1031 Wymiana com

Krzepnięcie metal i i stopów t. IX
Pl ISSN 0208-9386 ISBN 83-04-2019-X
Ossolineum 1985
Radosław
Grzymkowski
PRZYBLIŻONA METODA ANALIZY WYMIANY CIEPŁA NA
POWIERZCHNI WLEWKA
CIĄGŁEGO
l. Wprowadzenie
inżynierskiej
W praktyce
czę sto
zachodzi
procesu fizycznego celem wyznaczenia
konieczność
brakujących
modelowania
paramet rów proc esu
lub poznania lepiej j·ego charakteru. Zagadnienie to j est typowe dla procesu wytwarzania wlewków sposobem
gą
zaliczać
się
ciągłym . .-Sfo rmułowane
do prostych lub odwrotnych
. zagadnień
modele mo-
przewodzenia cie-
pła.
W zagadnieniach odwrotnych chodzi nie tyle o wyznaczenie
zania
Wł!wnątrz
wartości
tego
obszaru ograniczonego brzegiem, na którym zadane
poszukiwanej funkcji lub jej pochodnych, co o
rozw-ią zania
ce to zagadnienia, które
ci
w miejscach
mogą
zostać
problemów
korzysta
wiążą
kłócających
na
łatwo dostępnych.
zmierzone tylko
z danych
przebieg
staranność
ekstrapolucję
metody matematyczne, pomiary oraz pewPrzykładowo,
pomiarów zwykle dokonuje
Niejednokrotnie poszukiwane
pośrednio.
Stąd
doświadczalnych,
wielkości
odwrotnych, gdy
jest problem pomiarów
mierzonych.
wielkoś­
jednym z podstawowych
dotyczących zastosowań rozwiązań zagadnień
się
są
po za ten obszar. Ogólnie problemy odwrotne w techni-
ne uwarunkowania techniczne.
się
rozwią­
mało
za-
Wymagana jest tu szczegól-
w doborze technik pomiarowych i miejsc pomiarów.
64
Radosław
Grzymkowski
ciepła
Odwrotne zagadnienia transportu
się
spotyka
w modelach ma-
tematycznych dotyczących optymalizacji procesu wytwarzania wlewków
ciągłych [ 7
J.
prowadzania
strefie
Zagadnienie to polega na określeniu takich warunków odciepła
chłodzenia
z powierzchni wlewka w obszarze krystalizatora,
Jednym z czynników
do
ciągłego
wpływających
krzepnącego
Można
zatem
na
jakość
wlewka
ciągłego
są
postulaty
sformułować
dotyczące
charakteru
jest po-
ur ządzeń
metalu. Technologom i proj ektantom
odlewania znane
temperatury.
przy których
się najlepszą jakością.
wyrób finalny charakteryzuje
l e temperatury
chłodzenia końcowego,
wtórnego i strefie
rozkładu
zagadnienie, w którym poszukuje
l
się
ciepła
warunków brzegowych, tj. warunków wymiany
wlewka
czyniących zadość
Badania na
za·gadnień
nych
logii COS
ograniczeniom
możliwością
nakładanym
wykorzystania metod
brzegowych transportu
ciepła
na powierzchni
na pole temperatury.
rozwiązywania
odwrot-
przy projektowaniu techno-
(ciągłego odlewania stali) prowadzone są w ramach Międzyre­
sortowego Problemu Badań P odstawowych nr 20 [ 7
Prezentowana praca jest
kontynuacją
metody odtwarzania strumienia
ciepła
J.
prowadzonych
badań
i dotyczy
oraz w spółczynnika wymiany
ciepła
na powierzchni wlewka przy zadanych przebiegach temperatury.
2.
W pracy
ro zważa
dzeniu pionowym do
się płaskie
ciągłego
Założenia
okrągłe
i
urzą­
się
odlewania. Modelowane obiekty traktuje
jako obiekty dwuwymiarowe, dla których
sa ć
wlewki wytwar zane na
rozkład
dwuwymiarowym równaniem przewodnictwa
temperatury da
ciepła.
Przyjmuje
się
opi-
się,
że
wlewki o grubości 2r* odlewane ze stałą prędkością w, wytwarzane są z
metalu krzepnącego w przedziale temperatur <T", T'>{T"- temperatura solidus, T' - temp eratura likwidus ), który wlewany do krystalizatora ma temperaturę T* ~
do
ciągłego
długości z*
T:
Bezawaryjna praca pionow ego urządzenia
odlewania powoduje wygene rowanie
pseudousta:lonegc
pola temperatury, które
układzie współrzędnych związanym
nanie
się w ewnątrz
z
krzepnącym
wlewka o
w nieruchomym
wlewkiem opisuje rów-
Przybliżona metoda analizy wymiany ciepła
65
"(?l!.w J T= r-m J (rmĄ . J T) . + J (.:>..J T),
z
r
r
z
z
l
(l)
O<r<r*
O<z<z*,
gdiie T = T (r, z ) jest temperaturą, ~ =
cieplną
(6] ,
-ae (T )
zastępczą pojemnością
0 , = Y (T ) gęstością masy, A. · = A.(T ) współc zynnikiem prze-
wodzenia ciepła, a indeks m określa geometrię wlew_ka (m ·= O wlewek
płaski, m = l wlewek Ókrągły ) . Równanie ( l ) można częściowo uprościć
pomijając człon
J (:.t J T ) (p . 7 ), w czego rezultacie otrzymuje się rówz . z
współrz~dn!l
nanie paraboliczne, w którym
z
spełni;a rolę
czasu.
Lir
123
~~--~--
l
-
-
l
l
-
-
I
J,-1
-
- - 1;"
-ł+<-H-H+++ł-H-f-t+Hfł+H-i
i,.,
jil~-H-H+++ł++f++~+H
-
-
-
t-; -++f+ł++t-H++t++-ł/t1~-t+
J~ H+++++++++++t+f+ł-t+ti
l
z
Rys. l. Modelowany obiekt. Siatka
różnicowa
r
66
Rados~aw
Zakłada się
ponadto,
że
Grzymkowski
są
znane
zmienne przebiegi temperatury w
l
przemieszczających się
dowolnych ustalonych
wraz z wlewkiem punktach
kontrolnych r = r , n = (N, O«r ~ r*, przy czym przyjmuje się, że
n
n
każdej chwili czasu odpowiada tylko je-den taki punkt (rys. 1) . Zakładane
wynikać mogą
przebiegi temperatury
rów lub innych
Nie znane
ka r
=
z wymogów technologicznych, pomia-
ograniczeń nakładanych
są
na modelowany obiekt.
natomiast warunki wymiany
ciepła
na powierzchni wlew-
r* . Fokażerny, że te informacje pozwolą wyznaczyć pole tempe-
ratury w
całym
przekroju obiektu oraz
gowy, jaki powinien
być
zadany aby
odtworzyć brakujący
uzyskać
warunek brze-
postulowane przebiegi tempe-
ratury w punktach kontrolnych.
3.
Układ równań
Niech q(z ) będzie poszukiwanym strumieniem ciepła na granicy r = r*.
Wówczas
korzystając
z analitycznej postaci warunku brzegowego III ro-
dzaju można wyznaczyć współc_zynnik wymiany ciepła
,
gdzie T00
jest
temperaturą
.
O<z~z
ciepła
Jednocześnie przyjęte
ć)r
,
została
r .-m
T(r*,z), 0<
w rozdziale poprzednim
zagadnienie brzegowe, które
E Cl T
z
*
(2 )
na
rekonstrukcję
co odpowiada warunkowi brzegowemu II rodzaju postaci
q(z),;,- A.[T(r*,z)j
mułować
(z ) . Otrzymuje się
otoczenia.
Dlatego dalsza analiza problemu ukierunkowana
strumienia
01.
ar
(i\.rm
T(r,O )
CJ T (O, z)
r
opisują
sfor-
równania
O< z <z* ,
T*(r ) ,
O,.::r~r*
O,
(3)
założenia pozwalają
T),
ar
z~z*.
o <z ~z*
O< r < r*,
(4)
(5 )
(6)
Przybliżona
metoder analizy wymiany
zn_l< z~zn'
T(rn' z)= fn(z),
ciepła
67
n= l,N,
(7)
, z , n= l,N, oznaczają początgdzie E = E (T ) = -ae(T ) · t'(T ) ·w, z
n- 1
n
kowe i końcowe położenie punktów kontrolnych r = r , przy czym -z = O,
n
o
~ z*. Natomiast funkcje fn (z ) oznaczają zakładane przebiegi tempe-
a zN
ratury, pr':! czym przyjmuje się, że fn(z)~T". Funkcje fn(z) zadawane
są ·zazwyczaj w postaci tabeli wartości (dziedzina i I>rzeciwdziedzina są
zbiorami liczb ) lub w postaci wykresu.
Zagadnienie (3) -1- (7) nale ży do grupy odwrotnych nieliniowych zagadnień brzegowych dla równania przewodnictwa ciepła [l
nienia przewodnidwa
Oznacza to,
dużą
ciepła należą
do kla·sy
J.
zadań źle
Odwrotne zagad-
uwarunkowanych.
że mała niedokładność wielkości wejściowych może powodować
niedo~ładnoś ć
w
rozwiązaniu.
wpływu tej właściwości na jakość
I~tnieją różne
sposoby
łagodzenia
uzyskiwanych rezultatów [ 3, 4]. W
niniejszej pracy celem źłagodzenia wpływu złego uwarunkowania proponuje
się
obok metody
dzających.
bliczeń
różnicow e j
Pode3ście
rozwiązania
łagodzi wpływ
to
ale nie usuwa go
wykorzystanie splajnów
złego
uwarunkowania na wyniki o-
całkowicie'"
4. Metoda
rozwią z ania
Przybliżonego rozwiązania sformułowanego wy żej
kuj e
się
w c zter ech krokach. W kroku pierwszym
wejściow e,
wygła­
dotyczące zakładanych
zagadnienia pos zu-
wygładza
się
przebiegów t empe ratury w
informacje
punktach kon-
trolnych.
Na obszar modelowanego obiektu
cową QI,J = w (r )
1
w (r )
1
gdzie l, J
oznaczają
kroki siatki
><
nałożono równomierną
siatkę ró żni­
w ( z ) , przy czym
1
{ r (i )
liczby
r (i )
w ęzłów
L\ r (i-l ) , i
=
1,1 } ,
L\ z (j-1 ) , j
=
l,J},
w kierunku r
z odpowiednio, L\ r i L\ z
68
Radosław
/:). r
=
r*
!::J. z = z*"
Grzymkowski
l (I
- l)
l (J -
(8)
J
l)
W modelu założono, że położenie punktów kontrolnych określają te węzły
siatki dla których i
a j
Z
=
~ jn-l' jn' n = l, N, gdzie in'
in'
l !::J. Z + l.
należą do
+ l,
Węzły
te
Każdy
z tych zbiorów można traktować jako lokalną siatkę, na której
n
n
zbiorów
W~(z)
=-rnl !::J.r
}
= {z(:j )
jn-l' jn,n = l,N.
zadane są z pewnymi błędami wartości funkcji f (z .) = f (:j ) . Z uwagi
n J
n
na błędy w określeniu wartości funkcji f (j) należy skonstruować nowe
n
funkcje F n (z), tak by ich p f.zebieg w otoczeniu zadanyc)l. punktów był
"płynny" niż
bardziej
funkcjami
funkcji
interpolujących.
Funkcje takie nazywamy
wygładzającymi.
Żądając aby szukane funkcje wygładzające
działach
< zn-l,
z n>
f n (z )
określone w prze-
minimalizowały funkcjonały
n = 1, N
gdzie P n (j ) , j . = jn-l, jn jest zadanym . układem liczb dodatnich - wymusza
się
.
przebieg konstruowanych krzywych w
oraz gwarantuje
się
ich minimalne
pobliżu
"wygięcia".
1m
zadanych punktów
większe są wartości
współczynników wagowych P n (j ) , tym więks c:'l -rolę odgrywają warunki
interpolacyjne i tym
bliżej
zadanych punktów przebiega funkcja
wygła-
dzająca [ 8].
Rozwiązaniami zadań wariacyjnych (9) są splajny sześcienne (funk-
cje sklejane trzeci_e go stopnia ) [ 8] , które konstruuje się w sposób podany w pracy
[s].
Wyznaczenie splajnów Fn(z), n=
ich wartości liczbowych F
i";N,
a dokładniej
(j ) w węzłach siatki Wn(z), koliczy pierwszy
J
•
e tap poszukiwania przybliżonego rozwiązania zagadnienia (3 ) + _(7 ) .
Krok drugi polega na
(4 ) +
•
ro-związaniu
proste go zagadnienia brzegowego
(7 ) , tzn. na wyznac zeniu pola temperatury w obszarze od osi
wlewka do linii r = rn' n
"
n
=
l, N.
Wykorzystać
do tego celu
można
opra-
Przybliżona
ciepła
metoda analizy wymiany
cowane specjalnie dla tego typu
zagadnień
69
·
różnicowe ·,
metody
szczegółowy opis można znaleźć w pracach [ 9 + 12
J.
których
Stosując propono-
.~najduje się w węzłach siatki Q l, J naieiących do rozwaobszaru tj. gdy i = l, i , n = l, N a. j = l,J dyskretne pole
wane metody
żanego
n
temperatury T(i,j) =T [ .6r(i-l),
.6z(j-l )].
Jednocześnie zrozumiałe
. jest,~e 'dla węzłów należących do W~(z), tzn. gdy i = in'
n
=
l,N a
j = l,J zachodzi T(i,j ) =F (j..). Wyznaczenie powyższego pola tempen
ratury zamyka drugi etap obliczeń.
rozwią­
W kroku trzecim otrzymane na poprzednim etapie dyskretne
zanie
przedłuża się
cały
na
rozpatrywany obszar oraz wyznacza
peraturę powierzchni wlewka
W pracy [ 13
J omówiono
szereg
budowy wspomnianych schematów
należących
stabilnych, o wysokim rzędzie apro·-
różnicowych okazał się
znalezionego w kroku poprzednim
do obszaru
chni wlewkar
tem-
(tam, gdzie nie jest ona zadana) .
ksymacji s c hematów różnicowych dla równania prŹewodnictwa.
przedłużaniu
się
poło żonego
.
pomocny p_rzy
rozwiązania.
od linii r = r , n
:n
=
Sposób
Dla
węzłów
l, N do powierz-
.
= r* (tj. gdy i=~.
n= l,N aj = 2,J ) różnicową
n
aproksymację l ewej strony równania (4 ) przyjęto w postaci
[E
<::1
E (i,j )[ 3T (i+l, i+l )
-
J
z
T]. .
l,J ( "
4T (i+l 1 i ) + T (i+l 1 j-1 )
24 b z·
+
15 T (i 1 j+l ) - 20 T (id ) + ST{id
l2Lh
+
3 T {i-1 2 j+l )
gdzie E (i,j) = E
-
-;~:~
-
l)
+
+
4 T (i-1 2 i ) + T {i-1 2 j-1 )
24.6z
]
(10 )
[T (i,j)J.
Natomiast prawą stronę równania (4) aproksymowano zgodnie z zasadami podanymi w pracacli [9,11,.12]. Przyjmując, , że w rozważanym obszarze
A. = const.
można napisać
·. .
[ r-m d r (rmA.d r. T)]
· 1, J
/
l"'
70
Radosław
A. [(i-0,5_\m T( · l
""' /:,. r 2
i-l
)
l+
·)
J
'
Grzymkowski
2T(· ·)
-
l'
J
+
(i-1,5)m T( · l · ) ]
i-l
l- 'J
•
(11)
Związki (10 ) i (11 ) wstawione · do równania (4 ) pozwalają po przekształ­
ceniach uzyskać dla każdej i- tej warstwy i "' i
i "' i
1
+ l, l
n
+ l, i
n- 1
, n "' N, 2 oraz
układ równań
e.T(i,j-1) - 4a (i,j) T(i,j) + 3?T(i,j+l) ~ b(i,j )'
(12)
j "' j
n-
l + l,
1-
l
Występujące w równaniach (12) w spółczynniki mają postać
"' jn-1 + 1
(13)
' j ~ jn-1 + 1
l
o
?
2
-
a (i, j)
l
"' 1 -
!
'
l
(14)
jjJ-1
l+ 6H(i,j)
(~l -
1 5
• )
2
m
(15)
,
gdzie
(16 )
Jednocześnie
b(i,j )
"'24H(i,j ) [c-=_'~)m
T(i-2, j)- 2T(i-1, j ) ]+
[3T(i-2, j+l ) - 4T(i-2,j) + T(i-2), j-lJ] +
/
- 10[3T(i-1, j+l ) - 4T(i-l,j ) + T(i-1, j-1 ) ]
+
+ (1-t )T(i , j+l ) + (1-? ) T(i,J ) ,
przy czym
T(i,J )
= (
~=i. 5 )m[ T(i-l,J )
- T(i-l, _ J-1 )] /H(i-1, j ) +
(17 )
..
Przybliżona
C:~, s) m
71
ciepła
metoda analizy wymiany
T (i-1, J)
l
(18)
oraz
l
T (1, l )
(19 )
(i ) '
gdzie T* (i) = T* [lir (i-l )].
Ponieważ macierze główne układów równań (12 ) są macierzami trój-
diagonalnymi do rozwiązania w /w układów można z astosować algorytm
Thomasa [14].
Uzyskane na tym etapie pole temperatury jest
przedłużeniem rozwią­
zania zagadnienia prostego (4) + (7) na· obszar położony od linii r = r
\
n = l, N do powierzchni wlewka r = r*. Znalezione wyżej rozwiązanie
po zwala
w
ostatnim kroku
wyznaczyć
,
n
w postaci dyskretnej poszukiwany
strumień ciepła q (z ) .
Dla wyznaczenia strumienia
lansu energii zależno..ś ć [ 7
+
.
się· wynikającą
z bi-
J
.
41-1
m
T (l,J-1 ) ae(l,J-1 ) llr ( ~)
gdzie q (j )
wykorzystuje
T(l,j ) - T(I-1,j )
lir
+
A.(l,J-1 ) ( 2ij"1) m
q (j )
·
iCiepła
q [ Llz(j-1 )] dyskretne
\ T(l,j ) -T(l,j-1 )
2llz
' j= 2 ,J '
wartości
( 0)
2
poszukiwanego strumienia
ciepła.
S.
Przedstawiony algorytm
w
języku
Przykład
posłużył
do opracowania programu
obliczeń·
BASIC do realizacji na EMC W ANG 2200. Opracowany program,
pozwalający
odtworzyć
testowano na licznych
dokładnością
strumienie
ciepła ·
na ' powierzchni wlewka, prze-
przykładach uzyskując
odtwarzane
są
strumienie
na powier zc4ni wlewka lub w jej
zadowalające
ciepła,
pobliżu.
wyniki. Z
gdy punkty kontrolne
du żą
leżą
W przypadku gdy punkty kon-
'
trolne leżą na powie rzchni, to nawet znaczne zaburzenia
w danych wejściowych nie
zakłócają
w sposób istotny wyników
obliczeń .
•
72
Radosław.
A
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Grzymkowski
B
-0 --
·o=
1
2
3
- . 1 4 --
i
2 3 4 5 6 7. 8 9 10
·j
o
~
E
~.
;
"'
10
11
12
- . 6 5 - - 10
11
-
-
.g,
E
c
·o
.C;
"i
"i
o
.Q
~
{'j
:cu
.
c
'O
o
~u
~
f
~
i:'
,..
•
~
;;;
~
~
:l:
":!.
46
49
50
48
49
50
l
R -
l
3.59 -
,.
0.105
p oroż enie
Rys. 2. Siatka różnicowa.
0.105
pun k tów k ontrolny ch
......
Dwa
przykłady lokalizacji punktów kontrolr~ych(A, B )
l
Na rysunkach 2
kiego wlewka o
7 zamie s z czono wyniki
t
grubości
obliczeń
uzyskane dla
0,21 m, wytwarzanego ze stali bardze>
odl ew a nego z prędkością w
=
płas­
miękkiej,
0 , 018.3 m/s. ·Obliczenia testowe prąwadzono
w ten spos.ób, ż e najpierw rozwiązano proste zagadnienie brzegowe (p. np.
[ 9 , 10, 11
J) przy
założonych
warunka'ch
"-.
chłodzenia , a
..
uzyskane
tą drogą
po-
le temperatury (rys. 3 ) wykorzystano przy konstruowaniu postulowanych ·.
pr'zebie gów temp eratury w. punktach kontrolnych dla zagadnienia odwrotnego. Uzyskane wyniki zamieszczono na rysunkach 4 + .7.
6. Podsumowanie
W pracy prze dstawiono dogodny do
r eali zac~ i
na EMC algorytm re-
konstrukcji warunkow brzegowych dla kr zepnącego wlewka. W mod e lu
wykor zys tuj e się informacj ę o _p r zebie gach t emp e ratury w ustalonych,
pr zemi e szc zających się
wionyc h w
z ąkrz epłej
.wra z z wlewkiem punktach kontrolnych, umiejsco-
czę ś c-i
wlew k a.
73
Prz;rbliżona metoda anali~ wymian;r cieEła
l
0.07
0.14
0. 22
0.29
0.36
0.43
0.51
0.58
0.65
0.73
0.80
0.87
0.95
1.02
1.10
1.17
1.24
1.32
1.39
1.46
1.54
1.61
1.68 .
l. 76
1.83
1.90
1.98
2.05
2,12
2.20
2.27
2.34
2.42
2.49
2.56
2.64
2. 71
2.78
2.85
2.93
3.00
3.07
3.15
3.22
3.29
3.37
3. 44
3. 51
3.59
Pole temperatury
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1S50
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
15SO
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1548
1548
1548
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
15.50
1550
1550
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1548
1548
1548
1548
1548
1547
1547
1547
1547
1546
1546
1546
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550 .
1549
1549
1549
1549
1549
1549
i548
1548
1548
1547
1547
1547
1547
1546
1546
1546
1545
1545
154L·
1544
1544
1543
1543
1542
1542
1542
1541
1541
1550
1550
1550
1550
1550
1550
15So
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1549
1549
1549
1549
1548
1548
1547
1547
1547
1546
1546
1545
1545
1544
1544
1543
1543
1542
1541
1541
1540
1539
1539
1538
1538
1537
1536
1535
1535
1534
1533
1532
1531
1531
1530
1550 1550
1550 1550
1550 1550
1550 1550
15~0 1549
1550 -1548
1550 1548
1550 1546
1549 1545
1549 1543
1548 1542
1548 1540
1547 1538
1547 15:37
1546 1535
1545 1534
1545 1532
1544 1531
1543 1527
1542 1526
1541 1525
1540 1523
1539 1522
1538 1520
1537 1519
1536 1517
1535 1515
1534 1513
1533 1511
1532 1509
1531 1507
1530 1505
1529 1503
1527 1501
1527 1476
1526 1456
1525 1440
1524 1427
1523 1416
1522 1407
1521 1399
1519 1391
1518 1385
1516 1379
1515 1:373
1513 1368
1512 1363
1510 1359
1509 1356
1550
1548
1546
1544
1542
·1540
1537
1530
1521
1519
1517
1515
1513
1510
1507
1505
1502
1499
1466
1439
1418
1400
1386
1373
1362
1352
1344
1336
1328
1321
1315
1309
1304
1299
1291
1281
1271
1261
1251
1242
1233
1224
1216
1209
1202
1196
1190
1186
1183
1544
1525
1521
1516
1510
1505
1500
1440
1392
1357
1330
1309
1291
1277
1265
1254
1245
1237
1225
1212
1298
1185
1172
1159
1147
1136
1125
1116
1106
1098
1090
1082
1075
1069
1062
1056
1Q49
1041
1034
1027
1020
1013
1006
999
992
990
990
991
992
1464
1290
1162
1082
1042
1031
1037
1032
1009
1007
1000
989
978
967
957
947
939
931
923
915
906
987
887
878
869
1
860
851
844
. 836
829
822
816
810
805
799
794
789
784
779
773 '
768
763
758
753
748
772
788
800
808
s
ex.
o
1014
o
1610
1487
1315
1164
1100
1193
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
S50
950
950950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
550
550
550
550
o 1442
o 1618
o
o
o
o
o
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
L
l
l
. l
l
l
l
l
l
l .
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
2
2
2
2
Rys. 3. Fragment pola temperatury (obszar krystalizatora + l sektor
strefy chłodzenia wtórnego); l - odległość od górnej powie rzchni (m ) ,
s - strefa chłodzenia, at.- współczynnik wymiany ciepła (W /m 2 K )
Radosław
74
l
0.07
0.14
0.22
0 ..29
0.36
0.43
0.5I
O.S8
0.6S
o. 73
0.80
0.87
0.9S
1.02
1.10
1SSO
1550
I5SO
I5SO
I5SO
I S50
ISSO
1SSO
I550
ISSO
ISSO
15SO
ISSQ
16SO
1550
LF 1SSO
1.24 1SSO
I.~2
15SO
I550
1.39
1.46
I S50
I.54
1SSO
1.6I
15SO
I.68
1550
1.76
I550
1.83 1550
1.90 1550
1150
1. 98
2.05
1550
2.I2
ISSO
. 2 ..20
1SSO
2.27 . ISSO
2..34 1SSO
2.42
1550
15SO
2.49
2..56
1550
2. 64 1550
2.71
1S50
2.78
1550
1550
2. 85
2 ..93 1550
3.00 1550
1550
3.07
3 ..1S
1550
3.22 1550
3 ..29
1549
3.37
1S49
3.44 1549
3.51 1549
1549
3. 59
Grzymkowski
Pole temperatury
1SSO
1S50
1550
I S50
I S50
I550
1SSO
ISSO
1550
1SSO
ISSO
1SSO
1SSO
I550
I S50
1SSO
1S50
1S50
1SSO
I S50
1S50
1550
15SO
I550
1550
1550
1550
ISSO
ISSO
1550
1SSO
15SO
1550
1SSO
1S50
1550
1550
1550
1550
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1548
1S48
1SSO
1S50
I550
I5SO
1S50
I550
ISSO
1SSO
ISSO
1SSO
ISSO
1SSO
I5SO
1550
1550
1SSO
1SSO
1550
1S50
1550
1550
I550
I550
1550
1550
I550
1550
ISSO
1550
1SSO
1549
1S49
1549
1S49
1549
1S49
1549
1548
1548
1548
1548
1548
1547
1547
1547
1547
1546
1546
1S46
1SSO
1550
I550
I550
1S50
I550.
I5SO
1SSO
1SSO
1S50
ISSO
1SSO
ISSO
I550
I550
1SSO
1SSO
I550
ISSO
ISSO
1550
1549
1549
1549
I549
I549
1549
IS48
IS48
1S48
1548
1547
1547
1547
1S46
1546
1S46
154S
154S
1544
1544
1544
1S43
1S43
1542
1542
1541
1S41
1540
1SSO
1SSO
I5SO
I550
ISSO
1550
I550
1SSO
1SSO
1SSO
ISSO
ISSO
ISSO
1SSO
I549
IS49
I549
IS49
1S4t3
I548
I547
1547
1547
I546
1546
I545
1545
~544
1S44
1543
1543
1542
1541
1541
1546
1S39
1S38
1538
1537
1536
1S3S
1535
1534
1S33
1532
1S31
1530
1530
1529
1SSO
ISSO
I550
I550
I5SO
I550
ISSO
1SSO
1549
1S49
IS49
IS48
IS47
1S47
1546
1S45
I54S
I544
IS43
1542 '
I541 l
1546.
1539
I538
1537
I536
1535
1S35
1533
1S32
1531
1530
1529
1528
152S
1524
1523
1522
1521
1520
1519
1517
1516
1514
1273
-1511
1510
1500
1507
Ot
1SSO
ISSO
ISSO
ISSO
IS49
I548
I 54&
IS47
1S4S
1S43
IS42
IS40
1S39
1537
1535
1S34
IS32
IS3I
1S27
1S26
1525
1523
1522
I528
1S19
ISI7
I5I5
I513
1S11
1S09
1S07
1505
1503
1501
1476
1456
:440
1427
1416
1407
1399
1391
138S
1279
1204
1368
1363
1359
1356
1SSO
1548
I546
I544
I542
IS40
1537
IS3I
152I
15I9
IS17
,ISIS
ISI3
1510
1500
ISOS
1S02
ISOO
' 1466
I440
I419
;1.40I
I307
1374
1363
1354
1345
1337
1338
1323
1317
I311
130S
I300
1292
1203
1273
1263
1253
1244
1235
1226
1218
1211
1204
1198
1193
1188
1185
1S44
I 52S
IS2I
-I5I6
1S11
IS06
1500
1441
I393
13S8
I331
1310
I293
I278
I266
1256
1247
1230
I227
12llf
1200
1.187
1174
116I
1150
1138
1128
1118
1109
110I
1093
1086 ·
I079
1072
1066
1059
1052
1045
10.38
1031
1024
1017
1016
1003
99799S
995
995
997
1464
I292
117I
109I
lOS I
104I
1047
I034
1011
1010
I002
992
' 98I
970
960
951
943
93S
927
919
910
901
891
882
873
864
856
848
841
834
827
821
8I6
.810
sos
800
79S
790
785
780
775
770
765
760
75S
799
796
806
816
1014
I436
I539
I573
I449
I278
1128
11SO
1186
942
942
941
94I
946
940
939
939
930
940
93Q
939
939
938
938
937
937
936
936
936
935
935
934
934
933
933
932
931
931
930
929
929
928
928
927
927
532
S32
532
532
Rys. 4. Odtworzone pole temperatury .i współczynnik wymiany ciepła na
powie rzchni wlewka - wariant A (por. rys. 2 ) . Dane wejściowe za burzone losowo w kolumnie 9 w granicach : SK a w kolumnie 10 w granicach.:: lOK
/
Prz~bliżona
l
ALFA RZECZ.
0.07
0.14
0.22
0 ..29
0.36
0.43
0.51
0.58
0 ..65
0 ..73
0.80
0.87
g. 95
1.02
1.10
1.17
1.24
1 ..32
1.39
1.46
1.54
1.61
1.68
1. 76
1.83
1014.487918222
1442.351701333
1618.511392
1610.887032887
1487.398666669
1315.966336
1164.510083557
1100.949951989
1193.205983989
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950 .
950
950
950
950
950
950
950
950
950
550
550
550
550
1.90
1.98
2.05
2.12
2.20
2.27
2 ..34
2.42
2.49
2 ..56
2 ..64
2 ..71
2. 78
2~85
l
metoda analizy
2.93
3.00
3 ..07
3 ..15
3.22
3.29
3 ..37
3.44
3.51
3.59
w~iany cieEła
ALFA ODTW.
1014.48791814
1430.762171011
1539.441065115
1573.832495115
1449.565646398
1278.939039574
. 1128. 7.8777 2464
1150.226332157
1186.384472697
942 ..97 31416559
942.4665999172
941 ..9333790442
941.3854256278
946.83651151375
946.2737083115
939.7182844621
939. 1662894484
938.6189494421
940.1194118608
939.816991521
939 •.4751493244
939.1024708533
938.7061868449
938.2921991187
937.8652334333
937 ..4290236169
936.9864895692
936.5398978057
936. 0909910677
935.6411002291 .
935.1912325535
934.7421418701
934.2943849573
933.8483659858
933.0402135943
932.3109551367
931.6420007215
931.0193531016
930.4325704786
929.8738931406
929.3375485506
928.819222275
928.3156654368
927. 8244b39005
927.3435316383
532.0300909978
532.2156189343
532.2848205097
532.2815573424
75
BŁl\,D
WZGL. (% )
8. 08289566E-09
.0035162513615
4.885373515184
2. 30025675392
2.543569596896
2.813696324372
3.067502805628
4.475805651199
.5716960343423
. 7396692993789
. 7929894824
.8491179953474
.9067973023368
.9652093065789
1.023820177737
l. 882285852411
l. ).48398584379
1.198005321884
l. 040061909389
1.071895629368
1.107879018484
1.147108331232
1.188822437379
l. 232400092768
1. 277 343849126
1.323260671905
1 ..369843203242
1.416852862558
1..4641062034
1.511463133770
l. 558817625947
1.606090329463
l. 65322263607 4
1.700172001495
l. 785240674284
1 ..862004722453
1.932420976684
1.997962831411
2..059729424147
2.118537564147
2. •,.17499488941
2 ..22955555
2.282561532968
2.334273273632
2.384891406495
3.267256182218
3.233523830127 3 ..220941725509
3. 221535028655 .
Rys. 5. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego - wariant A
Radosław
76
l
0.07
0.14
0.22
0.29
0.,36
0.43 .
0.51
0.58
0.65
0.73
0. 80
0.87
0.95
10.2
1.10
1.17
1.24
1.32
1.39
1.46
1.54
1.61
1.68
1.76
1.83
1.90
1.98
2.05
2.12
2.20
2.27
2 ..34
2.42
2.49
2.56
2.64
2. 71
2.78
2.85
2.93
3.00
3.07
3 ..15
3 ..22
3.29
3.37
3.44
3·. 51
3.59
Grzvmkowski
Pole temperatury
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
i549
1549
1549
1549
1549
1549
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550 '
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1549
1548
1548
1548
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
-1550 '
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
l S50
1549
1549
l549
1549
1549
1549
1549
1548
1548
1548
1548
1548
1547
1547
1547
1547
1546
1546
1546
1546
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1S50
1550
1550
1550
1550
15.50
1550
1550
1549
1549 .
1549
1549
1549
1548
1548
1548
1547
1547
1547
1546
1546
1546
1538
1545
1545
15U
1544
1544
1_543
1543
1542
1542
1541
1541
1540
1540
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1549
1549
1549
1548
1548
1548
1547
1547
1546
1546
1545
1545
1544
1543
1543
1542
1542
1541
1540
1540
1539
1524
1538
1537
1536
1536
1535
1534
1533
1533
1532
1531
1530
1529
1528
1550
1550
1550
1550
1550
1550
1550
' 1550
1549
1549
1548
1548
1547
1547
1546
'1545
1544
. 1543
1542
1541
1540
1539
1538
1537
1536
1534
1533
1532
1531
1538
1529
1527
1527
1526
1525
1429
1523
1522
1521
1520
1518
1517
1515
1514
1512
15ll
1509
1507
1506
Ol.
1550 1550 1543 1454
1550 1548 1523 1281
1550 1546 1519 1153
1t;(. Q
1544
151~
1549
1548
1547
1546
1545
1543
1541
1540
1538
1537
1535
1533
1532
1528
1522
1521
1520
1519
1517
1516
1514
1512
-1510
1500
1506
1504
1502
1500
1476
1457
1442
1267
1419
1410
1402
1394
1388
1382
1377
1371
1367
1362
1358
1355
1351
1541
1500
1503
1498
1438
1390
1354
1327
1306
1288
1274
1262
1252
1242
1210
1217
1203
1189
1176
~539
1537
1530
1520
1518
1516
1514
1512
1509
1507
1504
1501
1468
1441
1419
1402
1387
1374
1363
1353
1344
1337
1329
1322
1316
1316
1305
1297
12$7
1277
1052
1258
1248
1239
1231
1223
1216
1209
1202
ll96
1191
ll86
ll83
ll80
1164~
ll52
ll41
1130
1120
ll11
ll03
1095
1087
1080
1073
1066
1059
1052
1045
1038
1031
1024
*017
1010
1004
998
992
990
991
992
994
11)"7'1
1034
1023
1030
1025
1002
. 1001
994
984
973
963
953
944
936
928
921913
984
895
886
877
869
860
852
845
838
931
825
819
813
808
804
799
794
789
785
780
775
770
765
761
756
780
797
809
818
1139
1468
1647
1639
1514
1340
1185
1118
1209
962
960
958
957
956
955
953
952
939
931
92~
926
925
925
925
926
926
926
926
92G
926
926
926
924
926
916
912
909
907
905
904
904
903
903
903
903
509
510
5ll
512
Rys. 6. Odtworzone pole temperatury i współczynnik wymiany ciepła na
pow ierzchni wlewka - wariant B (por. rys. 2 ) . Dane wejściowe za burzono losowe w granicach + lOK w kolumnie 10
Prz,rbliżona
metoda anali~ wymian,r cieEła
77
l
ALFA RZECZ.
ALFA ODTW.
BLĄD W ZGL.
0.07
0.14
0.22
0.29
0.36
0.43
0.51
0.58
0.65
0.73
0.80
0.87
0.95
1.02
1..10
1.17
1.24
1.32
1.39
1.46
1.54
1.61
1.68
l. 76
1.83
1.90
1.98
2.05
2.12
2.20
2.27
2.34
2 ..42
2.49
2.56
- 2.64
2.71
2.70
2.85
2.93
3.00
3.07
3.15
3.22
3.29
3.37
3.44
3.51
3.59
1014.487918222
1442.351701333
1618.511392
1610. 887-032887
1487.398666668
1315.966336
1164. 510083557
1100.949951989
1193.205983989
950
950
950
950
950
950
950 .
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
950
550
550
550
550
1139.751531787
1468 •.354605205
1647.294608126
1639.95566824
1514.638864177
1346.204361573
1185.635686143
1118.576403922
1209.2590'71921
962.2202408984 .
960.4640082932
958.9360349965
957.5512912113
956.2579923409
955.0235440003
953.8269944778
952.6547128349
939.3009682042
931.874516:1.665
928.0107350732
926.2314894114
92:).6234836689
925.628088179
925.908212169
926.264812181
926.58451340693
J 926. 8071332329
926.9043175067
926.867268079
9 26. 698 2383565
926.4055302625
926.0003692696
924.0799093156
920.2800358087
916.2191562156
912.6171388238
909.7188900266
'907.5346395178
905.9718482112
904 ..9044359678
904.2067402747
903.7682694246
903.4984370479
903. 3264004841
903.1987755722
509.7192213355 510.9875761934
511.9112334954
512.5943500565
12.34747218917
l. 802812992696
l. 778375874787
l. 804511102241
1.831398542936
1.841842371643
1.814119335186
1.601022090165
1.345374407052
1..2863411472
1.101474557179
.9406352627il95
•79487 27 590842
.6587360358842
.5287941137158
.4028415239789
.2794434563053
1.126213873242
l. 007945666684
2.314659465979
2.501948483011
2.565949087484
2.565464402211
2.535977666421
2.498440823053
2.464780540074
2. 441354396537
2.431124463505
2.435024412737
2..452817015105
2.483628393421
2.5262769189!39
2. 728430598358
3.128417283295
3.555878293095
3.935038018547
4.240116839305
4.470037945495
4.634542293558
4.746901477074
4. 820343128979
4.866497955305
4.894901363379
4. 913010475358
4.926444676611
7 ..323777939
7.093167964836
6 ..925230273564
6. 801027262455
(%)
Rys. 7. Porównanie strumienia rzeczywistego i odtworzonego -wariant
•
B
Radosław
78
Grzymkowski
Prezentowany algorytm oparto na
rozwiązaniu
odwrotnego nieliniowe-
go zagadnienia brzegowego dla równania przewodnictwa . Rozwiązania w/w
zagadnienia pozwala dla z góry ustalonych przebiegów temperatury w punktach kontrolnych wyznaczyć warunki chłodzenia powierzchni wlewka. Wyznaczone na podstawie modelu 'realne strumienie ciepła mogą być wykor "zystane przy konstruowaniu
nych ze
Na
względu
na
urządzeń
określone wc~eśniej
przykład właściwe chłodzenie
ne, aby na
całym
do
ciągłego
obwodzie wlewka
była
jakościowe
potrzeby
wtórne powinno
odlewania, optymal-
być
wlewka.
tak przeprowadzo-
utrzymywana równomierna tem-
peratura. R.,ównież temperatura powierzchni wlewka- po jego wyjściu z
krystalt zatora aż do skrzepn-Lęcia na całym przekroju powinna spadać
stale i równomiernie. Ten drugi postulat
może być
z powodzeniem testo-
wari.y przy pomocy omawianej w pracy metody.
7. Literatura
[1] Tichonow A. N.; lnż. Fiz. Żurnal, 34, 2(1975) 338-343.
(2] Wolska- Bochenek
J.
i in.: Zarys teorii równań całkowych i równań
różniczkowych cząstkowych,
PWN, Warszawa 1981.
[3] Tichonow A. N.: Mietody nieszenija niekorriektnych zadacz, Nauka
Moskwa 1980 .
. [4] Hills R.G. i in.: lnt.Journal of Heat and Mass Transfer, 22, 8
(1979 ) 1221-1229.
[SJ
Zawiałow J. S., i in. Metody splajn-funkcji, Nauka, Moskwa 1980.
[6] Samejłowicz J.A.: Formirowanije slitka, Metallurgija,
l7]
Sprawozdanie z realizacji zadania "Optymalizacja procesów przepływu ciepła
wy Problem
[8]
Moskwa 1977.
w
układzie
Badań
odlewu i formy", 20.04.02.
Międzyresorto­
Podstawowych nr 20, Gliwice 1983.
Marczuk G. I.: Analiza numeryczna
zagadnień
-,
-fizyki matematycznej ,
PWN, Warszawa 1983.
[9] Grzymkow ski R.: Modelowanie procesów odlewania i krystalizacji
wlewków
ciągłych,
Praca doktorska, Gliwice 1980.
[10] Sprawozdanie z realizacji zadania "Podstawy krystalizacji w procesie odlewania
dań
ciągłego",
20. 04.04
Międzyresortowy
Podstawowych nr 20 , Gliwice 1976-1980.
Problem Ba-
Przybliżona
[11]
metoda analizy wymiany
ciepła
Grzymkowski R., Mochnacki B.: Krzepnięcie Metali
79
Stopów, 2
(1980) 69-134.
[12J Mochnacki B.: Arch. Hutn., 28, zesz. l
(1983) 79-100.
[13] Richtmyer R. D.: Difference methods for initial - ralne problems
luterscince Publisher s, New York 1957.
[14] Rosenberg D. V.: Methods for the Numerical solution of partia!
differential equations, American Elsevir Publishing Company, New
York 1969.