MODEL OBSERWATORA ZMIENNYCH STANU DLA UKŁADU Z

Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Nr 63
Politechniki Wrocławskiej
Nr 63
Studia i Materiały
Nr 29
2009
układ dwumasowy, nieliniowość wału
estymacja, obserwator Luenbergera
Krzysztof SZABAT*
MODEL OBSERWATORA ZMIENNYCH STANU
DLA UKŁADU Z NIELINIOWYM WAŁEM MECHANICZNYM
W pracy przestawiono model nieliniowego obserwatora Luenbergera przeznaczonego do estymacji zmiennych stanu układu dwumasowego z różnym typem nieliniowości sprzęgła mechanicznego.
Po krótkim przeglądzie literatury przedstawiono model matematyczny obiektu badań. Kolejno opisano podstawowe typy nieliniowości mogące wystąpić w sprzęgle mechanicznym. Następie zaprezentowano sposób projektowania nieliniowego obserwatora Luenbergera. Poprawność rozważań teoretycznych potwierdzono przez badania symulacyjne.
1. WSTĘP
W przypadku realizacji bardziej złożonych struktur sterowania konieczna jest informacja o niedostępnych zmiennych stanu układu dwumasowego. Nie w każdym
przypadku możliwe jest korzystanie z czujników pomiarowych. Pomiar momentu
skrętnego jest kłopotliwy, gdyż wymaga zainstalowania drogiego czujnika pomiędzy
silnikiem i maszyną roboczą. Z kolei zamocowanie czujnika prędkości maszyny roboczej może być w niektórych przypadkach trudne do zrealizowania. Moment obciążenia jest w układach praktycznych właściwie niemierzalny. Dodatkowo, zastosowanie
czujników mechanicznych powoduje wzrost ceny wykonania napędu, jak również
prowadzi do zwiększenia jego awaryjności. Z tego powodu zostały rozwinięte metody
odtwarzania zmiennych stanu układów dynamicznych.
Klasyczną metodą odtwarzania niemierzalnych zmiennych stanu układu napędowego z połączeniem sprężystym jest obserwator Luenbergera. Ze względu na łatwość
implementacji praktycznej jest to metoda często wykorzystywana. Estymator ten
_________
* Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, ul. Smoluchowskiego 19, 50-370 Wrocław, e-mail: [email protected]
356
bazuje na modelu matematycznym obserwowanego obiektu. Dobór elementów macierzy wzmocnień (tzw. macierzy wagowej) najczęściej realizuje się w sposób analityczny [1]–[3]. Zaleca się, aby szybkość obserwatora była od 2–5 razy większa od dynamiki obserwowanego obiektu [4]. Z jednej strony wzrost dynamiki obserwatora
powoduje jego większą odporność na niedokładności wyznaczenia parametrów modelu matematycznego; powstające błędy dynamiczne są szybciej eliminowane przez
sprzężenia korekcyjne. Z drugiej strony szumy pomiarowe występujące w układzie
rzeczywistym są bardziej wzmacniane, co może być przyczyną wystąpienia oscylacji
wysokoczęstotliwościowych w estymowanych sygnałach niemierzalnych zmiennych
stanu [5].
Filtr Kalmana jako narzędzie estymacji zmiennych stanu, w porównaniu do obserwatora Luenbergera, jest bardziej odporny zarówno na niedokładności pomiaru
zmiennych jak i zmiany parametrów obiektu [6]–[7]. Wynika to z jego modelu matematycznego uwzględniającego w swojej postaci zakłócenia pomiarowe i parametryczne. Wadą filtru Kalmana jest jego skomplikowany algorytm numeryczny (w porównaniu z obserwatorem Luenbergera), wymagający zastosowania w realizacji praktycznej
bardziej efektywnego (droższego) procesora. Kolejną trudnością jest optymalny dobór
elementów macierzy kowariancji błędów filtru. Wartość macierzy kowariancji zakłóceń sygnałów wejściowych odpowiada wartości kowariancji błędu szumu pomiarowego. Jej wyznaczenie możliwe jest przez analizę zaszumienia sygnałów wejściowych
filtru Kalmana. Znacznie trudniejszy jest dobór elementów macierzy kowariancji zakłóceń zmiennych stanu. Generalnie ich wartości związane są z zakłóceniami parametrycznymi modelu obiektu (niedokładności wyznaczenia czy też zmiana parametrów
obiektu w czasie pracy, pominięcie w modelu matematycznym dodatkowych elementów np. tarcia), które powinny być znane.
W ostatnich latach można zauważyć wzrost liczby wdrożeń sztucznych sieci
neuronowych w różnych procesach przemysłowych, w tym również w napędzie
elektrycznym. Jako główne zalety sieci neuronowych wymienia się zdolność uczenia, odwzorowywania nieliniowych charakterystyk, adaptacji i generalizacji niepełnych bądź zakłóconych danych. Dodatkową zaletą sieci neuronowych jest równoległe przetwarzanie sygnałów, co może przyspieszyć wykonanie algorytmu
estymacji w układzie rzeczywistym, zwłaszcza w przypadku zastosowania matrycy
FPGA do realizacji struktur sterowania. W przypadku układu wielomasowego niewiele jest prac przedstawiających estymację niedostępnych zmiennych stanu za
pomocą sieci neuronowych [8]. Przeważnie sieć neuronowa odwzorowuje jedynie
charakterystykę elementów nieliniowych, takich jak tarcie czy luz [9]. Metody te
są w fazie rozwoju.
W literaturze istnieje niewiele prac przedstawiających estymatory zmiennych
stanu układu dwumasowego w obecności nieliniowości mechanicznych typu luz,
histereza mechaniczna itp. [10]–[12]. Przeważnie zakłada się niewielki wpływ tych
nieliniowości na estymację zmiennych stanu i nie uwzględnia się ich w procesie
357
projektowania estymatora. Podejście to możliwe jest do zastosowania w układach
o słabo zaznaczonych nieliniowościach. W przypadku zakresu pracy, gdzie istnieje
duży wpływ elementów nieliniowych, konieczne jest ich uwzględnienie w modelu
matematycznym estymatora. W pracach [10]–[11] zaproponowano model nieliniowego estymatora Luenbergera do estymacji zmiennych stanu układu napędowego
z luzem mechanicznym. Jako sygnał wyjściowy estymatora przyjęto położenie maszyny roboczej. Podejście to wymaga posiadania czujnika położenia zamontowanego po stronie maszyny roboczej który rzadko jest dostępny w układach rzeczywistych. Estymacje zmiennych stanu układu dwumasowego w oparciu o teorię
układów hybrydowych przedstawiono w [12]. Przedstawione podejście wymaga
posiadania dwóch czujników położenia zarówno po stronie maszyny roboczej, jak
i silnika napędowego.
W referacie przedstawiono model obserwatora Luenbergera przeznaczonego do
estymacji zmiennych stanu układu napędowego z nieliniowością wału mechanicznego. Ze względu na zastosowany opis matematyczny przeznaczony jest on do
stosowania w układzie o różnym typie nieliniowości mechanicznej. W odróżnieniu
od [10] założono dostępność sygnału położenia wału silnika napędowego. Dodatkowo rozszerzono wektor stanu o niemierzalny moment obciążenia. Przedstawiono
wybrane badania symulacyjne obrazujące jakość pracy opracowanego estymatora.
2. MODEL MATEMATYCZNY OBIEKTU BADAŃ
W pracy wykorzystano model układu dwumasowego z bezinercyjnym połączeniem
sprężystym. W modelu tym występujący moment bezwładności sprzęgła dzieli się po
połowie i dodaje do momentów bezwładności silnika napędowego i maszyny roboczej. Przeważnie zakłada się również wartość współczynnika tarcia wewnętrznego
równą zero. Ponieważ nieliniowość sprzęgła mechanicznego zależy od kąta skręcenia
wału, w pracy wykorzystano model wyrażony w jednostkach względnych:
⎡
0
⎡ω1 ⎤ ⎢
⎢
⎢ ⎥
d ⎢ω2 ⎥ ⎢
= 0
dt ⎢α1 ⎥ ⎢
⎢ ⎥ ⎢1
⎣α 2 ⎦ ⎢
⎢⎣0
−1
TcT1
1
0 ϕ (α1 − α 2 )
TcT2
0
0
0 ϕ (α1 − α 2 )
1
0
1 ⎤
⎡1
⎥
⎢T
ω
⎡
⎤
1
TcT1
⎥⎢ ⎥ ⎢ 1
− 1 ⎥ ⎢ω2 ⎥ ⎢
ϕ (α1 − α 2 )
+ 0
TcT2 ⎥ ⎢α1 ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ 0
0
⎥ ⎣α 2 ⎦ ⎢
⎥⎦
⎢⎣ 0
0
ϕ (α1 − α 2 )
⎤
0 ⎥
⎥
− 1 ⎥ ⎡ me ⎤
,
T2 ⎥ ⎢⎣mL ⎥⎦
0 ⎥
⎥
0 ⎥⎦
(1)
gdzie: me – moment elektromagnetyczny, ω1 – prędkość silnika, ω2 – prędkość maszyny obciążającej, mL – moment obciążenia, α1 –kąt położenia wału silnika napędowego,
α2 – kąt położenia wału maszyny roboczej, ϕ(α1 − α2) – funkcja opisująca charakterystykę wału mechanicznego łączącego silnik z maszyną roboczą, T1 – mechaniczna stała
358
czasowa silnika, T2 – mechaniczna stała czasowa maszyny obciążającej, Tc – stała
czasowa elementu sprężystego. Schemat blokowy układu napędowego odpowiadający
równaniu 1 przedstawiono na rys. 1.
me
1
sT1
ω1
1
sT2
α1
1
Tc
ϕ (α1 − α 2 )
mL
1
s
ω2
1
s
α2
Rys. 1. Schemat blokowy układu dwumasowego z nieliniowym wałem
Fig. 1. The block diagram of the two-mass system with nonlinear shaft
W analizie układów napędowych z połączeniem sprężystym przeważnie zakłada
się że wał mechaniczny posiada charakterystykę liniową. W wielu przypadkach
założenie to jest słuszne i nie powoduje zauważalnego pogorszenia właściwości
dynamicznych sterowanego układu. Jednakże w przypadku bardzo precyzyjnego
układu napędowego uproszczenie to może spowodować powstanie oscylacji
wszystkich zmiennych stanu. W określonych warunkach może również prowadzić
do utraty stabilności całej struktury sterowania. W literaturze można znaleźć różne
modele nieliniowości mechanicznych wału. Do najbardziej rozpowszechnionych
należą: strefa luzu, ciągła nieliniowość sprzęgła, histereza mechaniczna. Charakterystyki wymienionych nieliniowości przedstawiono na rys. 2.
ϕ (α1 − α 2 )
α1 − α 2
ϕ (α1 − α 2 )
ϕ (α1 − α 2 )
α1 − α 2
Rys.2 Charakterystyki wybranych nieliniowości wału mechanicznego
Fig. 2. The selected characteristic of the nonlinearities of the mechanical shaft
α1 − α 2
359
2. MODEL MATEMATYCZNY
NIELINIOWEGO OBSERWATORA LUENGERGERA
Obserwator Luenbergera nieliniowego układu napędowego opisany jest następującym równaniem stanu:
xˆ& (t ) = f (xˆ , u ) + K (xˆ , u )[y − yˆ ],
yˆ = Cxˆ ,
(2)
gdzie: K jest nieliniową macierzą wzmocnień obserwatora (wag obserwacji).
Analogicznie jak w przypadku liniowego obserwatora Luenbergera możliwe jest
uzyskanie żądanej dynamiki systemu przed odpowiednie dobranie elementów macierzy wzmocnień K. Należy podkreślić że elementy wektora K nie są stałe i zależą od
aktualnej wartości wektora stanu i wejścia. W celu ich dobrania należy zlinearyzować
obiekt w aktualnym punkcie pracy (w niniejszej pracy wykorzystano jedynie pierwszy
element z szeregu Taylora):
∂f
(xˆ , u )(x − xˆ ),
∂x
∂C
(xˆ )(x − xˆ ).
y = C(x ) ≈ C(xˆ ) +
∂x
x& = f (x, u ) ≈ f (xˆ , u ) +
(3)
Dynamika zaniku błędu obserwacji jest wyrażona przez poniższe równanie:
~
x& = f (x, u ) − f (xˆ , u ) − K (xˆ , u )[C(x ) − C(xˆ )] ,
(4)
które po uwzględnieniu równań (2)-(3) można przekształcić do postaci:
∂f
⎡
⎤
~
x& = ⎢f (xˆ , u ) − K (xˆ , u ) C(xˆ )⎥ ~
x.
∂x
⎣
⎦
(5)
Schemat blokowy obserwatora Luenbergera przedstawiono na rys. 3.
Równanie charakterystyczne obserwatora można wyznaczyć korzystając z poniższego wyrażenia:
det sI − F(xˆ , u ) + K (xˆ , u )C(xˆ ) ,
(6)
ˆ u ) jest zlinearyzowaną macierzą stanu w aktualnym punkcie pracy. W przygdzie F(x,
padku rozszerzenia wektora stanu o moment obciążenia macierz ta przyjmuje następującą postać:
360
⎡
⎢0
⎢
⎢0
F(xˆ , u ) = ⎢
⎢1
⎢
⎢0
⎢0
⎣
−1
TcT1
1
0 ϕ ' (αˆ1 − αˆ 2 )
TcT2
0
0
1
0
ϕ ' (αˆ1 − αˆ 2 )
0
0
me
Nieliniowy układ
dwumasowy
1
(7)
α1
α̂1
ϕ ' (αˆ1 − αˆ 2 )
K (xˆ , u )
x&ˆ
⎤
0⎥
⎥
− 1⎥
T2 ⎥ ,
0⎥
⎥
0⎥
0 ⎥⎦
1
TcT1
−1
ϕ ' (αˆ1 − αˆ 2 )
TcT2
0
0
0
0 ϕ ' (αˆ1 − αˆ 2 )
x̂
C(xˆ )
s
f (xˆ , u )
Rys. 3. Schemat blokowy obserwatora Luenbergera
Fig. 3. The block diagram of the Luenberger observer
Zakładając że macierz wzmocnień obserwatora jest zdefiniowana następująco:
K = [k1 k2
k3
k4
k5 ] ,
T
(8)
to korzystając z powyższych zależności otrzymuje się następującą postać równania
charakterystycznego:
⎛k
ϕ′
ϕ ′ ⎞ 2 ⎛ k1ϕ ′ k3ϕ ′ ⎞ ⎛ k 2ϕ ′
k ϕ′ ⎞ k ϕ′
⎟⎟ + s⎜⎜
⎟⎟ + s ⎜⎜
,
s 5 + s 4 k1 + s 3 ⎜⎜ 2 +
+ 4 ⎟⎟ − 5
+
+
⎝ T1Tc T2Tc ⎠ ⎝ T1T2Tc T1T2Tc ⎠ T1T2Tc
⎝ T1 T1Tc T2Tc ⎠
(9)
gdzie ϕ ′(αˆ1 − αˆ 2 ) oznaczono jako ϕ ′ .
Wielomian odniesienia przyjmuje następującą postać:
s5 + s4 5ω + s310ω2 + s210ω3 + s5ω4 + ω5 ,
gdzie ω – oznacza pulsację rezonansową biegunów układu odniesienia.
(10)
361
Przez porównanie wyrażeń (9) i (10) otrzymuje się układ równań z którego po
rozwiązaniu otrzymuje się równania określające wartości wzmocnień obserwatora.
k1 = 5ω
⎛
⎛ 1
1 ⎞ ⎞⎟
⎟⎟
k 2 = T1 ⎜⎜10ω 2 − ϕ ' (α1 − α 2 )⎜⎜
+
⎟
T
T
T
T
1
2
c
c
⎝
⎠⎠
⎝
k3 =
T1Tc 10ω 3
T
− k1 1
ϕ ′(α1 − α 2 )
T2
k4 =
.
(11)
T1T2Tc 5ω 4
−k
ϕ ′(α1 − α 2 ) 2
k5 = −
T1T2Tcω 5
ϕ ′(α1 − α 2 )
Należy podkreślić że wartości równań (11) zależą nie tylko od parametrów obiektu
i założonej pulsacji drgań, ale również od wartości pochodnej funkcji opisującej nieliniowość wału mechanicznego. Oznacza to, że parametry obserwatora zmieniają się w
zależności od aktualnego punktu pracy w celu zapewnienia założonej dynamiki zaniku
błędu obserwacji.
4. WYBRANE BADANIA SYMULACYJNE
W celu weryfikacji modelu matematycznego obserwatora Luenbergera przeprowadzono wszechstronne badania symulacyjne z różnymi typami nieliniowości sprzęgła
mechanicznego. Uzyskano poprawne wyniki estymacji wszystkich zmiennych stanu.
Stwierdzono, że ze względu na nieciągły charakter pochodnej funkcji opisującej luz
mechaniczny układ ten charakteryzuje się największymi błędami estymacji. Z tego
względu zdecydowano się na prezentacje wyników odnoszących się do powyższego
układu. Parametry badanego układu są następujące: ε = 0,05, T1 = T2 = 203 ms, Tc =
2,6 ms.
W czasie pracy układu w strefie luzu (oznacza to fizyczne rozdzielenie maszyny
roboczej od silnika napędowego – układ traci obserwowalność) wartość pochodnej
funkcji opisującą tą nieliniowość wynosi zero. Zgodnie z równaniem (11) wartości
niektórych współczynników korekcji wynoszą nieskończoność, co prowadzi do
niestabilności numerycznej obserwatora. W celu zapobieżenia temu zjawisku
w sposób sztuczny ustawiono w algorytmie wyliczania wzmocnień K wartość minimalną pochodnej równą 0,001. Momenty zamykania lub rozwierania strefy luzu
powodują gwałtowną zmianę wartości pochodnej funkcji luzu co powoduje nagle
zmiany wielkości współczynników obserwatora Luenbergera. Może to powadzić do
362
powstania dodatkowych oscylacji w estymowanych zmiennych stanu. Zjawisko to
wyeliminowano umieszczając filtr dolnoprzepustowy „zmiękczający” przebieg pochodnej (w algorytmie przestrajania nastaw estymatora).
Obserwator Luenbergera nieliniowego układu dwumasowego przebadano w otwartej
strukturze sterowania. Sygnały wejściowe estymatora: moment elektromagnetyczny
oraz położenie wału silnika napędowego (rys. 4a, b) pochodzą ze struktury zamkniętej sterującej prędkością w cyklu rewersyjnym. Są one wykorzystane do testowania właściwości dynamicznych estymatora pracujących w różnych warunkach.
W niniejszych badaniach wartość pulsacji rezonansowej obserwatora przyjęto na
ω = 100 s–1.
a)
b)
Rys. 4. Sygnały wejściowe obserwatora Luenbergera
Fig. 4. The transients of the input signals of the Luenberger observer
W celu określenia właściwości obserwatora Luenbergera działającego w różnych
warunkach pracy założono niepoprawną wielkość stałej czasowej maszyny roboczej
(T2 = 0,5T2N). Przebiegi rzeczywistych i estymowanych zmiennych stanu układu oraz
błędów estymacji przedstawiono na rys. 5.
Jak wynika z analizy przebiegów przedstawionych na rys. 5 najmniejsze błędy estymacji występują w sygnałach położeń i w sygnale prędkości silnika napędowego.
Wynika to zarówno z faktu wykorzystania sygnału czujnika położenia zamontowanego na wale silnika napędowego a w przypadku położenia maszyny roboczej z jej dużej
stałej czasowej. Znacznie większe błędy występują w przebiegu prędkości maszyny
roboczej i momentu obciążenia. Błędy estymacji momentu obciążenia występujące
w czasie zmian prędkości zadanej wynikają z niewłaściwej wartości T2 w algorytmie
estymatora. Również zmiana momentu obciążenia powoduje powstanie błędów estymacji wynikających ze skończonej szybkości obserwatora. Niewielkie błędy estymacji widoczne w chwilach t1 = 25 ms, t2 = 50 ms t3 = 75 ms (rys. 5i) i dalszych są
efektem zamykania i rozwierania się strefy luzu (zjawisko to występuje ponieważ
363
w modelu napędu pominięto momenty tarcia). Przyłożenie do układu momentu obciążenia powoduje zamknięcie strefy luzu.
Kolejno przebadano właściwości dynamiczne obserwatora pracującego ze zwiększoną o 100% (w stosunku do obiektu) wartością stałej czasowej maszyny roboczej.
Przebiegi zmiennych stanu analizowanego układu przedstawiono na rys. 6.
Zwiększenie wartości mechanicznej stałej czasowej T2 spowodowało zwiększenie
wartości błędów estymacji w przebiegach wszystkich zmiennych stanu. Jest to
zwłaszcza widoczne w przebiegu estymat prędkości maszyny roboczej i momentu
obciążenia. Wartości tych błędów zwiększyły się ponad dwukrotnie.
Redukcję wartości błędów estymacji można uzyskać przez zwiększenie wartości
pulsacji rezonansowej estymatora. Na rysunku 7 przedstawiono przebiegi rzeczywistej i estymowanej prędkości maszyny roboczej i momentu obciążenia oraz ich błędów estymacji dla założonej wartości pulsacji ωr = 300 s–1. Podobnie jak w poprzednim przypadku założono błędną wartość stałej czasowej maszyny roboczej
T2 = 2T2N.
a)
b)
c)
d)
364
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Rys. 5. Przebiegi rzeczywistych i estymowanych zmiennych stanu układu dwumasowego oraz ich błędów estymacji: prędkości silnika napędowego (a, b), prędkości maszyny roboczej (c, d), położenia wału
silnika napędowego (e,f), położenia wału maszyny roboczej (g, h) momentu obciążenia (i, j) dla zmniejszonej
w obserwatorze wartości stałej czasowej obciążenia i wartości pulsacji obserwatora ωr = 100 s–1
Fig. 5. Transients of the real and the estimated state variables of the two-mass system and their errors:
motor speed (a, b), load speed (c, d), position of the motor (e, f), position of the load (g, h) load torque (i, j)
for decreased value of the time constant of the load machine and the resonant frequency ωr = 100 s–1
365
a)
b)
c)
d)
e)
f)
366
g)
h)
i)
j)
Rys. 6. Przebiegi rzeczywistych i estymowanych zmiennych stanu oraz ich błędów estymacji:
prędkości silnika napędowego (a, b) i maszyny roboczej (c, d), położenia wału silnika napędowego (e, f),
i maszyny roboczej (g, h) momentu obciążenia (i, j) dla T2 = 2T2N i ωr = 100 s–1
Fig. 6. Transients of the real and the estimated state variables of the two-mass system and their errors:
motor speed (a, b), load speed (c, d), position of the motor (e, f), position of the load (g, h) load torque (i, j)
for increased value of the time constant of the load machine and the resonant frequency ωr = 100 s–1
Zwiększenie wartości pulsacji rezonansowej obserwatora Luenbergera spowodowało redukcję wartości błędów estymacji prędkości maszyny roboczej. Wywołało
jednak powstanie wysokoczęstotlowościowych oscylacji. Są one skorelowane
z błędami w estymacie momentu obciążenia. Wartości maksymalne błędów w przebiegu estymowanego momentu obciążenia nie zmieniły się. Są one jednak szybciej
eliminowane.
367
a)
b)
c)
d)
Rys. 7. Przebiegi rzeczywistych i estymowanych zmiennych stanu układu dwumasowego
oraz ich błędów estymacji: prędkości maszyny roboczej (a, b), momentu obciążenia (c, d)
dla zwiększonej w obserwatorze wartości stałej czasowej obciążenia i wartości ωr = 300 s–1
Fig. 7. Transients of the real and the estimated state variables of the two-mass system and their errors:
load speed (a, b), load torque (c, d) for increased value of the time constant of the load machine
and the resonant frequency ωr = 300 s–1
5. PODSUMOWANIE
W pracy przedstawiono model nieliniowego obserwatora zmiennych stanu układu
napędowego z połączeniem mechanicznym. Model ten zawiera w swojej postaci nieliniowość wału mechanicznego opisaną dowolną funkcją matematyczną. Z tego względu
może być stosowny w układach z różnym typem nieliniowości typu luz, nieliniowa charakterystyka wału, histereza mechaniczna. W każdym punkcie pracy następuje linearyzacja macierzy stanu obiektu. Wartości wzmocnień obserwatora zależą również od aktualnego stanu pracy. W celu redukcji oscylacji zmiennych stanu wywołanych skokowymi
zmianami wzmocnień obserwatora, sygnał pochodnej funkcji strefy luzu używanego do
zmiany nastaw estymatora „wygładzono” stosując filtr dolnoprzepustowy. Poprawiło
to właściwości dynamiczne układu odtwarzania zmiennych stanu. Zaproponowany
368
model estymatora poprawnie odtwarza zmienne stanu układu napędowego. Największe błędy występują w przebiegach prędkości maszyny roboczej i momentu obciążenia. Zwiększenie wartości pulsacji rezonansowej obserwatora redukuje wartości błędów estymacji, powoduje jednak powstanie oscylacji wysokoczęstotliwościowych
wynikających z nieciągłej charakterystyki luzu mechanicznego. Badania symulacyjne
potwierdziły poprawność rozważań teoretycznych.
Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach 2007–2009 jako projekt badawczy
N510 023 32/2345.
LITERATURA
[1] HORI Y., ISEKI H., SUGIURA K., Basic Consideration of Vibration Suppression and Disturbance
Rejection Control of Multi-Inertia System Using SFLAC (State Feedback and Load Acceleration
Control), IEEE Transaction on Industry Application, Vol. 30, No.4, 1994, 889–896.
[2] PAUL P. MUSZYŃSKI R., Zmodyfikowany obserwator w układzie napędowym z połączeniem
sprężystym, Materiały konferencji SENE’03, Łódź 2003, 399–404.
[3] GIERLOTKA K., Układy sterowania napędów elektrycznych z elementami sprężystymi, Zeszyt Naukowy Politechniki Śląskiej, Nr 1181, Gliwice 1992.
[4] OGATA K., Modern Control Engineering, 4-th edition, Prentice Hall, 2002.
[5] SZABAT K., Struktury sterowania elektrycznych układów napędowych z połączeniem sprężystym,
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej
nr 61, Wrocław 2008.
[6] BEINEKE S., WERTZ H., Design of Extended Kalman Filters for High Performance Position Control of Electrical Drives, Proc. of the IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent
Mechatronics, USA, 1999, 209–214.
[7] JI J.K., SUL S.K., Kalman Filter and LQ Based Speed Controller for Torsional Vibration Suppression in a 2-Mass Motor Drive System, IEEE Tr. on Ind. Ele., Vol. 42, No. 6 , 1995, 564–571.
[8] ORŁOWSKA-KOWALSKA T., SZABAT K., Neural-network application for mechanical variables
estimation of a two-mass drive system, IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 54, No. 3, 2007,
1352–1364.
[9] BEINEKE S., SCHÜTTE F., GROTSTOLLEN H., Comparison of Methods for State Estimation
and On-Line Identification in Speed and Position Control Loops, Proc. of the Intern. Conf. European Power Electronics EPE’97, 1997, 3.364–3.369.
[10] PETER K., SCHOELING I., ORLIK B., Robust Output-Feedback H∞ Control with a Nonlinear Observer for a Two-Mass System, IEEE Tran. on Ind. Applications, Vol. 39, No. 3, 2003, 637–645.
[11] SCHOLIG I., ORLIK B., Control of a nonlinear two-mass sytem with uncertain parameters and
unknown states, Conf. IEEE-IAS Annual Meeting, 2000, Rome, Italy, 1096–1103.
[12] LAGERBERG A., Control and Estimation of Automative Powertrains with Backlash, PhD thesis,
Chalmers University of Technology, Sweden, 2004.
MODEL OF THE OBSERVER FOR THE TWO-MASS SYSTEM
WITH NONLINEAR MECHANICAL COUPLING
In the work the mathematical model of the Luenberger observer for the two-mass system with different types of the nonlinearities of the mechanical shaft is presented. After short review of the literature
the mathematical model of the plant is provided. Then the basic types of the nonlinearity of the mechanical coupling are described. Next the design methodology of the nonlinear observer is shown. The theoretical consideration are confirmed by the simulation works.