Optymalizacja procesów cieplnych ( ∑

Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
1
Wykład 9
Metoda Kelley’a charakteryzuje się tym, że ze wzrostem wartości czynnika kary
Pj (Pj ' < Pj ' ' < Pj ' ' ' < K) punkt przybliżający optimum dąży do prawdziwego punktu
optymalnego w taki sposób, iż kolejne przybliżenia wypadają zawsze nieco na zewnątrz
ograniczeń.
Metoda Carolla prowadzi natomiast do takiej funkcji zmodyfikowanej Sz, dla której
punkty przybliżające optimum wypadają zawsze wewnątrz obszaru dozwolonego.
W przypadku ograniczeń nierównościowych:
ϕ j ( y 1 , y 2 , K, y s ) ≤ 0
j = l + 1, l + 2,K, m
(8.75)
funkcja zmodyfikowana Sz w metodzie Carolla ma postać:
Sz = S − P
1
j= l +1 ϕ j
m
∑
gdzie wartości czynnika kary P są następujące:
−
P > 0 dla minimalizacji funkcji Sz
−
P < 0 dla maksymalizacji funkcji Sz.
(8.76)
Część I
2
Wykład 9
S
Sz
0
z
(y)
0 < |P’’’| < |P’’| < |P’|
S’’’
S’z (y
)
S
Sz
S’’z(y)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
P’’’
S(
y)
P’
P’’
S(y)
P’’’
b
(y
S’ z
y
0 < |P’’’| < |P’’| < |P’|
0
c
P’’
)
’ (y
S’’ z y)
(
S’’ z
P’
)
y
c
b
Dla funkcji Sz (8.76) badanie początkowe jest prowadzone dla największej wartości |P|.
Lepsze przybliżenia uzyskuje się następnie dla coraz to mniejszych |P|, tzn.:
P' > P' ' > P' ' ' > K
(8.77)
Podczas zbliżania się do któregokolwiek z ograniczeń funkcja Sz dąży do:
(+ ∞ ) w przypadku minimalizacji
minus nieskończoności (− ∞ ) w przypadku maksymalizacji
- plus nieskończoności
-
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
3
Wykład 9
Procedura obliczeniowa w metodzie Carolla:
0
1) Ustalić punkt startowy Y spełniający ograniczenia
ϕ j (Y ) ≤ 0
(8.75a)
Y – oznacza wektor zmiennych y1 , y 2 ,K, y s
2) Znaleźć optimum funkcji zmodyfikowanej S z '
S z ' = S − P'
1
j= l +1 ϕ j
m
∑
(8.76’)
w punkcie Y ' dla parametru P = P' będącego liczbą o małej wartości, z wykorzystaniem
dowolnej metody szukania ekstremum bez ograniczeń.
3) Punkt Y ' przyjąć jako startowy do wyznaczenia optimum funkcji S z ' '
S z ' ' = S − P' '
w punkcie
Y' '
dla parametru
1
j= l +1 ϕ j
m
∑
(8.76’’)
P = P' ' < P' , z zastosowaniem metody przyjętej w
punkcie 2)
4) Punkt Y ' ' przyjąć jako startowy do wyznaczenia optimum funkcji
5)
S z ' ' ' = S − P' ' '
1
j= l +1 ϕ j
m
∑
w punkcie Y ' ' ' dla parametru P = P' ' ' < P' ' ustaloną metodą.
(8.76’’’)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
4
Wykład 9
6) Obliczenia kontynuować dla kolejnych parametrów P
IV
< P V < P VI < K do
momentu uzyskania zadowalającego zbliżania się do rzeczywistego punktu
optymalnego.
Własności metody Carolla:
1°
Jeśli początkowa wartość P = P' jest dostatecznie mała, to dobre przybliżenie
optimum można osiągnąć od razu w pierwszym etapie.
2°
Mała wartość P' powoduje dużą asymetrię powierzchni S z ' , co w przypadku
użycia kwadratowo zbieżnych metod szukane optimum nie będzie szybko
znalezione. Jest to powód, dla którego stosuje się procedurę wieloetapową:
P' > P' ' ' > P' ' ' > K itd.
3°
Jeśli przyjmie się zbyt dużą wartość P' a następnie duże P' ' , P' ' ' itd., to
(
IV
V
przybliżenia optimum uzyskane w kolejnych etapach P , P , P
VI
)
K zależą
silnie od ograniczeń, co oznacza, że będą położone blisko centrum badanego
obszaru.
4°
Istnieją odpowiednie wzory umożliwiające szacowanie wartości P' , P' ' , P' ' ' ,K w
zależności od bieżących wartości składowych gradientów funkcji Sz i ϕ j .
Jeśli występują jednocześnie ograniczenia równościowe
ϕi (y1 , y 2 ,K y s ) = 0
i = 1,2,K, l
(8.25a)
ϕ j (y1 , y 2 ,K y s ) ≤ 0
j = l + 1,l + 2,K,m
(8.75a)
i nierównościowe
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
5
Wykład 9
to zmodyfikowana funkcja kryterialna Sz w przypadku minimalizacji metodą Carolla
przyjmuje postać:
m 1
1 l 2
Sz = S +
∑ ϕi − P ∑ ϕ
P i =1
j= l +1 j
; P>0
(8.78)
Rola drugiego składnika po prawej stronie wzoru (8.78) polega na dodaniu ( w przypadku
minimalizacji ) nieujemnego członu kary, który jest różny od zera, jeśli nie jest spełnione
przynajmniej jedno ograniczenie równościowe.
W przypadku maksymalizacji stosuje się funkcję kryterialną w postaci:
Sz = S −
m 1
1 l 2
ϕ
+
P
∑ i
∑
P i =1
j= l +1 ϕ j
; P>0
(8.79)
w której drugi człon jest ujemny, jeśli nie jest spełnione przynajmniej jedno ograniczenie
równościowe.
Przykład: Zastosowanie funkcji kary postaci Carolla do określenia minimalnego kosztu
powietrza suszącego.
W suszarce fluidalnej pracującej w sposób ciągły, przy dużym nadmiarze przepływu
powietrza w stosunku do wydatku sypkiego ciała stałego, należy osiągnąć dostatecznie
niską wilgotność materiału opuszczającego aparat. Z badań równowagi suszarniczej
materiału wynika, że równowaga ta nie zależy od temperatury, co wskazuje, że
osiągnięcie wymaganej wilgotności końcowej ciała stałego jest uwarunkowane, z punktu
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
6
Wykład 9
widzenia statyki procesu, użyciem powietrza o odpowiednio niskiej wilgotności
względnej β określonej wzorem:
 Pp 

β = 
P
 nas  T
(8.80)
w którym Pp oznacza ciśnienie cząstkowe zawartej w powietrzu pary wodnej, Pnas jest
ciśnieniem nasycenia pary w powietrzu o temperaturze T.
Dla suszonego materiału warunek β ≤ 0.1 zapewnia uzyskanie wilgotności
końcowej, wymaganej przez normy. Najniższa, dopuszczalna ze względu na kinetykę,
(
)
temperatura gazu może wynosić T∗ = 333.2 K 60 C . Materiał jest wrażliwy na
temperaturę
i
(
dlatego
)
temperatura
powietrza
o
nie
może
być
wyższa
niż
T ∗ = 373.2 K 100o C . W aparacie panuje ciśnienie otoczenia Pot = 105 N / m 2 . Należy
wyznaczyć temperaturę T [K] i wilgotność bezwzględną X [kg/kg] powietrza suszącego
tak, aby koszt powietrza mierzony przy pomocy jego egzergii Bg [kJ/kg] osiągnął
minimum.
Wilgotność bezwzględna X określona jest zależnością
X=
mp
(8.81)
mg
która wyraża ilość kg pary wodnej na 1kg powietrza suchego.
Ponieważ w objętości V gazu wilgotnego mieści się
mp =
Pp V
Rp T
i
mg =
Pg V
Rg T
(8.82)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
7
Wykład 9
to wilgotność bezwzględną można wyrazić związkiem:
X=
gdzie:
R g Pp
R p Pg
=
Mp
Pp
M g P − Pp
Rg i Rp
– stałe gazowe powietrza i pary,
Mg i M p
– masy cząsteczkowe powietrza i pary,
P i Pp
- ciśnienie całkowite i składnikowe pary.
(8.83)
Wyznaczenie ze wzoru (8.80) Pp = βPnas ciśnienia składnikowego pary i wprowadzenie
do związku (8.83) daje zależność między wilgotnością bezwzględną X i wilgotnością
względną β:
X=
M p βPnas
M g P − Pnas
(8.84)
Egzergia jest pracą maksymalną związaną z przeprowadzeniem substancji (postaci
materii) z danego stanu do stanu równowagi z otoczeniem w procesie odwracalnym, w
którym otoczenie jest wykorzystywane jako źródło bezwartościowego ciepła i
bezwartościowej substancji. Przyjęcie określonych wartości parametrów otoczenia ustala
poziom zerowej egzergii jako miernika jakości różnych postaci energii. Konsekwencją
takiej definicji egzergii i drugiej zasady termodynamiki jest to, że egzergia jest wielkością
określoną dodatnio. Oznacza to, że egzergia jest równa zeru w stanie termodynamicznej
równowagi substancji (postaci materii) z otoczeniem oraz że jest ona zawsze dodatnia
poza stanem równowagi. Egzergia gra zatem rolę termodynamicznej miary wartości
różnych postaci materii.
Obecność parametrów otoczenia w definicji egzergii czyni, że jej wielkość jest
określona w znacznej części na przesłankach ekonomicznych. Przykładowo, ciepło Q ma
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
8
Wykład 9
wartość ekonomiczną tym większą, im bardziej temperatura jego źródła T różni się od
temperatury otoczenia Tot. Egzergię takiego ciepła wyraża zależność:
 T 
BQ = 1 − ot  Q
T 

gdzie ηc = 1 −
(8.85)
Tot
jest sprawnością obiegu Carnota.
T
Egzergia powietrza wilgotnego pod ciśnieniem otoczenia Pot zależy od wilgotności
bezwzględnej X [kg/kg] oraz jego temperatury T [K], a także od wilgotności i temperatury
powietrza otoczenia Xot, Tot. Operowanie wilgotnością bezwzględną X zamiast
wilgotnością względną β jest bardziej dogodne, ponieważ bilanse materiałowe wilgoci
mają prostszą postać, jeśli wyrazić je przez wilgotność X. Dla egzergii Bg powietrza
nienasyconego (tzn. β < 1) odniesionej do jednostki masy gazu suchego istnieje zależność:

 T 
Bg (T, X ) = (Cg + X C p ) T − Tot − Tot ln  +
 Tot 


 X (M p / M g + X ot ) M p  M p / M g + X ot  
+ R pTot X ln 
ln 
+

(
)
X
M
/
M
+
X
M
M
/
M
X
+

ot
p
g
g
p
g



 
gdzie:
Cp= 1.89 [kJ/(kgK)]
- ciepło właściwe pary wodnej
Cg= 0.967 [kJ/(kgK)] - ciepło właściwe gazu suchego
Mp= 18 [kg/kmol]
- masa cząsteczkowa wody
Mg= 29 [kg/kmol]
- masa cząsteczkowa gazu suchego
Rp = 461.6 [J/(kgK)] - stała gazowa pary wodnej
(8.86)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
9
Wykład 9
Jeśli przyjąć, że parametry otoczenia wynoszą:
Tot = 293.2 K i Xot = 0.008 kg/kg
To egzergia powietrza wilgotnego jest opisana wzorem:
Bg (X, T ) =
T 


4,187 (0,24 + 0,45 X ) T − 293,2 − 293,2 ln
+
293
.
2



(8.87)

 78.75 
 0.63  
+ 32.264  X ln
 + 0.622 ln
 
 0.622 + X 
 0.622 + X  

Rozwiązanie:
Funkcję (8.87) można traktować jako funkcję kryterialną rozważanego zadania
optymalizacyjnego.
S(X,T) = B(X,T)
(8.88)
Dla której szukane jest minimum przy ograniczeniach
333.2 ≤ T ≤ 373.2
(8.89)
0 ≤ β(X,T) ≤ 0.1
(8.90)
Ze wzoru (8.84) wynika, że
β(X, T ) =
Pot X
(0.622 + X )Pnas (T )
(8.91)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
10
Wykład 9
Wprowadzenie tego związku do zależności (8.90) pozwala warunek ograniczający ze
względu na wilgotność względną powietrza zapisać w postaci:
0≤
Pot X
≤ 0 .1
(0.622 + X )Pnas (T )
Wartości funkcji ciśnienia
nasyconej Pnas(T)
pary
(9.92)
można
odczytać
z tablic
zamieszczonych w literaturze technicznej. Ograniczenia (8.89) ÷ (8.92) należy teraz
zapisać w postaci standardowej:
ϕ1 = 333.2 − T ≤ 0
(8.93)
ϕ 2 = T − 373.2 ≤ 0
(8.94)
ϕ3 =
− Pot X
≤0
(0.622 + X )Pnas (T )
(8.95)
ϕ4 =
Pot X
− 0 .1 ≤ 0
(0.622 + X )Pnas (T )
(8.96)
Aby znaleźć minimum funkcji kryterialnej (8.88) przy warunkach (8.93) ÷ (8.96), zgodnie
z przyjętą metodą Carolla, tworzy się funkcję zmodyfikowaną
1
j=1 ϕ j
4
Sz = S − P∑
(8.97)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
11
Wykład 9
która w analizowanym zadaniu ma postać:
Sz (X, T ) =


 T 
4.187 (0.24 + 0.45 X )  T − 293.2 + 293.2 ln
 +
 293.2  



 78.75 
 0.63  
+ 32.264  X ln
 + 0.622 ln
 +
 0.622 + X 
 0.622 + X  

(8.98)

(0.622 + X ) Pnas (T ) +
1
1
−P
+
−
Pot X
 333.2 − T T − 373.2
+


−1
−1
Pot X (0.622 + X ) [Pnas (T )] − 0.1
1
Szukane jest teraz bezwarunkowe minimum funkcji Sz(X,T).
Zastosować można metodę iteracyjną Gaussa-Seidela. Współrzędne punktu
startowego leżącego w obszarze dozwolonym mogą wynosić:
X 0  0.003 kg / kg
Y = 0=


T  353 K
0
Obliczenia można przeprowadzić dla ciągu wartości:
P = 10 −1 ,10 −2 ,10 −3 ,10 −4
Dla P = 10
−4
otrzymuje się wartości optymalne:
X̂ = 0.0062 [kg/kg] ;
T̂ = 333.01 [K] (60.1o C);
Ŝ = 2.554 [kJ/kg] ;
(8.99)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
12
Wykład 9
Interpretacja graficzna zadania i jego rozwiązania optymalnego:
i
T=100 C
β=
0.
1
β=0
S=const
-g
T=60 C
Optimum
X=0.0062 kg/kg
X
Punkt optymalny znajduje się na dolnym ograniczeniu temperaturowym, natomiast
ograniczenia dla wilgotności względnej okazały się nieaktywne. Wynika to z własności
funkcji egzergii (8.87), która ma minimum bezwarunkowe równe zeru w punkcie Xot =
0.008 [kg/kg], Tot = 293.2 [K] odpowiadające stanowi otoczenia, a poza tym punktem jest
zawsze dodatnia. Rozwiązanie optymalne daje więc współrzędne punktu dopuszczalnego,
który jest najbliższy stanowi otoczenia, przy czym miarą odległości są tu wartości
egzergii. Zapewnia to użycie najtańszego powietrza, którego stan spełnia ograniczenia
narzucone przez technikę procesu suszenia fluidalnego.