Pomiary pulsującego strumienia płynu(2)

Pomiary Automatyka Robotyka 11/2005
Pomiary pulsującego strumienia płynu (2)
Przepływomierze zwężkowe
Mateusz Turkowski *
W niniejszym, drugim artykule z cyklu o pomiarach przepływów pulsujących przedstawiono problemy pomiaru przy zastosowaniu przepływomierzy zwężkowych. Określono próg, od którego przepływ nie może być traktowany jako ustalony. Podano
zasady instalacji przetworników różnicy ciśnień przy występowaniu pulsacji. Przedstawiono zasady przetwarzania sygnału i obliczeń dla zastosowania przetworników
o małej i dużej stałej czasowej. Przedstawiono dane do oszacowania niepewności
takich pomiarów. Oparto się w dużym stopniu na Raporcie Technicznym ISO [1].
Określenie progu między przepływem
nieustalonym a ustalonym
dla przepływomierza zwężkowego
Dla przetworników różnicy ciśnień o dużej bezwładności (częstotliwość graniczna do ok. 1 Hz), które nie
nadążają za zmianami strumienia, próg traktowania
przepływu jako ustalony można określić z jednego
z następujących warunków:
U rms
′
≤ 0, 05
U
(1)
– chwilowa prędkość średnia,
gdzie: U = U¢+
U¢– składowa pulsacyjna prędkości.
W kategoriach równoważnego ciśnienia różnicowego próg ten można opisać warunkiem
∆prms
′
≤ 0,1
∆p
(2)
gdzie: Dp =
+ Dp¢ jest wartością chwilową, a Dp¢
jest składową pulsacyjną ciśnienia.
Błąd związany z pierwiastkowaniem
sygnału
Strumień masy przy pomiarze zwężkowym wyznacza
się [3] na podstawie wzoru
qm =
pd 2
2∆ p r
1− b4 4
Ce
(3)
gdzie: C – współczynnik przepływu, e – liczba ekspansji, b – przewężenie zwężki, d – średnica otworu
zwężki, r – gęstość płynu.
Jeżeli wzór ten zostanie zastosowany do przepływu
ustalonego, to wartość średnią strumienia płynu możemy obliczyć z wyniku pomiaru uśrednionej w cza.
sie wartości pierwiastka z różnicy ciśnień
Próby wnioskowania o wartości średniej strumienia na podstawie pierwiastka z uśrednionej wartości
Dp spowodują błąd „pierwiastkowania”, bo
(4)
Wartości nadkreślone
oraz
są wartościami uśrednionymi
w czasie. Indeks rms oznacza wartość skuteczną składowej zmiennej
danego parametru. Pulsacje amplitudy można zmierzyć jedną z metod
podanych w [2], pulsacje ciśnienia
– czujnikiem ciśnienia różnicowego
o małej stałej czasowej, przestrzegając podanych dalej warunków odpowiedniego montażu.
* dr inż. Mateusz Turkowski
– Instytut Metrologii
i Systemów Pomiarowych,
Politechnika Warszawska
10
Rys. 1. Graficzna interpretacja błędu spowodowanego pierwiastkowaniem uśrednionego sygnału różnicy ciśnień
Ilustruje to poglądowo rys. 1,
gdzie w czwartej ćwiartce wykresu przedstawiono przebieg
str umienia pł ynu w f unkcji
czasu, w pierwszej kwadratową
charakterystykę zwężki (sposób
przetworzenia strumienia płynu
na różnicę ciśnień), a w drugiej –
przebieg ciśnienia różnicowego
w funkcji czasu. Obliczenie wartości strumienia płynu na podstawie uśrednionej wartości Dp
spowoduje wystąpienie błędu
E(q) związanego z pierwiastkowaniem. Błąd ten (umożliwiający
Pomiary Automatyka Robotyka 11/2005
wprowadzenie odpowiedniej poprawki) teoretycznie
można obliczyć ze wzoru
∆p
E (q ) =
(5)
Niestety, wartość Dp(q—), czyli wartość ciśnienia
różnicowego odpowiadająca średniej wartości strumienia płynu jest nieznana – jest to właśnie wartość
poszukiwana.
Wpływ pochodnej lokalnej prędkości
Przy szybkich zmianach strumienia płynu występuje składowa ciśnienia różnicowego niezbędna do
wygenerowania chwilowego przyspieszenia (związanego z pochodną lokalną prędkości) jako dodatku
do przyspieszenia konwekcyjnego związanego z przyspieszeniem elementów płynu przy ich przepływie
przez przewężenie. Równanie wiążące strumień ze
spadkiem ciśnienia przyjmie wówczas postać
∆p p = K1
dqm
2
+ K2qm
dt
(6)
Pierwszy wyraz po prawej stronie równania jest
związany z pochodną lokalną, a drugi z pochodną konwekcyjną. Człon lokalny jest funkcją bezwymiarowej
częstotliwości znanej powszechnie jako liczba Strouhala (obliczona dla otworu zwężki o średnicy d)
St d =
fd
Ud
(7)
gdzie Ud to prędkość przepływu w otworze zwężki.
Przy małych amplitudach i częstotliwościach pulsacji współczynniki K1 i K2 można przyjąć jako stałe
i zdefiniować następująco:
(8)
K2 =
1 − Cc2 b 4
1
2⎞ 2 r
⎛
pd
Cn2Cc2 ⎜
⎝ 4 ⎟⎠
2
(9)
lub alternatywnie
K2 =
1− b4
1
2
2⎞ 2 r
⎛
pd
C2 ⎜
⎝ 4 ⎟⎠
(10)
gdzie: C – współczynnik przepływu, C c – współczynnik kontrakcji, C n – współczynnik prędkości dopływu.
Człon związany z pochodną lokalną zależy też od
kształtu geometrycznego przewężenia i osiowej odległości między otworami impulsowymi, dlatego
współczynnik K1 zawiera Le, tj. efektywną długość
osiową zwężki.
Jeżeli jednak amplituda i częstotliwość pulsacji jest
duża, to profile prędkości przed zwężką i w otworze
zwężki zmieniają się cyklicznie, a więc K1 i K2 także
zmieniają się cyklicznie i nawet ich wartości uśrednione w czasie niekoniecznie są równe wartościom
dla przepływu ustalonego.
Zmiana współczynnika przepływu
Dla przepływu ustalonego dla wszystkich typów zwężek współczynniki przepływu zależą od profilu prędkości dopływającego płynu. Zwłaszcza kryza jest wrażliwa na zmiany profilu prędkości z powodu zjawiska
kontrakcji. Bardziej płaski niż normalnie (w przepływie w pełni rozwiniętym) rozkład prędkości zwiększa stopień kontrakcji i w konsekwencji zmniejsza
wartość współczynnika przepływu. Profil prędkości
ostrzejszy niż dla przepływu w pełni rozwiniętego
powoduje przeciwny efekt.
W przepływie pulsującym chwilowy kształt profilu
prędkości zmienia się w trakcie cyklu pulsacji. Stopień
tej zmiany zależy od amplitudy pulsacji prędkości,
kształtu fali i liczby Strouhala.
Praktyczne podejście do obliczenia strumienia
płynu w warunkach przepływu pulsującego polega
więc na zastosowaniu stałej wartości współczynnika
przepływu, najczęściej wartości stosowanej w warunkach przepływu ustalonego. Można w ten sposób wykonywać dość dokładne pomiary dla nieściśliwego
płynu, przy małych, ściśle ograniczonych amplitudach
i częstotliwościach pulsacji. Resztkowe błędy związane z członem pochodnej lokalnej i zmianami współczynnika przepływu zwiększają się wraz ze wzrostem
amplitudy i częstotliwości pulsacji [4].
Odmienne sposoby podejścia są niezbędne w przypadku zastosowania przetworników ciśnienia różnicowego o małej i dużej stałej czasowej.
Przepływomierze zwężkowe z szybkim
przetwornikiem ciśnienia różnicowego
Jeżeli zmienna w czasie różnica ciśnień jest wiernie
odzwierciedlona przez przetwornik i uśredniany jest
pierwiastek kwadratowy z sygnału, to błąd związany
z pierwiastkowaniem dany wzorem (5) jest wyeliminowany ze wskazania wartości średniej strumienia.
Częstotliwość rezonansowa urządzenia wtórnego nie
może być zbyt bliska częstotliwości pulsacji, w przeciwnym przypadku może nastąpić dynamiczne zniekształcenie przebiegu ciśnienia. Dla układów wypełnionych gazem ta ograniczająca częstotliwość wynika
na ogół z faktu, że przewody impulsowe mają długość
11
Pomiary Automatyka Robotyka 11/2005
bliską ćwiartki długości fali, a rzadziej z częstotliwości rezonansowej przetwornika lub jego sensora (czujnika).
Dla układów wypełnionych cieczą ograniczenie
rezonansem może być spowodowane zarówno wypadkową sztywności sensora i bezwładności wypełniającej przewody impulsowe cieczy, jak również
częstotliwością związaną z długością ćwiartką fali,
zależnie od geometrycznego kształtu układu. Obecność pęcherzy gazu w przewodach impulsowych
może mieć duży i nieprzewidywalny wpływ na częstotliwość rezonansową.
Szybki przetwornik ciśnienia różnicowego, o bardzo małej pojemności wewnętrznej i bardzo dużej
pulsacji własnej, ma możliwość poprawnego odwzorowania zmiennego w czasie ciśnienia różnicowego
generowanego przez zwężkę pomiarową, jeśli spełnione są następujące wymagania:
a) średnica przewodów impulsowych musi być jednakowa i niezbyt mała, ≥ 3 mm; nie wolno stosować
pierścieni piezometrycznych
b) odległość między otworami impulsowymi powinna
być mała w stosunku do długości fali pulsacji
c) w układach wtórnych wypełnionych gazem pojemność przestrzeni w sensorze powinna być jak
najmniejsza
d) w układach wypełnionych cieczą należy wyeliminować pęcherze gazu z przewodów impulsowych
i sensora; niezbędne są zawory odpowietrzające
e) mechaniczna i elektroniczna częstotliwość graniczna układu pomiaru wtórnego powinna być
przynajmniej 10-krotnie większa niż częstotliwość
pulsacji
f) długość przewodów impulsowych powinna być jak
najmniejsza i mniejsza niż 10 proc. ćwiartki fali
g) średnica przewodów impulsowych wypełnionych
cieczą powinna być nie mniejsza niż 5 mm; dla
zmniejszenia efektów bezwładnościowych zmniejszających częstotliwość rezonansową
h) rurki impulsowe oraz połączone z nimi złączki i zawory powinny mieć taką samą średnicę
i) urządzenie wtórne (przetwornik różnicy ciśnień
wraz z przyłączami i armaturą) musi być identyczne pod względem geometrycznym od strony
dopływowej i odpływowej.
Numeryczne obliczenia wykonywane na bieżąco,
oparte na modelu ustalonym, po uwzględnieniu poprawek związanych z pulsacjami (dodatkowa różnica
ciśnień związana z przyspieszeniem płynu, czyli z lokalną pochodną prędkości) powinny zapewnić dość
dobre przybliżenie chwilowej wartości strumienia.
Niezbędne równania są podane w załączniku B do
Raportu Technicznego [1]. Błąd związany z pierwiastkowaniem ciśnienia różnicowego będzie wówczas
wyeliminowany, ale inne błędy (np. zmiany współczynnika przepływu C, wpływ ściśliwości) spowodowane pulsacjami będą nadal występować. Kolejne,
powtarzane w małych interwałach czasu rozwiązania
numeryczne mogą dostarczyć przybliżonej informacji
12
o wartości strumienia płynu jako funkcji czasu, a więc
informacji o amplitudzie i kształcie fali. Informację
o częstotliwości można natomiast otrzymać bezpośrednio z sygnału ciśnienia różnicowego.
Mierząc wartość ∆p’po,rms, najbardziej prawdopodobną wartość q’vo,rms można w przybliżeniu oszacować na podstawie jednej z poniższych nierówności:
q 'vo,rms 1 ∆p ' po,rms
≤
qn
2 ∆pss
q 'no ,rms ⎛
≤
⎜
qn
⎝ +
(11)
2
−
' po,rm /
o
⎞
−1
⎟
⎠
(12)
gdzie:
Dpss – ciśnienie różnicowe, które byłoby zmierzone na
zwężce w przypadku przepływu ustalonego
o takiej samej wartości średniej;
– uśrednione w czasie ciśnienie różnicowe,
które byłoby zmierzone na zwężce w warunkach nietłumionego przepływu pulsującego;
Dp¢po, rms– wartość skuteczna składowej zmiennej ciśnienia różnicowego na zwężce, mierzonego
szybkiego urządzenia wtórnego;
Dp po – chwilowe ciśnienie różnicowe na zwężce
w warunkach przepływu pulsującego,
gdzie
∆p po = ∆p po + ∆p ' po
Należy podkreślić, że wiarygodne pomiary ∆p po
i Dp¢po, rms mogą być uzyskane tylko w przypadku
spełnienia podanych wyżej wymagań a) do i).
Jeśli jest możliwe określenie Dpss, lepiej zastosować
równanie (11). Równanie (12) można stosować wówczas, gdy (Dp¢po, rms / ∆p po ) < 0,5.
Przepływomierze zwężkowe
z zastosowaniem przetworników
ciśnienia różnicowego
o dużej stałej czasowej
Dla przetworników ciśnienia o dużej stałej czasowej (częstotliwość graniczna ok. 1 Hz) w najlepszym
przypadku sygnał wyjściowy będzie proporcjonalny
do uśrednionego w czasie ciśnienia różnicowego
∆p . Odpowiadająca mu wartość strumienia wyznaczona z ( ∆p ) 1/2 będzie zawierać zarówno błąd
związany z pierwiastkowaniem, jak też błąd wynikający z pochodnej lokalnej prędkości. Należy zapewnić warunki, aby przetwornik różnicy ciśnień
mógł wygenerować poprawnie uśredniony w czasie
sygnał ciśnienia różnicowego. Niedopuszczalne jest
zniekształcenie kształtu fali lub przesunięcie w fazie
sygnałów w dwóch przewodach impulsowych. Może
to być spowodowane tarciem w warstwie przyścien-
Pomiary Automatyka Robotyka 11/2005
nej w przewodach impulsowych, skończoną objętością gazu i nieliniowym tłumieniem. Ponadto przewody impulsowe powinny być krótkie, aby zapobiec
rezonansowi gdyby ta długość była równa ćwiartce
długości fali związanej z pulsacją. Rezonans zachodzi
przy częstotliwości równej fr = c/(4l). W praktyce minimalna długość przewodów jest ograniczona przez
wymiary geometryczne zwężki, przetwornika i niezbędnych zaworów. Jak dotąd nie zdefiniowano progowych parametrów pulsacji, które byłyby obowiązujące dla przyrządów wtórnych wszystkich typów.
Można jednak zalecić kilka reguł projektowania urządzeń wtórnych. Należy przestrzegać wyżej wymienionych zasad a), b), c) i d) oraz ponadto:
j) przewody łączące otwory impulsowe z manometrem różnicowym muszą być jak najkrótsze i tej
samej średnicy co otwory; należy unikać długości przewodów bliskiej ćwiartce długości fali pulsacji
k) stała czasowa przetwornika powinna być ok. 10krotnie większa niż okres pulsacji
l) jeśli powyższe nie może być spełnione, można
efektywnie odizolować przetwornik poprzez zainstalowanie identycznych liniowych oporów
pneumatycznych w obu przewodach jak najbliżej
przewodów impulsowych
m) ewentualne opory pneumatyczne tłumiące pulsacje muszą być liniowe, nie wolno stosować zaworów dławiących.
Trzeba zdawać sobie sprawę, że przestrzeganie reguł
a) – d) oraz j) – m) dla przetworników ciśnienia o dużej stałej czasowej nie wyeliminuje błędu związanego
z pierwiastkowaniem, tylko zmniejsza błąd pomiaru
ciśnienia różnicowego uśrednionego w czasie.
Oszacowanie poprawek i niepewności
pomiarowych związanych z pulsacjami
Poprawki i niepewności przy zastosowaniu
przetworników różnicy ciśnień o dużej
bezwładności
Teoretycznie, E(q) jest błędem systematycznym, zawsze dodatnim, ale w praktyce zawsze będzie występować dodatkowa niepewność przypadkowa spowodowana wpływem pulsacji na urządzenie wtórne.
Obliczenie błędu i dodatkowej niepewności jest wykonalne pod warunkiem, że amplituda pulsacji nie
jest zbyt duża.
Graniczne wartości amplitud pulsacji, które jeszcze
umożliwiają oszacowanie błędów są następujące:
qv' ,rms
qv
lub
'
U rms
U
∆p'p,rms
∆pss
0,32
≤ 0, 64
lub
∆p'p,rms
∆p p
≤ 0, 58
Dla oszacowania rzeczywistego błędu E(q) przy
małych amplitudach pulsacji można zastosować następujące równania:
U ⎞
⎡
= ⎢1 + ⎛ rms
⎟
⎣ ⎝ U' ⎠
lub
2
⎤⎥
⎥⎦
12
(13)
12
2
'
⎤
⎡
1 ⎛ ∆p p,rms ⎞ ⎥
E ( q ) = ⎢1 + ⎜
⎢ 4 ⎝ ∆pss ⎟⎠ ⎥
⎦
⎣
lub
(14)
(15)
Praktyczne zastosowanie równania (13) jest ograniczone koniecznością niezależnego wyznaczenia
składowej zmiennej prędkości średniej pulsacji. Podobnie, zastosowanie równania (14) jest ograniczone
wymaganiem znajomości ciśnienia różnicowego przy
przepływie ustalonym o wartości średniej badanego
strumienia płynu. Ani pierwsze, ani drugie równanie
nie kompensuje efektów związanych z pochodną lokalną i będzie dawać nieco za duże wyniki obliczenia przy dużych wartościach liczby Strouhala (Std >
0,02).
Błąd systematyczny można skompensować mnożąc
współczynnik przepływu przez [1 – E(q)].
Będzie jednak występować dodatkowa niepewność
wartości współczynnika przepływu spowodowana
pulsacją, nawet po skorygowaniu błędu systematycznego. Będzie też występować pewna dodatkowa niepewność związana z pochodną lokalną przy dużych
wartościach liczby Strouhala.
W związku z tym, dodatkowa niepewność spowodowana pulsacjami równa 100 E(q) musi być dodana
do niepewności obliczonej dla przepływu ustalonego.
Jeśli liczba Strouhala jest mniejsza niż 0,02, to niepewność tę można zredukować do 50 E(q).
Poprawki i niepewności przy zastosowaniu
szybkich przetworników różnicy ciśnień
Zakładając, że szybki przetwornik różnicy ciśnień jest
używany w połączeniu z procesorem sygnałowym generującym sygnał wyjściowy proporcjonalny do pierwiastka z chwilowej wartości ciśnienia różnicowego,
błąd systematyczny związany z pierwiastkowaniem
będzie wyeliminowany. Pozostaną jednak pewne dodatkowe niepewności związane z pulsacjami, które
można oszacować w następujący sposób.
13
Pomiary Automatyka Robotyka 11/2005
Jeżeli można wykazać, że odpowiedź częstotliwościowa całego systemu obejmującego przewody impulsowe, złączki i sensor różnicy ciśnień jest płaska
w zakresie od 0 do 10 fp (gdzie fp jest podstawową
częstotliwością pulsacji), to dodatkowa – wyrażona
w procentach – niepewność będzie równa
25 E(q), jeżeli Std < 0,02
lub
50 E(q), jeżeli Std ³ 0,02
Wartość E(q) można oszacować przy zastosowaniu wzorów (13), (14) lub (15), o ile można traktować płyn jako nieściśliwy, tj. gdy liczba ekspansji
e ³ 0,99.
Błędy systematyczne w urządzeniu wtórnym
mogą wynikać z efektu zniekształcenia fali ciśnieniowej i rezonansu spowodowanego efektem
ćwiartki fali lub rezonansu związanego łącznie
z przewodem impulsowym i objętością sensora.
REKLAMA
Bibliografia
1. ISO TR 3313:1998 Measurement of fluid flow
in closed conduits – Guidelines on the effects of
flow pulsations on flow-measurement instruments.
2. M. Turkowski, Pomiary pulsującego strumienia
płynu (1). PAR 10/2005.
3. PN-EN ISO 5167-1:2005 Pomiary strumienia
płynu za pomocą zwężek pomiarowych wbudowanych w całkowicie wypełnione rurociągi
o przekroju kołowym. Część 1: Zasady i wymagania ogólne.
4. P. Gajan, R.C. Mottram, P. Hebrard, H. Andriamihaf y, B. Platet, The inf luence of pulsating flow on orifice plate flowmeters. Flow
Measurement and Instrumentation, 1992, vol. 3,
pp. 118–129.
REKLAMA
14