1=0 ). P o d a n e w m e t r y c z c e
f i l t r u Tfmax oraz Δλ1/2 dotyczą przejścia równoległych wiązek światła padających
normalnie na filtr. W przypadku padania na filtr wiązek skośnych (φ0≠0) wielkości te
zmieniają się. Pokażemy, że dla wiązek skośnych następuje przesunięcie λmax w s t ro nę
f al k ró t s z y c h . D la p rą ż k a m - t e go r z ę d u z al e ż n o ś ć λmax od kąta załamania określona jest
wzorem:
2 ⋅ n1 ⋅ d1
cosϕ 1
m + πε
λ max (ϕ 1 ) =
(24)
Ponieważ cos(φ1)≤1, a więc widać, że: λmax(φ1)< λmax(φ1=0). Korzystając z prawa Snelliusa możemy
napisać: n0 ⋅ sin ϕ
0
= n1 ⋅ sin ϕ 1 , przy czym dla małych kątów ϕ 1 ≈
ϕ0
n1
Wielkości n0, n1, φ0 oraz φ1
oznaczają odpowiednio współczynniki załamania światła oraz kąt padania światła w powietrzu oraz w
warstwie dielektrycznej. Wobec tego zależność λmax od kąta padania światła określona jest
następująco:
λ max (ϕ 0 ) =
ϕ 
2 ⋅ n1 ⋅ d 1
cos 0 
ε
m+ π
 n1 
Rozwijając w szereg
λ max (ϕ 0 ) =
cos(φ0/n 1)
2 ⋅ n1 ⋅ d 1 
1 ϕ
⋅  1 − ⋅  0
ε
m+ π
2  n1




2
(25)
i ograniczając się do wyrażeń drugiego rzędu otrzymamy:


1 ϕ
 = λ max (ϕ 0 = 0)  1 − ⋅  0
2  n1





2



(26)
Na tej podstawie określić można przesunięcie maksimum m-tego rzędu Δλ= λmax(φ0) -λmax(φ0=0)
dla małych kątów padania:
∆ λ = λ max (ϕ 0 = 0) − λ max (ϕ 0 ) =
λ max (ϕ 0 = 0)
⋅ (ϕ 0 ) 2
2
2 ⋅ n1
(27)
Przesunięcie λmax dla małych kątów φ0 można wykorzystać w praktyce, jeżeli λmax filtru nie
pokrywa się dokładnie z potrzebną długością fali. Jak wspomniano, wzory (26) i (27) są
słuszne jedynie dla małych kątów padania φ0. W przypadku filtrów metalowych przy dużych kątach
padania φ0 , oprócz przesunięcia λmax w stronę fal krótszych, następuje znaczne rozszerzenie się
przepuszczonego pasma (wzrost Δλ1/2), a następnie dla φ0> 40° powstają dwa przepuszczone
pasma oddalone od siebie i spolaryzowane w płaszczyznach prostopadłych do siebie.
Duża wrażliwość filtrów metalowych na skośne wiązki światła wymaga bardzo często ograniczenia
apertury wiązki. Filtry dielektryczne są o wiele mniej wrażliwe na światło skośne.
10
7. Przebieg ćwiczenia
7.1 Dla określonego przedziału widma wykonać pomiary współczynnika przepuszczalności Tf(λ)
cienkowarstwowego filtru metalowego względem powietrza.
7.2 Powtórzyć pomiary charakterystyk Tf(λ)
(a)-zagęszczając pomiary (krokiem, co 2nm) w obszarze obserwowanych pików (w przypadku
pomiarów na spektrofotometrze ”ręcznym”)
(b)-zmieniając skalę długości fal tak, aby wyeksponować obserwowane piki przepuszczalności
(w przypadku pomiarów na spektrofotometrze z automatycznym zapisem).
7.3 Dla wybranego maksimum /maksimów/ - wykonać pomiary Tf(λ) dla różnych kątów padania φ0.
8. Opracowanie wyników
(a)-wykonać wykresy Tf(λ) dla badanego filtru,
(b)-wyznaczyć podstawowe parametry charakterystyczne dla filtru: Tfmax, λmax, Δλ1/2,- dla
obserwowanych pików,
(c)-wyznaczyć rzędy interferencji i przypisać je obserwowanym pikom
(d)- wyznaczyć grubość optyczną warstwy rozdzielającej,
(e)- wyznaczyć Tfmin i współczynnik kontrastu dla poszczególnych maksimów przepuszczalności,
(f)-obliczyć energetyczne współczynniki optyczne R, T, A warstw odbijających,
(g)-obliczyć współczynnik finezji prążków F .
(h)- Na postawie zmierzonych charakterystyk kątowych Tf(φ0) przedstawić Δλ=λmax(φ0) -λmax
(φ0=0) w postaci wykresu: Δλ=f(φ0)2. Na podstawie tego wykresu wyznaczyć współczynnik
załamania warstwy rozdzielającej n1 filtru,
(i)-wyznaczyć skok fazy światła (ε) przy odbiciu od metalu.
Literatura
[1] W. Geffecken, Deutsches Reich Patentschrift 716153, Interferenzlichtfilter, 1939.
[2] H.A. Macleod, Thin-film Optical Filters, 3-rd edition, Institute of Physics Publishing, Bristol
2001, rozdział 1.2 i 5.1.
[3] H.A. Macleod, Thin Film Optical Devices, rozdział 8 książki: T.J.Couts, Active and Passive Thin Film
Devices, Acad. Press 1978.
[4] H. Bach, D. Krause, Thin Films on Glass, rozdział 6.1: The Principle of Interference Filters,
Springer-Verlag, Berlin 1997.
[5] E. Idczak, Własności Optyczne Cienkich Warstw Metali, rodział 4 książki: W. Romanowski,
Cienkie Warstwy Metaliczne, PWN 1974.
11