lim lim
Transkrypt
lim lim
AKADEMIA GÓRNICZO – HUTNICZA WYDZIAŁ IMiR ZADANIA Z MATEMATYKI DLA ROKU I ZESTAW VI / SEMESTR II 1 . Wyznaczyć dziedziny podanych niżej funkcji : a) z = a 2 − x 2 − y 2 , b) z = 1 xy , c) z = 4 − x2 − y2 y −1 , g) z = x sin y . x y może dążyć do różnych 2 . Wykazać , że dla x → 0 i y → 0 funkcja u = x−y wartości liczbowych .Podać przykłady takiego sposobu dążenia punktu (x , y) do punktu (0 , 0) , dla którego: lim u = 3 , lim u = 2 , lim u = 1 , lim u = 0 , lim u = -2. 3 . Wykazać , że : sin( xy ) sin( xy ) 2 − xy + 4 1 = − , b) lim = 1 , c) lim =0 . a) lim x 4 xy ( x , y ) →( 0,0) xy ( x , y ) →( 0 , 0 ) ( x , y ) →( 0 , 0 ) d) z = xy , e) z = x + y−x x 2 − y 2 , f) z = arcsin 4 . Narysować obraz geometryczny funkcji : ⎧1, gdyxy > 0 ⎪ z = F ( x , y ) = ⎨0, gdyxy = 0 ⎪−1, gdyxy < 0 ⎩ i pokazać na nim linie nieciągłości funkcji . 5 . Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego następujących funkcji : ( a) z = 5x y − y + 7 2 f) z = arcsin 3 ) 3 x2 − y2 , b) z = x y + , g) z = lntg x2 + y2 y 3 x ( , c) z = ln x + x + y 2 2 ) , d) z = e − x y 1 − xy x sin xyπ , h) z = 2 , i) z = xye , y 1 + xy 2 j) z = x + y − x + y 2 2 w punkcie (3,4) , k) z = ⎛ x + y⎞ x+y . 1− ⎜ ⎟ + arcsin xy ⎝ xy ⎠ 6 . Jaki kąt tworzy z dodatnim kierunkiem osi Oy styczna do krzywej : z= 1 + x 2 + y 2 , x = 1 w punkcie ( 1 , 1 , 3) ? 7 . Powierzchnię z = x + 2 x + 3 y − 4 przecięto płaszczyzną y = 1 . Znaleźć równanie krzywej przecięcia i równanie stycznej do krzywej przecięcia w punkcie , którego współrzędna x = 1 . 8 . Pod jakim kątem przecinają się krzywe płaskie otrzymane z przecięcia się y2 x2 + y2 i z= z płaszczyzną y = 2 ? powierzchni z = x 2 + 6 3 2