Model gospodarki konkurencyjnej

MODEL GOSPODARKI KONKURENCYJNEJ
Oznaczmy przez:
ℜ n+ :={ ( x1 ,...x n ) : ∀ xi ≥ 0 }
i≤n
ℜ := [0, ∞) × ... × [0, ∞)
n
+
Elementy x = ( x1 ,..., x n ) ∈ ℜn+ nazywać będziemy wiązkami (koszykami) towarów. Przez
xi - oznaczać będziemy ilość i-tego towaru miarowego w określonych jednostkach
fizycznych. Symbolem p = ( p1 ,..., p n ) ∈ ℜn+ oznaczać będziemy wektor cenowy, gdzie
pi - jest wartością jednej jednostki i-tego towaru. Przez:
n
p, x := ∑ pi xi
i =1
oznaczać będziemy iloczyn skalarny, który będzie wyrażał wartość zakupionego koszyka
towarów x.
W przestrzeni ℜn+ rozważać będziemy częściowy porządek:
x ≥ y :⇔ ∀ xi ≥ yi
i≤n
x ≥ y :⇔ x ≥ y oraz
x > y :⇔ ∀ xi > yi
x≠ y
i≤n
Niech P(a) = {x ∈ ℜ2 : x ≥ a}
x2
P (a )
x1
Ćwiczenie: Pokazać, że częściowy porządek ≥ na ℜn+ jest porządkiem liniowym.
Niech X ⊂ ℜn+ oznacza zbiór wszystkich dostępnych na rynku koszyków towarów.
Podprzestrzeń X ⊂ ℜn+ z topologią dziedziczoną z ℜn+ , tzn. topologię podprzestrzeni
euklidesowej nazywać będziemy przestrzenią towarów (polem preferencji).
Wybór określonego koszyka towarów przez konsumenta zależy od jego gustów, który
z kolei będziemy w przestrzeni towarów X określali przez relację ≥ preferencji, spełniającą
dwa warunki:
I. (zupełności)
∀
x≥ y∨ y≥ x
x , y∈ X
II. (tranzytywność)
∀
x≥ y∧ y≥ z⇒ x≥ z
x , y , z∈ X
Symbol x ≥ y będziemy odczytywać jako „koszyk towarów x jest słabo preferowany nad y”
lub „koszyk towarów x jest nie gorszy od koszyka towarów y”. Symbol x > y równy z
definicji x ≥ y ∧ ~ ( y ≥ x) odczytujemy jako „x jest silnie preferowany nad y” lub „koszyk
towarów x jest lepszy od koszyka y”.
Relacje „x~y”, x ~ y :⇔ x ≥ y ∧ y ≥ x , nazywać będziemy relacją indyferencji
(obojętności). O koszykach towarów x, y, które są w relacji indyferencji x~y będziemy
mówić, że są indyferentne, albo jednakowo dobre. Koszyk towarów indyferentnych
K x := { y ∈ X : y ~ x} , K x = [ x]
tworzy klasy obojętności (obszary, powierzchnie).
Jak wiemy relacja ”~” jest relacją równoważności i wyznacza odwzorowanie
ilorazowe
na
f : X ⎯⎯→
Y
w przestrzeń liniowo uporządkowaną Y złożoną z klas obojętności,
x ≥ y ⇔ f ( x) ≥ f ( y ) , f ( x) := [ x].
PRZYKŁADY RELACJI PREFERENCJI
1. Załóżmy, że dokonujemy zakupu mąki. Na rynku są dwa rodzaje mąki: poznańska i
wrocławska. Dla konsumenta jest obojętne, jaki rodzaj maki kupi.
Wobec tego na zbiorze X= ℜ2+ można wprowadzić relację preferencji:
( x1 , x 2 ) ≥ ( x1' , x 2' ) :⇔ x1 + x 2 ≥ x1' + x 2'
x2
x 1 - mąka wrocławska
x 2 - mąka poznańska
krzywa obojętności
x1
W opisanym przykładzie mamy do czynienia z tzw. substytucją doskonałą, gdzie
konsument chce zastąpić jeden towar drugim według stałej stopy, w tym przypadku w
stosunku 1:1. Pojęcie substytucji występuje w mikroekonomii – nas to nie będzie
interesowało.
Natomiast interesującym czynnikiem występującym w tym przykładzie jest opis relacji
preferencji za pomocą funkcji u: X→ ℜ ; u ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 .
Funkcje te będziemy nazywać funkcjami użyteczności.
2. Niech w dalszym ciągu X= ℜ2+ oraz zdefiniujmy nową relację preferencji:
( x1 , x 2 ) ≥ ( x1' , x 2' ) :⇔ min( x1 , x 2 ) ≥ min( x1' , x 2' )
Jeśli przez x 1 oznaczymy ilość butów lewych, a przez x 2 - butów prawych, to oczywiste
jest, że konsument musi nosić but lewy i prawy razem, a posiadanie jednego buta nie
sprawia mu przyjemności. Wobec tego powyższa relacja ma sens.
but prawy
krzywa obojętności
but lewy
Powyższy przypadek jest przykładem z mikroekonomii tzw. dobór doskonale
komplementarnych tzn. dobór, które zawsze są konsumowane w stałej proporcji.
Rozważmy jeszcze jeden przykład doskonałej komplementarności.
3. Przypuśćmy, że rozważanymi towarami są dżin i wermut, które mają być używane
wyłącznie do przyrządzania koktajli martini w proporcjach 10 porcji dżinu i 1 część
wermutu. Mając 12 litrów dżinu i 1 litr wermutu, konsument będzie mógł przyrządzić 11
litrów martini. Pozostałe 2 litry dżinu są dla naszego konsumenta bezużyteczne.
Konsument jest obojętny wobec wiązek (10,1) i (12,1).
dżin
krzywa obojętności/
y=
1
x
10
wermut
FUNKCJE UŻYTECZNOŚCI
(indykator preferencji, utility function)
Funkcja u: X→ ℜ , X ⊆ ℜn+ , określoną na przestrzeni towarów X z relacją związaną z
relacją preferencji ≥ , nazywamy funkcją użyteczności konsumenta, gdy:
∀ u ( x) ≥ u ( y ) ⇔ x ≥ y
x , y∈ X
Relację preferencji ≥ na X nazywamy ciągłą, gdy dla każdego a ∈ X zbiory
{x ∈ X : x > a} i {x ∈ X : a > x}
są otwarte w przestrzeni X.
Z twierdzenia o przestrzeniach liniowo uporządkowanych otrzymujemy:
Twierdzenie Debreu (1959)
Jeśli przestrzeń towarów X ⊂ ℜn+ jest podzbiorem spójnym, a relacja preferencji
określona na X jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności u: X→ ℜ związana z tą
relacją.
Dowód
(I) Niech Z = X oznacza zbiór klas obojętności związanych z relacją indyferencji
~
wyznaczonej przez relacją preferencji ≥ na X . Wówczas z założenia ciągłości relacji „ ≥ ”
wynika, że odwzorowanie ilorazowe f : X → Z jest ciągłe (podbazą dla topologii Z są
przedziały (←,a), (a,→) ).
Z ciągłości odwzorowania f wynika, że przestrzeń liniowo uporządkowana Z jest spójna i
ośrodkowa, jako obraz ciągły przestrzeni spójnej i ośrodkowej.
Z wniosku o przestrzeniach liniowych spójnych i ośrodkowych wynika, że istniej
izomorfizm porządkowy ϕ : Z → I na pewien przedział I ⊂ ℜ ( ϕ jest ciągłe). Złożenie
u := ϕ ο f ; u: X→ ℜ jest szukaną funkcją użyteczności.
■
Nie każdą relację preferencji można opisać za pomocą funkcji użyteczności.
Przykład relacji preferencji, której nie można opisać za pomocą funkcji użyteczności.
Konsument może w cenie p zatankować każdą ilość paliwa w przedziale liczbowym
[a,a+1), przy tym można sobie dodatkowo wybrać upominek, ołówek lub długopis
(0 = ołówek, 1 = długopis). Konsument zawsze preferuje większą ilość paliwa oraz woli
długopis od ołówka. W tym przykładzie relacja preferencji przedstawia się następująco:
( x, i ) > ( x ' , j ) :⇔ x > x ' lub (x = x ' oraz i>j)
gdzie X = [a, a + 1) × {0,1}
Zauważmy, że nie istnieje funkcja użyteczności związana z powyższą relacją, bo
istnienie takiej funkcji wyznaczałoby w ℜ rodzinę {I α : α ∈ [a, a + 1)} przedziałów
otwartych, parami rozłącznych Iα := (u (α ,0), u (α ,1)),α ∈ [a, a + 1) , co jest sprzeczne, że zbiór
liczb wymiernych w ℜ jest przeliczalny.
Z definicji funkcji użyteczności wynika, że dla każdego a ∈ u (X ) , zbiór u −1 (a ) jest
klasą indyferencji.
Także, jeśli u: X→ ℜ jest ciągłą funkcją użyteczności, a y : ℜ → ℜ jest ciągła i silnie
rosnąca, to złożenie y οu też jest ciągłą funkcją użyteczności.
Mówimy, że funkcja użyteczności u: X→ ℜ jest silnie rosnąca, gdy:
∀ x ≥ y ⇒ u ( x) > u ( y )
x , y∈ X
x≠ y
Mówimy, że w przestrzeni preferencji obserwujemy zjawisko niedosytu, gdy:
∀
x≥ y⇒x> y
x , y∈ X
x≠ y
Z powyższych definicji otrzymujemy:
Obserwacja
W przestrzeni towarów X obserwujemy zjawisko niedosytu ⇔ gdy każda funkcja
użyteczności jest silnie rosnąca ⇔ (gdy istnieje funkcja użyteczności, która jest silnie
rosnąca).
WYPUKŁOŚĆ
(convexity)
Dla dowolnych punktów a, b ∈ ℜn niech:
a, b := {x ∈ ℜn : x = ta + (1 − t )b, t ∈ [0,1]}
oznacza odcinek w R n o końcach a i b.
b
a
Interpretacja ekonomiczna
Wiązka towarowa x ∈ a, b , a, b ∈ ℜn+ należąca do odcinka a, b jest mieszanką wiązek
a i b; t-część towaru a została zmieszana z (1-t)-częścią towaru b.
Zbiór C ⊂ ℜn nazywamy wypukłym, gdy:
∀ a, b ⊂ C
a ,b∈C
b
a
a
b
to jest zbiór wypukły
to nie jest zbiór wypukły
RELACJA PREFERENCJI ≥
Mówimy, że pole preferencji ( X , ≥) jest słabo [silnie] wypukłe (α ) , gdy przestrzeń
towarów X jest zbiorem wypukłym oraz
(α) ∀ zbiór {x ∈ X : x ≥ a} jest zbiorem wypukłym
a∈X
[(β)
∀ ∀ ( x ≥ y, x ≠ y) ⇒ tx + (1 − t ) y > y ]
t∈( 0 ,1) x , y∈X
Ćwiczenie
1.) Relacja preferencji S ⊂ X × X jest ciągła ⇔ gdy zbiór S jest otwarty w X × X
Funkcję f : X → ℜ określoną na zbiorze wypukłym X ⊂ ℜn nazywamy
quasi-wklęsłą, gdy:
∀ ∀ f (αx + βy) ≥ min{ f ( x), f ( y)}
x , y∈ X α , β ≥ 0
x ≠ y α + β =1
Jeżeli w definicji quasi-wklęsłości zastąpimy słabą nierówność prze silną nierówność >, to
otrzymamy definicję funkcji silnie quasi-wklęsłej.
Funkcję f nazywamy quasi-wypukłą (silnie quasi-wypukłą), jeśli funkcja (-f) jest
quasi-wklęsła (silnie quasi-wklęsła).
Twierdzenie
Pole preferencji ( X , ≥) jest słabo (silnie) wypukłe ⇔ gdy związana z nim funkcja
użyteczności jest quasi-wklęsła (silnie quasi-wklęsła).
Dowód wynika z definicji.
Ćwiczenia
Niech X ⊂ ℜn będzie zbiorem wypukłym. Funkcję f : X → ℜ nazywamy wklęsłą
(wypukłą) na X, gdy:
∀ ∀ f (αx + βy) ≥ αf ( x) + βf ( y) [ f (αx + βy) ≤ αf ( x) + βf ( y)]
x , y∈ X α , β ≥ 0
x ≠ y α + β =1
Jeśli z powyższej definicji znak słabej nierówności zastąpimy znakiem silnej nierówności, to
otrzymujemy definicję silnej wklęsłości (wypukłości).
1.) Pokazać, że każda funkcja wklęsła (silnie wklęsła) jest quasi-wklęsła (silnie
quasi-wklęsła).
2.) Funkcję quasi-wklęsłą f : X → ℜ nazywamy mocno quasi-wklęsłą, gdy:
∀ ∀ f ( x) > f ( y) ⇒ f (αx + βy) > f ( y)
α , β > 0 x , y∈ X
α + β =1
Pokazać, że każda funkcja mocno quasi-wklęsła jest silnie quasi-wklęsła.
3.) Podać przykład funkcji mocno quasi-wklęsłej, która nie jest silnie quasi-wklęsła.
MODEL ARROWA-DEBREU GOSPODARKI KONKURENCYJNEJ
W SENSIE WALRASA
W tej części zostanie udowodnione istnienie stanu równowagi w modelu równowagi w
modelu gospodarki rynkowej. Jest to ukoronowanie dwustuletnich badań zapoczątkowanych
przez Adama Smitha, kontynuowanych przez Leona Walrasa i Vilfredo Pareto, a
uwieńczonych sukcesem przez laureatów nagrody Nobla z ekonomii Gerarda Debreu i
Kennetha Arrowa.
Przystępujemy teraz do opisu modelu Arrowa-Debreu.
Na rynku występują:
-producenci (przedsiębiorstwa) oznaczeni liczbami k=1,...,m,
-konsumenci oznaczeni liczbami i=1,...,l.
Przy tym:
(I)
Możliwości technologiczne k-tego producenta są opisane przez zbiór Yk ⊂ ℜ n procesów
produkcyjnych (technologii). O zbiorach Yk zakładamy, że są zwarte, wypukłe oraz 0 ∈ Yk
(warunek 0 ∈ Yk oznacza możliwość zaprzestania produkcji przez k-tego producenta).
Przyjmuje się, że udziały konsumentów w zyskach k-tego producenta wynoszą w sumie
100%, tzn., jeśli k-ty producent osiągnął zysk 100%, tzn., jeśli k-ty producent osiągnął zysk
Π k , to i-ty konsument otrzymuje dywidendę α ik Π k , gdzie
l
∑α
i =1
ik
= 1 dla każdego k ≤ m
( II )
Każdy i-ty konsument dysponuje wiązką ai ∈ ℜ n+ zapasów początkowych oraz zbiorem
X i ⊂ ℜ n wiązek towarowych, jakie konsument uważa za możliwe do skonsumowania.
Przestrzeń towarów X i jest zbiorem domkniętym, wypukłym, ograniczonym z dołu i dla
każdego i ≤ l spełnia warunki:
∞
⎯
⎯→ ∞ , to
( a II ) jeśli ciąg wiązek towarowych {xt }t =1 ⊂ X i jest taki, że xt ⎯t⎯
⎯⎯→ ∞
⎯
⎯→ ∞ (gdzie xt ( j ) oznacza j-tą współrzędną
także dla każdego; j ≤ n xt ( j ) ⎯t⎯
⎯⎯→ ∞
punktu xt , j ≤ n ).
( bII ) ∃ x < ai
x∈ X i
( III )
Upodobania konsumenta opisane są za pomocą funkcji użyteczności ui : X i ⎯
⎯→ ℜ , i ≤ l
(liczby ui (x) nazywamy użytecznością wiązki towarowej x ∈ X i ). Przy tym spełnione są
następujące założenia:
⎯→ ℜ są ciągłe oraz silnie quasi-wklęsłe, tzn.;
( a III ) funkcje użyteczności ui : X i ⎯
∀ ∀ ui ( x) > ui ( y ) ⇒ ui (αx + β y ) > ui ( y )
α , β > 0 x , y∈ X i
α + β =1
( bIII ) ∀ ∃ ui ( x' ) > ui ( x)
x∈ X i x '∈ X i
W modelach typu Arrowa-Debreu często opuszcza się założenia zwartości przestrzeni
Yk zastępując je tzw. aksjomatami Koopmansa;
( a ) przestrzenie Yk ⊂ ℜn , k ≤ m , są zbiorami domkniętymi, wypukłymi,
ograniczonymi z dołu oraz 0 ∈ Yk ,
m
( b) przestrzeń Y := ∑ Yk spełnia warunek „braku rogu obfitości”: Y ∩ ℜn+ = {0} ,
k =1
m
( c ) przestrzeń Y := ∑ Yk spełnia warunek „nieodwracalności procesów
k =1
produkcyjnych” Y ∩ (−Y ) = {0}
gdzie A + B oznacza sumę algebraiczną zbiorów A i B : A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
podobnie A − B oznacza różnicę algebraiczną zbiorów A i B : A − B := {a − b : a ∈ A, b ∈ B} .
[
]
Układ wektorów w ℜn p; x1 ,..., xl ; y1 ,..., ym z wektorem cenowym p tworzy stan
równowagi konkurencyjnej w modelu Arrowa-Debreu, gdy:
1. Każdy k -ty producent maksymalizuje swój zysk przy cenach równowagi p ,
{
∀ p, y k = max p, y : y ∈ Yk
k ≤m
}
2. Spełnione są indywidualne bilanse dochodów i wydatków konsumentów
m
∀ p, x i < I i ( p ) , gdzie I i ( p) = p, a i + ∑α ik p, y k
i ≤l
k =1
3. Każdy i -ty konsument wybiera najlepszy jego zdaniem koszyk towarów x i
4. Spełniony jest globalny (całkowity) bilans popytu i podaży
l
l
m
∑ x ≤ ∑a + ∑ y
i =1
i
i =1
i
k =1
k
przy czym, jeśli p j > 0 ,to
l
l
m
i =1
i =1
k =1
∑ xi ( j ) = ∑ ai ( j ) + ∑ yk ( j ) .
Twierdzenie
W modelu Arrowa-Debreu przy założeniach (I)-(III) istnieje stan równowagi.
Dowód tego twierdzenia zostanie podany w oparciu o twierdzenie Gale’a-Nikaido. Ale zanim
do tego dojdziemy potrzebne nam będą pomocnicze lematy oraz konstrukcje multifunkcji
popytu i podaży i zbadanie ich własności. Udowodnimy też prawo Walrasa.
____
- K.Arrow, G.Debreu, Existence an equilibrium for a competetive economy, Econometria 22
(1954),
- G.Debreu, Theory of Value, John Wiley and Sons 1959, Yale University Press 1987,
- H.Nikaido, Introduction to sets and muppings in modern economics North Holland 1970.
_____
Ustalmy pewne stałe oznaczenia, które będą występowały w tym rozdziale.
Niech Δ n ⊂ ℜn+ , Δ n = [e0 ,..., en ] , oznacza (n − 1) -wymiarowy sympleks standardowy, który
będziemy interpretować jako zbiór wszystkich znormalizowanych wektorów cenowych
p = ( p1 ,..., pn ) ;
n
p ∈ Δ n :⇔ ∑ p j = 1 ∧ ∀ p j ≥ 0 ,
j =1
j
gdzie p j = p( j ) oznacza cenę j -tego towaru jednostkowego. Natomiast wartość wiązki
towarowej x ∈ ℜn+ wyrażać będziemy przez iloczyn skalarny
n
p, x := ∑ p j x j
j =1
Lemat 1
Niech przestrzeń X i spełnia założenia ( aII ). Wtedy dla każdego ciągu {xm }∞m =1 ⊂ X i ,
(
) (
)
{ pm }∞m =1 ⊂ Δ n prawdziwa jest implikacja: xm ⎯m⎯⎯⎯→
⎯
⎯
→ ∞ ⇒ pm , xm ⎯m⎯⎯⎯→
⎯
⎯
→∞ .
∞
∞
Dowód
Załóżmy, że xm ⎯m⎯⎯⎯→
⎯
⎯
→ ∞ i przypuśćmy, że istnieją podciągi xmk , pmk takie,
∞
{ }{ }
⎯
⎯→ A < ∞ . Ponieważ sympleks Δ n jest zbiorem zwartym możemy
że pmk , xmk ⎯k⎯
⎯
⎯→ ∞
dodatkowo założyć, że pmk ⎯k⎯
⎯
⎯→ p ∈ Δ n . Z faktu, że
⎯
⎯→ ∞
n
∑ p( j ) = 1 ,
p( j ) ≥ 0 ,
j =1
wnioskujemy, że istnieje j ≤ n takie, że p( j ) > 0 . Ponieważ xm ⎯m⎯⎯⎯→
⎯
⎯
→ ∞ , z założenia
∞
⎯
⎯
→ ∞ . Stąd pmk ( j ) xmk ( j ) ⎯k⎯
⎯
⎯→ ∞ . Ale
( aII ) otrzymujemy, że xm ( j ) ⎯m⎯⎯⎯→
∞
⎯
⎯→ ∞
pmk ( j ) xmk ( j ) ≤ pmk , xmk . Zatem pmk , xmk ⎯k⎯
⎯
⎯→ ∞ . Sprzeczność z przypuszczeniem.
⎯
⎯→ ∞
Lemat 2
Funkcja Π k : Δ n ⎯
⎯→ ℜ maksymalizacji zysku k -tego producenta wyrażona wzorem
Π k ( p ) := max{ p, y : y ∈ Yk }
jest ciągła.
Dowód
Funkcja f : Δ n × Yk ⎯
⎯→ ℜ , f ( p, y ) = p, y , iloczynu skalarnego jest ciągła.
Udowodniliśmy w ogólnym przypadku, że funkcja g ( p ) = sup f ( p, y ) też jest ciągła.
y∈Yk
MULTIFUNKCJA PODAŻY (supply function)
k-tego producenta
Definiujemy ją w następujący sposób:
Ψk ( p) := { y ∈ Yk : p, y = max p, z }
z∈Yk
Stosując zapis funkcji Π k , będący maksymalizacją zysku k -tego producenta, otrzymujemy:
Ψk ( p ) := { y ∈ Yk : Π k ( p) = p, y }
Multifunkcja Ψk ma następujące własności:
1. Zbiór Ψk ( p ) jest niepusty (jest to konsekwencja twierdzenia Weierstrassa o
przyjmowaniu wartości największej).
2. Zbiór Ψk ( p ) jest wypukły, bo jeśli p, y1 = Π k ( p ) = p, y2 , to dla każdego t ∈ [0,1];
p, ty1 + (1 − t ) y2 = t p, y1 + (1 − t ) p, y2 = tΠ k ( p) + (1 − t )Π k ( p ) = Π k ( p)
3. Zbiór Ψk ( p ) jest zwarty, ponieważ przestrzeń Yk jest zwarta, więc wystarczy
zauważyć, że Ψk ( p) jest podzbiorem domkniętym. W tym celu ustalmy p ∈ Δ n .
⎯→ ℜ , g ( y ) = p, y przyjmuje na zbiorze zwartym Yk wartość
Funkcja g : Yk ⎯
największą Π k ( p ) . Stąd Ψk ( p) = g −1 (Π k ( p)) jest zbiorem domkniętym jako
przeciwobraz zbioru jednopunktowego poprzez funkcję ciągłą.
4. Wykres multifunkcji Ψk ,
W (Ψk ) :=
Υ{ p} × Ψ ( p)
k
p∈Δ n
jest podzbiorem zwartym w Δ n × Yk .
Istotnie, ponieważ Δ n × Ψk jest zbiorem zwartym, więc wystarczy udowodnić
domkniętość wykresu W (Ψk ) .
⎯
⎯
→( p, y ) , gdzie ym ∈ Ψk ( pm ) . Pokażemy, że y ∈ Ψk ( p) , tzn.,
Niech ( pm , ym ) ⎯m⎯⎯⎯→
∞
że p, y = Π k ( p ) = max p, z .
z∈Yk
Ustalmy punkt y ∈ Yk taki, że Π k ( p) = p, y .
Z definicji punktów ym mamy: pm , y ≤ pm , ym ,
stąd przy m ⎯
⎯→ ∞ otrzymujemy: p, y ≤ p, y .
Ponieważ Π k ( p) = p, y , więc p, y ≥ p, y .
Otrzymaliśmy równość: Π k ( p) = p, y = p, y , a to oznacza, że y ∈ Ψk ( p) .
Własności (1), (3) i (4) multifunkcji podanej Ψk są konsekwencją ogólniejszego
twierdzenia.
Twierdzenie
Jeśli f : X × Y ⎯
⎯→ℜ jest funkcją ciągłą określoną na iloczynie kartezjańskim
przestrzeni zwartych, to multifunkcja ψ : X ⎯
⎯→ 2Y ,
(1) Ψ ( x) := { y ∈ Y : f ( x, y ) = sup f ( x, y )}
y∈Y
ma wykres W (Ψ ) :=
Υ{x} ×ψ ( x) jest zbiorem domkniętym w
X ×Y .
x∈ X
Dowód
Ustalmy ( x, y ) ∉W (Ψ ) . Aby udowodnić domkniętość wykresu W (Ψ ) wystarczy
znaleźć zbiory otwarte U ⊂ X , V ⊂ Y takie, że x ∈ U , y ∈ V oraz
(2) (U × V ) ∩ W (Ψ ) = φ .
Z twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu wartości największej istnieje y ∈ Ψ (x) . Z kolei
(1) oraz ( x, y ) ∉W (Ψ ) pociągają, że istnieje liczba r ∈ ℜ taka, że
(3) f ( x, y ) < r < f ( x, y ) .
Z ciągłości odwzorowania f wynika istnienie zbiorów otwartych U1 ,U 2 ⊂ X , V ⊂ Y takich,
że x ∈ U1 ∩ U 2 , y ∈ V oraz f (U1 × V ) ⊂ (−∞, r ) i f (U 2 × { y}) ⊂ (r , ∞) . Niech U := U1 ∩ U 2 ,
wtedy:
(4) f (U × V ) ⊂ (−∞, r ) oraz f U × { y} ⊂ (r , ∞) .
Warunek (4) pociąga warunek (2), bo dla ( x' , y ' ) ∈ U × V
(
)
f ( x' , y ' ) < r < f ( x' , y ) ≤ sup f ( x' , z ) .
z∈Y
FUNKCJA OGRANICZENIA BUDŻETOWEGO
m
I i ( p) := p, ai + ∑α ik Π k ( p)
k =1
⎯→[0, ∞)
dla p ∈ Δ n , i = 1,..., l I i : Δ n ⎯
Z ciągłości funkcji Π k maksymalizacji zysku k -tego producenta wynika natychmiast
⎯→ ℜ ograniczenia budżetowego i -tego konsumenta dla i = 1,..., l .
ciągłość funkcji I i : Δ n ⎯
Zbiór budżetowy Di ( p) i -tego konsumenta
⎯→ ℜ ograniczenia budżetowego możemy
Mając już zdefiniowane funkcje I i : Δ n ⎯
zdefiniować odwzorowanie wielowartościowe Di : Δ n ⎯
⎯→ 2 X i zbioru budżetowego i -tego
konsumenta.
Dla każdego p ∈ Δ n oraz i ≤ l niech
Di ( p ) := {x ∈ X i : p, x ≤ I i ( p)}
Z warunku (bII ) wynika, że zbiory Di ( p ) są niepuste, a z definicji tych zbiorów i
ciągłości iloczynu skalarnego otrzymujemy ich domkniętość. Zauważmy też, że zbiory Di ( p )
są wypukłe. Istotnie niech x, x'∈ Di ( p) oraz t ∈ [0,1] . Wtedy z wypukłości zbiorów X i ,
tx + (1 − t ) x'∈ X i oraz p, tx + (1 − t ) x' = t p, x + (1 − t ) p, x' ≤ tΙ i ( p ) + (1 − t ) I i ( p) = I i ( p) , co
oznacza, że tx + (1 − t ) x'∈ Di ( p ) .
Zbudujemy teraz charakter ciągłości multifunkcji Di ograniczenia budżetowego. W
tym celu wprowadzimy pojęcie prawie ciągłości.
Odwzorowanie wielowartościowe D : P ⎯
⎯→ 2 X o niepustych wartościach D( p) ,
D( p) ≠ Ø dla p ∈ P , gdzie P oraz Y są przestrzeniami metrycznymi nazwiemy prawie
⎯
⎯
→ p , spełnione są dwa
ciągłym, gdy dla każdego ciągu zbieżnego { pm } ⊂ P , pm ⎯m⎯⎯⎯→
∞
warunki:
⎯
⎯
→ x) ⇒ x ∈ D( p) ,
(a) (warunek półciągłości z góry): ( xm ∈ D( pm ) ∧ xm ⎯m⎯⎯⎯→
∞
(b) (warunek prawie półciągłości z dołu):
∀
∃
∃ xk ∈ D( pmk ) ∧ xk ⎯⎯⎯⎯→ x .
x∈D ( p ) {m k }⊂ N { x k }
k⎯
⎯→ ∞
Twierdzenie
Multifunkcje Di : Δ n ⎯
⎯→ 2 X i , i ≤ l zbioru budżetowego są prawie ciągłe.
Dowód
Z poprzednich uwag wynika, że zbiory Di ( p ) są niepuste. Ustalmy ciąg zbieżny
⎯
⎯
→p.
{ pm } ⊂ Δ n , pm ⎯m⎯⎯⎯→
∞
⎯
⎯
→ x , gdzie xm ∈ Di ( pm ) tzn.
1) Sprawdzimy warunek (a). Niech xm ⎯m⎯⎯⎯→
∞
pm , xm ≤ I i ( pm ) . Przy m ⎯
⎯→ ∞ , z ciągłości funkcji I i oraz z ciągłości iloczynu
skalarnego otrzymujemy, że p, x ≤ I i ( p) , co oznacza, że x ∈ Di ( p) .
2) Sprawdzimy warunek (b). Ustalmy wiązkę x ∈ Di ( p) . Z warunku ( bII ) wynika, że
istnieje punkt x' taki, że x' < ai . Z określenia funkcji I i ograniczenia budżetowego
otrzymujemy, że p, x' < p, ai ≤ I i ( p) . Stąd już wynika, że dla każdego t ∈ (0,1) ;
p, tx + (1 − t ) x' < I i ( p) .
1
oraz xk := tk x + (1 − tk ) x' . Mamy xk ⎯⎯⎯⎯→ x oraz p, xk < I i ( p ) .
k⎯
⎯→ ∞
k
Ustalmy k . Ponieważ pm ⎯m⎯⎯⎯→
⎯
⎯
→ p , więc dla prawie wszystkich m
∞
Niech tk := 1 −
pm , xk < I i ( pm )
⎯→ ∞ daje
(bo w przeciwnym razie mielibyśmy I i ( pm ) ≤ pm , xk , co przy m ⎯
sprzeczność I i ( p) ≤ p, xk ).
Z powyższego wynika, że istnieje ciąg {mk } ⊂ N o tej własności, że:
∀ pmk , xk > I i ( pmk ) .
k
Z definicji Di ( p ) otrzymujemy, że xk ∈ Di ( pmk ) . Ponadto z wyboru punktów xk
otrzymujemy, że xk ⎯⎯⎯⎯→ x , co kończy dowód.
k ⎯⎯→ ∞
Z udowodnionego wyżej twierdzenia wynika, że wykresy multifunkcji Di są domknięte w
Δ n × X i . Stąd już wynika, że zbiory Di ( p ) są domknięte w X i ⊂ ℜn . Pokażemy, że zbiory
Di ( p ) są zwarte. Aby to pokazać wystarczy sprawdzić, że zbiory Di ( p ) są ograniczone.
Przypuśćmy, że istnieje ciąg {xm } ⊂ Di ( p) taki, że xm ⎯m⎯⎯⎯→
⎯
⎯
→ ∞ . Wówczas na mocy
∞
⎯
⎯
→ ∞ , sprzeczność z p, x m < I i ( p) .
lematu 1 otrzymujemy, że p, xm ⎯m⎯⎯⎯→
∞
MULTIFUNKCJA POPYTU i-tego konsumenta
(demand function)
ϕi ( p) := {x ∈ Di ( p) : ui ( x) = max ui ( z )}
z ∈ Di ( p )
gdzie p ∈ Δ n , i = 1,..., l
Zbadajmy najpierw niepustość i wypukłość zbiorów ϕi ( p) .
1. Zbiór ϕi ( p) jest niepusty. Wynika to z założenia ciągłości funkcji ui , zwartości zbiorów
Di ( p ) oraz twierdzenia Weierstrassa o przyjmowaniu wartości największej.
2. Zbiór ϕi ( p) jest wypukły. Niech x, x'∈ Di ( p ) . Z wypukłości zbiorów Di ( p ) wynika, że
tx + (1 − t ) x'∈ Di ( p ) , dla każdego t ∈ [0,1] . Niech x, x'∈ ϕi ( p) oraz t ∈ [0,1] . Wówczas
ui ( x) = ui ( x' ) = max ui ( z ) . Z założenia, że funkcja ui jest quasi-wklęsła otrzymujemy,
z ∈ Di ( p )
że ui (tx + (1 − t ) x' ) ≥ max{ui ( x), ui ( x' )} = max ui ( z ) . Stąd ui (tx + (1 − t ) x' ) = max ui ( z ) ,
z∈Di ( p )
z ∈ Di ( p )
co oznacza, że tx + (1 − t ) x'∈ ϕi ( p) .
3. W przypadku założenia, że funkcja użyteczności ui : X i ⎯
⎯→ ℜ są silnie quasi-wklęsłe
otrzymujemy, że zbiory ϕi ( p) są jednopunktowe. Wynika to z dowodu w punkcie 2.
4. Wykres W (ϕi ) :=
Υ{ p} × ϕ ( p) multifunkcji ϕ ( p) jest podzbiorem domkniętym w
i
i
p∈Δ n
Δ n × ℜn .
⎯
⎯
→ ∞ , gdzie xm ∈ ϕi ( pm ) . Pokażemy, że x ∈ ϕi ( p) , tzn.
Dowód Niech ( pm , xm ) ⎯m⎯⎯⎯→
∞
dla każdego x ∈ Di ( p ) , ui ( x) ≤ ui ( x) .Warunek (a) półciągłości z góry multifunkcji Di
zapewnia nam, że x ∈ Di ( p) . Z kolei z warunku (b) słabej półciągłości z dołu wynika, że
istnieje podciąg {mk } ⊂ N oraz ciąg {x k } ⊂ X taki, że x k ∈ Di ( pmk ) oraz x k ⎯⎯
⎯⎯
⎯→ x . Ale
k ⎯⎯→ ∞
⎯→ ∞ , z
z definicji multifunkcji ϕi wynika, że ui ( x k ) ≤ ui ( xmk ) dla każdego k . Przy k ⎯
ciągłości funkcji ui otrzymujemy, że ui ( x) ≤ ui ( x) .
5. Wykres W (ϕi ) ⊂ Δ n × ℜn jest podzbiorem zwartym.
Dowód Wobec 4 wystarczy pokazać, że zbiór W (ϕi ) jest ograniczony. Przypuśćmy, że
⎯
⎯
→∞ .
tak nie jest, tzn. istnieje ciąg {( pm , xm )}∞m =1 ⊂ W (ϕi ) taki, że ( pm , xm ) ⎯m⎯⎯⎯→
∞
⎯
⎯
→ ∞ . Z lematu 1
Ponieważ ciąg { pm } ⊂ Δ n jest ograniczony, więc xm ⎯m⎯⎯⎯→
∞
⎯
⎯
→ ∞ , co jest sprzeczne z pm , xm ≤ I i ( pm ) ≤ I , gdzie I
otrzymujemy, że pm , xm ⎯m⎯⎯⎯→
∞
⎯→ ℜ określonej na
jest liczbą ograniczającą zbiór wartości funkcji ciągłej I i : Δ n ⎯
zbiorze zwartym Δ n .
Dowód własności 4 podpowiada nam sformułowanie ogólniejszego twierdzenia dla
multifunkcji, którego dowód jest analogiczny do dowodu własności 4.
Twierdzenie
Niech P , X będą przestrzeniami metrycznymi, u : X ⎯
⎯→ ℜ funkcją ciągłą,
D:P⎯
⎯→ 2 X multifunkcją prawie ciągłą. Wtedy multifunkcja Φ : P ⎯
⎯→ 2 X określona
wzorem: Φ ( p ) := {x ∈ D ( p ) : u ( x) = max u ( z )} , p ∈ P
z∈D ( p )
jest półciągła z góry, o ile tylko Φ ( p ) ≠ Ø dla każdego p ∈ P .
Lemat 3
⎯→ ℜ będzie ciągłą funkcją użyteczności, która jest silnie quasiNiech ui : X i ⎯
wklęsła i spełnia warunek ( aIII ). Wtedy każdy punkt x ∈ ϕi ( p ) , tzn. spełniający warunek
ui ( x) = max ui ( x) spełnia równanie p, x = I i ( p) , tzn. leży na linii budżetowej o równaniu
x∈Di ( p )
p, x = I i ( p ) .
Dowód
Przypuśćmy, że p, x < I i ( p) . Z założenia ( aIII ) istnieje x'∈ X i taki, że
ui ( x' ) > ui ( x) . Z założenia silnej quasi-wklęsłości ui (tx'+ (1 − t ) x) > ui ( x) dla t ∈ (0,1) . Z
ciągłości funkcji ui dla dostatecznie małego t > 0 ; p, tx'+ (1 − t ) x < I i ( p) . Mamy
tx'+(1 − t ) x ∈ Di ( p ) oraz ui (tx '+ (1 − t ) x) > ui ( x) , dla dostatecznie małego t > 0 , co jest
sprzeczne z definicja punktu x .
PRAWO WALRASA
Oznaczmy przez (dla p ∈ Δ n ):
l
ϕ ( p ) := ∑ ϕi ( p ) - multifunkcja całkowitego popytu,
i =1
m
l
k =1
i =1
ψ ( p) := ∑ψ k ( p) + ∑ ai - multifunkcja całkowitej podaży,
χ ( p) := ψ ( p) − ϕ ( p) - multifunkcja całkowitej nadwyżki podaży nad popytem,
l
a := ∑ ai - całkowity zapas towarów początkowych.
i =1
Z faktu, że operacje algebraiczne sumy i różnicy, A ± B := {a ± b : a ∈ A, b ∈ B}
zachowują zwartość i wypukłość oraz z poprzednich własności multifunkcji ϕi i ψ k wynika,
że multifunkcja χ : Δ n ⎯
⎯→ 2ℜ całkowitej nadwyżki podaży nad popytem ma wykres
n
W ( χ ) ⊂ Δ n × ℜn zwarty oraz dla każdego p ∈ Δ n zbiór χ ( p ) jest niepusty, zwarty i wypukły.
Twierdzenie (Prawo Walrasa)
Dla dowolnego wektora cenowego p ∈ Δ n oraz z ∈ χ ( p) , gdzie z = y + a − x ,
y = y1 + ... + ym , x = x1 + ... + xl , zachodzi równość p, z = 0 .
Dowód
p, z = 0 ⇔ p, x = p, a + y ,
l
m
l
i =1
k =1
i =1
gdzie x = ∑ xi , xi ∈ ϕi ( p) ; y = ∑ yk , yk ∈ψ k ( p) ; a = ∑ ai .
Mamy:
l
l
p, x = p, ∑ xi = ∑ p, xi
i =1
l
∑
i =1
l
x i ∈ϕ i ( p ), lemat 3
=
i =1
m
l
∑ Ιi ( p)
def .Ι i ( p )
i =1
m
=
m
⎤
⎡
p
,
a
α ik π k ( p)⎥ =
+
∑
∑
i
⎢
i =1 ⎣
k =1
⎦
l
m
l
p, ai + ∑∑ α ik p, yk = p, a + ∑ (∑ α ik ) p, yk = p, a + ∑ p, yk = p, a + p, y =
i =1 k =1
k =1 i =1
k =1
14 2 43
=1
p, a + y .
Stąd p, z = 0 .
Prawo Walrasa mówi, że przy dowolnym układaniu cen (nie tylko przy cenach
równowagi) wartość całkowitego popytu na towary jest równa ich całkowitej podaży.
Zacytujmy teraz twierdzenie Gule’a-Nikaido w takiej postaci, jaka nam będzie
potrzebna do dowodu istnienia punktu równowagi (=stanu równowagi) w modelu ArrowaDebreu.
Twierdzenie Gule’a-Nikaido
n
Niech χ : Δ n ⎯
⎯→ 2ℜ będzie multifunkcją taką, że jej wykres W ( χ ) ⊂ Δ n × ℜn jest
podzbiorem zwartym oraz dla każdego p ∈ Δn zbiór χ ( p) jest niepusty, zwarty oraz wypukły.
Ponadto niech będzie spełnione prawo Walrasa:
∀ ∀ p, z ≥ 0
p∈Δ n z∈χ ( p )
Wówczas istnieje p ∈ Δn takie, że χ ( p) ∩ ℜn+ ≠ φ .
Dowód twierdzenia Arrowa-Debreu o istnieniu stanu równowagi.
Na podstawie twierdzenia Gule’a-Nikaido istnieje punkt z ∈ χ ( p ) ∩ ℜn+ , gdzie
χ ( p) = ψ ( p) − ϕ ( p) , tzn. z = y + a − x , y = y1 + ... + y m , x = x1 + ... + x l , x i ∈ ϕi ( p ) ,
y k ∈ψ k ( p ) , p ∈ Δ n . Z faktu, że z = y + a − x ≥ 0 oraz p, z = 0 otrzymujemy, że x ≤ y + a
oraz ∀ p j > 0 ⇒ x j = y ( j ) + a( j ) .
j
Uwaga
Z naszych założeń nie wynika, że p > 0 (tzn. ∀ p( j ) > 0 ). Aby otrzymać silna
j≤n
nierówność p( j ) > 0 można dodatkowo założyć, że w modelu Arrowa-Debreu zachodzi dla
każdego j ≤ n :
(*) p j = 0 ⇒ x( j ) > y ( j ) + a ( j )
(przy cenie zerowej na j -ty towar, popyt przewyższa podaż). Założenie (*) można uznać za
naturalne z punktu widzenia ekonomii. Wtedy oczywiście z dowodu twierdzenia ArrowaDebreu otrzymujemy, że p > 0 oraz x = y + a .
Uwaga
Stan równowagi jest optymalny w sensie Pareto. Biorąc pod uwagę fakt, że konsument
jako człowiek, swoje działanie w sferze produkcji podporządkowuje nadrzędnemu celowi,
jakim jest zaspokojenie jego potrzeb i gustów konsumpcyjnych, punkt równowagi w modelu
Arrowa-Debreu jest optymalny w sensie Pareto, tzn. jeśli układ wektorów
[ p, x1 ,..., x l , y1 ,..., y m ] tworzy stan równowagi, to nie istnieje układ wektorów
[ p, x1 ,..., x l , y1 ,..., y m ] , który tworzy stan równowagi oraz
() ()
( ) ( )
∀ ui x i ≥ ui x i ∧ ∃ u j x j > u j x j
i ≤l
j ≤l
Powyższa uwaga wynika z porównania z definicją funkcji popytu.
Ćwiczenia
⎯→ ℜ i -tego
1. Pokazać, że bez założenia, że funkcje użyteczności ui : X i ⎯
konsumenta, i ≤ l są silnie quasi-wklęsłe otrzymujemy uogólnione prawo Walrasa:
∀ ∀ p, z ≥ 0
p∈Δ n z∈χ ( p )
(Przy dowolnym układzie cen (nie tylko przy cenach równowagi) ogólny popyt nie
przekracza podaży).
⎯→ ℜ użyteczności i -tego
2. Pokazać, że przy założeniu, że funkcje ui : X i ⎯
konsumenta są silnie quasi-wklęsłe, to multifunkcje ϕi popytu i -tego konsumenta
mają wartości jednopunktowe.
3. Pokazać, że jeśli funkcje ui : X i ⎯
⎯→ ℜ użyteczności są quasi-wklęsłe, to dla każdego
p ∈ Δ n moc ϕi ( p) = 1 lub moc ϕi ( p) = continuum .
4. Sprawdzić, że zakładając w modelu Arrowa-Debreu tylko quasi-wklęsłość zamiast
⎯→ ℜ otrzymamy układ
silnej quasi-wklęsłości funkcji użyteczności ui : X i ⎯
punktów [ p, x1 ,..., x l , y1 ,..., y m ] spełniający warunki 1, 2, 3 definicji stanu równowagi
oraz
4’
l
l
m
i =1
i =1
k =1
∑ xi ≤ ∑ ai + ∑ y k
(tzn. na ogół nie otrzymujemy równości).
CIĄGŁOŚĆ MULTIFUNKCJI
- warunki równoważne
⎯→ Y oznaczać
Załóżmy, że przestrzenie ( X , δ ) , (Y ,σ ) są metryczne. Przez f : X ⎯
będziemy dowolne odwzorowanie, a przez F : X ⎯
⎯→ 2Y multifunkcję taką, że F ( x) ⊂ Y
jest podzbiorem domkniętym i niepustym. Udowodnić:
⎯→ Y :
1. Następujące warunki są równoważne dla odwzorowania f : X ⎯
a) (definicja ciągłości odwzorowania)
Dla każdego zbioru otwartego U ⊂ Y , przeciwobraz f −1 (U ) też jest otwarty w
X.
b) (warunek Cauchy’ego)
∀ ∀ ∃ ∀ ρ ( x, x0 ) < δ ⇒ σ ( f ( x), f ( x0 )) < ε
x 0 ∈ X ε > 0 δ > 0 x∈ X
c) (warunek Heinego)
∀ ( xn ⎯n⎯
⎯
⎯→ x0 ) ⇒ ( f ( xn ) ⎯n⎯
⎯
⎯→ f ( x0 ))
⎯
⎯→ ∞
⎯
⎯→ ∞
{ x n }⊂ X
2. Następujące warunki są równoważne dla multifunkcji F : X ⎯
⎯→ 2Y :
a) (definicja półciągłości z góry)
Dla każdego zbioru otwartego U ⊂ Y , zbiór F −1 (U ) := {x ∈ X : F ( x) ⊂ U } jest
otwarty w X .
b) (warunek Cauchy’ego)
∀ ∀ ∃ ∀ ρ ( x, x0 ) < δ ⇒ F ( x) ⊂ K ( F ( x0 ), ε )
x 0 ∈ X ε > 0 δ > 0 x∈ X
(gdzie K ( A, ε ) = { y ∈ Y : d ( y, A) < ε } = { y ∈ Y : inf σ ( y, a) < ε } )
a∈ A
c) (warunek Heinego)
∀ ∀ [( xn , yn ) ⎯n⎯
⎯
⎯→( x0 , y0 ) ∧ yn ∈ F ( xn )] ⇒ y0 ∈ F ( x0 )
⎯
⎯→ ∞
{ x n }⊂ X { y n ⊂ Y }
⎯→ 2Y :
3. Następujące warunki są równoważne dla multifunkcji F : X ⎯
a) (definicja półciągłości z dołu)
Dla każdego zbioru otwartego U ⊂ Y , zbiór F−1 (U ) := {x ∈ X : F ( x) ∩ U ≠ Ø}
jest otwarty w X .
b) (warunek Cauchy’ego)
∀ ∀ ∀ ∃ ∀ ρ ( x, x0 ) < δ ⇒ d ( y0 , F ( x)) < ε
x 0 ∈ X y 0 ∈F ( x 0 ) ε > 0 δ > 0 x∈ X
c)
∀ ( xn ⎯n⎯
⎯
⎯→ x0 ) ⇒ ( ∀
⎯
⎯→ ∞
{ x n }⊂ X
∃ yn ∈ F ( xn ) ∧ yn ⎯n⎯
⎯
⎯→ y0 )
⎯
⎯→ ∞
y 0 ∈ F ( x 0 ) { y n }⊂ Y
Multifunkcję nazywamy ciągłą, gdy jest jednocześnie półciągła z góry i półciągła z dołu.
⎯→ 2ℜ
4. Sprawdzić, że multifunkcja F : [0,1] ⎯
1
⎧
⎪{sin } dla x > 0
F ( x) := ⎨
x
⎪⎩[−1,1] dla x = 0
jest prawie ciągła (rysunek)
y
x
5. Który z rysunków przedstawia wykres multifunkcji F : ℜ ⎯
⎯→ 2ℜ półciągłej z góry, z
dołu i ciągłej?