Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski
Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
KOLOKWIUM nr
52, 14.03.2016, godz. 14.15-15.00
53.
Zadanie
(10 punktów)
Wyrazić całkę nieoznaczoną
In (x) =
Z
√
xn · sin x dx
za pomocą In−1 (x).
Rozwiązanie:
Przyjęcie we wzorach
Z
oraz
Z
funkcji f (x) =
√
oraz
f 0 (x) · sinf (x) dx = −cosf (x) + C
f 0 (x) · cosf (x) dx = sinf (x) + C
x prowadzi odpowiednio do
√
Z
√
sin x
√ dx = −cos x + C
2 x
√
Z
√
cos x
√ dx = sin x + C .
2 x
W oparciu o powyższe wzory wykonujemy dwukrotnie całkowanie przez części (różniczkując pierwszy czynnik i całkując drugi):
√
Z
Z
√
n
n+1/2 sin x
In (x) = x · sin x dx = 2 · x
· √ dx =
2 x
Z
√
√ 1
= 2 · xn+1/2 · −cos x − 2 ·
n+
· xn−1/2 · −cos x dx =
2
Z
√
√
n+1/2
= −2 · x
· cos x + (2n + 1) · xn−1/2 · cos x dx =
√
Z
√
n+1/2
n cos x
= −2 · x
· cos x + 2 · (2n + 1) · x · √ dx =
2 x
Z
√
√
√
= −2 · xn+1/2 · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2 · (2n + 1) · n · xn−1 · sin x dx =
√
√
= −2 · xn+1/2 · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2n · (2n + 1) · In−1 (x) .
Odpowiedź:
√
√
In (x) = −2 · xn+1/2 · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2n · (2n + 1) · In−1 (x) =
√
√
√
= −2 · xn · x · cos x + 2 · (2n + 1) · xn · sin x − 2n · (2n + 1) · In−1 (x) .
Kolokwium 52
-1-
Odpowiedzi i rozwiązania
Jarosław Wróblewski
Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
54.
Zadanie
(13 punktów)
Obliczyć całkę nieoznaczoną
Z
x·
√
5
dx
x5 + 2x4 + x3
.
Rozwiązanie:
Przepisujemy daną całkę w postaci
Z
Z
Z
dx
dx
dx
q
r
√
=
=
2
5 5
x · x + 2x4 + x3
x · 5 x3 · (x + 1)2
x2 · 5 x+1
x
i wykonujemy podstawienie
s
t=
5
x+1
,
x
czyli
1
,
x
1
t5 − 1 =
x
t5 = 1 +
oraz formalnie
5t4 dt = −
Otrzymujemy
Z
dx
r
x2 · 5
x+1
x
2
=−
Z
dx
.
x2
Z
Z
−dx
1
5 · t3
4
2
r
·
=
−
·
5t
dt
=
−5
·
t
dt
=
−
+C =
x2
t2
3
5 x+1 2
1
x
s
3
5
5 x+1
= − ·
+C .
3
x
Odpowiedź:
Z
x·
Kolokwium 52
√
5
dx
5 x+1
=− ·
5
4
3
3
x
x + 2x + x
-2-
3/5
+C .
Odpowiedzi i rozwiązania