Równanie odległość euklidesowa

1. Liczby wymierne.
- wartość bezwzględna liczby.
x dla x
 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej
jest ta sama liczba)
x 
-x dla x < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest
liczba do niej przeciwna)
W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna liczby to odległość
tej liczby na osi liczbowej od punktu oznaczonego liczbą 0. Pamiętamy,
że odległość nie może być liczbą ujemną.
Stąd rozwiązania równań i nierówności:
równanie
:
x b
ma następujące rozwiązania :
(szukamy liczb oddalonych od zera o b jednostek)
x = b lub x = - b
jeżeli b > 0
dwie liczby oddalone od zera o b
x=0
jeżeli b = 0
zero oddalone od zera o zero
brak rozwiązań
jeżeli b < 0
odległość nie może być ujemna
nierówność :
x b
ma następujące rozwiązania :
(szukamy liczb odległych od zera o mniej niż b )
x<b i –x<b
jeżeli b > 0
brak rozwiązań
jeżeli b  0
nierówność :
x b ma następujące rozwiązania :
(szukamy liczb odległych od zera o więcej niż b)
x > b lub – x > b
jeżeli b > 0
wszystkie liczby
jeżeli b < 0
wszystkie liczby bez 0 jeżeli b = 0
UWAGA: ( przy pierwszej nierówności używamy spójnika i przy drugiej lub)
Przykład 1. Rozwiąż równanie :
2x  5  3
Równanie to można zastąpić dwoma innymi :
2x – 5 = 3
lub
-(2x – 5 ) = 3
bo wartość bezwzględna liczby
bo wartość bezwzględna liczby
dodatniej to ta sama liczba
ujemnej jest liczbą do niej przeciwną
stąd :
2x = 8
lub
-2x + 5 = 3
x=4
lub
x=1
Odp. Równanie posiada dwa pierwiastki { 4 , 1 }
Przykład 2. Rozwiąż nierówności :
a)
a)
x3  4
b)
x  2 3
x3  4
wyrażenie zawarte w wartości bezwzględnej musi być mniejsze bądź
równe liczbie 4 i jednocześnie większe lub równe liczbie (-4) co zapisujemy
x+3  4
i
x+ 3  4
albo korzystając z definicji:
(wartość bezwzględna liczby dodatniej to ta sama liczba , a ujemnej jest
liczbą do niej przeciwną ) otrzymujemy :
x+3  4
i
-(x + 3 )  4
x  1
i
x  -7
stąd x  < -7, 1 >
-7
01
b)
x  2 3
wyrażenie zawarte w wartości bezwzględnej musi być większe od 3 lub
mniejsze od –3,co zapisujemy x – 2 > 3 lub x – 2 < -3 albo korzystając z def.:
x–2>3
x>5
stąd
lub
lub
x  (  ,1 )
-(x –2) > 3
x<-1
lub
x  ( 5, )
-1 0
5
2
- Dzielenie z resztą :
reszta z dzielenia liczby x przez y jest zawsze liczbą  0
dlatego :
9 : 4 = 2 reszty 1
bo 9  2  4  1
ale również
- 10 : 3 = -4 reszty 2
bo
 10  3   4  2
reszta dzielenia liczby całkowitej x przez liczbę całkowitą y jest
mniejsza niż
y.
to znaczy przy dzieleniu np. przez 4 reszta może wynosić tylko 0,1,2,3
- Największy wspólny dzielnik ( NWD) i najmniejsza wspólna
wielokrotność( NWW)
zależność miedzy NWD i NWW
NWD(a , b)
 NWW(a , b) = a  b
Można ją wykorzystywać do szukania NWW gdy jest dane NWD i odwrotnie.
- Algorytm Euklidesa :
Inny sposób obliczania NWD(a , b) podał Euklides i dlatego nosi on nazwę
algorytmu Euklidesa. Często bywa stosowany w odniesieniu do dużych liczb,
których rozkład na czynniki pierwsze jest skomplikowany. Załóżmy
dla uproszczenia, że a > b.
Wtedy :
przedstawiamy a w postaci a = k • b + r
tak, by r < b i k  N.
Jeśli r = 0, to NWD(a, b) = b. Jeśli natomiast r > O, to przyjmujemy a 1 = b,
zaś b1 = r i dla liczb a1 i b1 tworzymy postać jak wyżej: a1 = k1•b1 + r1
Działanie to powtarzamy, aż do momentu, gdy kolejna uzyskana reszta
wyniesie 0. Wówczas największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b jest
ostatnia reszta różna od zera.
3
Przykład.3 Korzystając z algorytmu Euklidesa, obliczymy NWD (1924, 338).
Przyjmujemy a = 1924, b = 338 (a > b),
Mamy: 1924 = 5 • 338 + 234 ( r < b ).
Ponieważ r  0, wiec przyjmujemy teraz a1 = 338, b1 = 234,
i otrzymujemy : 338= 1 • 234 + 104 i dalej analogicznie:
234 =2• 104 + 26 oraz 104 = 4• 26 + 0.
Otrzymaliśmy r3 = 0, zatem NWD(1 924, 338) = 26.
Można teraz w prosty sposób obliczyć NWW
NWW  NWD = 1934 338 więc :
NWW ( 1 924, 338) = a  b : NWD ( 1924, 338)
NWW (1924, 338) = 1924  338 : 26 = 25012
Odp.: NWD(1924,338) = 26 ,a NWW(1924,338)=25012
Przykład4. Jaki ułamek zwykły posiada rozwinięcie dziesiętne 0,41(6) :
Niech x = 0,41 + 0,0066666....
Zajmujemy się liczbą
0,006666.... = y
pomnóżmy obie strony tego równania przez 10 ( ponieważ okres ułamka
jest jednocyfrowy , w przypadku dwucyfrowego mnożymy przez 100 ,
trzycyfrowego 1000 itd.)
otrzymujemy :
0,0666.. = 10y
można to zapisać też tak:
0,06 + 0,006666...= 10y
0,06 + y =10y
0,06 = 10y - y
0,06 = 9y
/ :9
6
=
y
900
1
150
ponieważ
x = 0,41 + y =
Odp.: Ułamek
5
12
=y
41
100
+
1
150
=
125
300
=
5
12
posiada rozwinięcie 0,41(6)
4
ZESTAW ZADAŃ DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA.
Zad.1 Znajdź liczby spełniające warunki:
a x
b x 
c x
e)
2x  1  7  4
f) x -
d x
x 5 1
 y 3  4
2
Zad.2 Rozwiąż równania:
2
oraz
x1  5
Zad. 3 Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności:
Zad.4 Rozwiąż nierówność
2
x3 5
9 x 2  12 x  4  3
Zad.5 Jakie ułamki zwykłe posiadają rozwinięcia dziesiętne , nieskończone
okresowe : 0,(36) ; 0,2(6)
Zad.6 Podaj wynik dzielenia z resztą liczb : a) 7 : 3 =
b) ( -12) : 7=
Zad.7 Jaka jest wartość sumy :
1
12
 213  314  .....  200212003
Zad.8 Wyznacz NWD i NWW następujących liczb : a) 1408 i 3200
b) 7371 i 1365 c) 1615 i 2618
Zad.9 Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 168, a ich największy
wspólny dzielnik 24 . Znajdź te liczby.
Zad.10 Dla jakiego x zachodzi każda z następujących równości:
a)
x
x
1
b)
x 1
x 1
 1
Zad.11 Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych a i b , aby ich NWD wynosił 13,
a NWW 2002.
5