96 KB - DeltaMi

Klub 44
Liga zadaniowa Wydziału Matematyki, Informatyki i Mechaniki,
Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego i Redakcji Delty
Skrót regulaminu
Czołówka ligi zadaniowej Klub 44 F
po uwzględnieniu ocen rozwiązań zadań
550 (W T = 1,24) i 551 (W T = 2,32)
z numeru 1/2013
Tomasz Wietecha
Andrzej Nowogrodzki
Andrzej Idzik
Krzysztof Magiera
Michał Koźlik
Tarnów
Chocianów
Bolesławiec
Łosiów
Gliwice
Po raz dziewiąty liczbę 44 punktów
przekroczył Tomasz Wietecha.
Gratulujemy!
Rys. 1
44,48
43,72
35,06
33,91
24,63
Każdy może nadsyłać rozwiązania zadań z numeru n w terminie do końca miesiąca n + 2. Szkice
rozwiązań zamieszczamy w numerze n + 4. Można nadsyłać rozwiązania czterech, trzech, dwóch
lub jednego zadania (każde na oddzielnej kartce), można to robić co miesiąc lub z dowolnymi
przerwami. Rozwiązania zadań z matematyki i z fizyki należy przesyłać w oddzielnych kopertach,
umieszczając na kopercie dopisek: Klub 44 M lub Klub 44 F. Oceniamy zadania w skali
od 0 do 1 z dokładnością do 0,1. Ocenę mnożymy przez współczynnik trudności danego zadania:
W T = 4 − 3S/N , gdzie S oznacza sumę ocen za rozwiązania tego zadania, a N – liczbę osób, które
nadesłały rozwiązanie choćby jednego zadania z danego numeru w danej konkurencji (M lub F)
– i tyle punktów otrzymuje nadsyłający. Po zgromadzeniu 44 punktów, w dowolnym czasie
i w którejkolwiek z dwóch konkurencji (M lub F), zostaje on członkiem Klubu 44, a nadwyżka punktów
jest zaliczana do ponownego udziału. Trzykrotne członkostwo – to tytuł Weterana. Szczegółowy
regulamin został wydrukowany w numerze 2/2002 oraz znajduje się na stronie deltami.edu.pl
Rozwiązania zadań z f izyki z numeru 3/2013
Redaguje Elżbieta ZAWISTOWSKA
Przypominamy treść zadań:
554. Wzdłuż gumowego sznura o długości l i współczynniku sprężystości k zsuwa się w kierunku
pionowym żelazny pierścień o masie m. Siła tarcia między powierzchnią sznura a pierścieniem
wynosi T . Wyznacz ciepło, które się przy tym wydziela.
555. Wąska wiązka światła po przejściu przez półkulę ze szkła o współczynniku załamania n skupia
się w odległości x od powierzchni wypukłej (rys. 1). W jakiej odległości od powierzchni płaskiej
skupią się promienie, jeżeli wiązkę światła przepuścimy przez półkulę z drugiej strony?
554. Oznaczmy przez ∆l maksymalne wydłużenie sznura. Stwierdzenie, że pierścień
jest żelazny, wskazuje, że masę sznura możemy zaniedbać w porównaniu z masą
pierścienia. Wtedy mamy T − k∆l ≈ 0. Na sznur działa siła tarcia, która powoduje
jego wydłużenie, czyli wzrost energii sprężystości oraz wydzielanie się ciepła Q:
T (l + ∆l) = Q + k(∆l)2 /2. Wiedząc, że ∆l = T /k, otrzymujemy:
T
Q=T l+
.
2k
Zadanie można też rozwiązać, rozważając siły działające na pierścień. Zmiana
energii kinetycznej pierścienia równa jest pracy wypadkowej sił ciężkości i tarcia:
mv 2
= (mg − T )(l + ∆l), natomiast zasada zachowania energii dla całego
2
mv 2
k(∆l)2
układu sznur–pierścień ma postać:
+
+ Q = mg(l + ∆l). Odejmując
2
2
te równania stronami, otrzymujemy taki sam wynik jak poprzednio.
555. Oznaczmy promień krzywizny półkuli przez R. Gdy wiązka pada prostopadle
na płaską powierzchnię szkła, biegnie przez szkło bez zmiany kierunku. Odległość x
nie zmieni się, gdy wiązkę przepuścimy przez cienką soczewkę płasko-wypukłą
ze szkła o promieniu krzywizny R umieszczoną w powietrzu (rys. 1). Ogniskowa
tej soczewki jest równa x, mamy więc związek R = (n − 1)x.
Rys. 2
Rozważmy wiązkę padającą na półkulę od strony wypukłej. Oznaczmy przez
α, β, γ, δ kąty padania i załamania przy przechodzeniu światła z jednego
ośrodka do drugiego, jak na rysunku 2. Założenie, że wiązka światła jest
wąska, oznacza, że odległości promieni od osi optycznej są małe w porównaniu
z promieniem krzywizny i możemy stosować przybliżenia właściwe dla małych
kątów. Korzystając z prawa załamania, otrzymujemy:
sin δ
δ
sin β
1
β
=n≈
oraz
= ≈ .
sin γ
γ
sin α
n
α
Kąt α jest kątem zewnętrznym w trójkącie ABD, zatem α = β + γ. Niech h
będzie odległością promienia wychodzącego z półkuli od osi optycznej. Stosując
h
R
,
twierdzenie sinusów do trójkąta OAB, otrzymujemy:
=
sin β
sin( π2 + δ)
a w przybliżeniu h/R ≈ β. Szukaną odległość f punktu skupienia promieni
od powierzchni płaskiej dostajemy ze związków:
h/f = δ = nγ = n(α − β) = nβ(n − 1) = n(n − 1)h/R.
Ostatecznie f = x/n.
22