Zagadnienia teoretyczne 1. Grupy, podgrupy, rząd grupy, Tw. o

Zagadnienia teoretyczne
1. Grupy, podgrupy, rząd grupy, Tw. o jednoznaczności rozwiązań w grupie (1.6).
2. Tw. o równoważnym określeniu podgrupy (1.8), Tw. o podgrupie rzędu skończonego (1.9), Tw.
o iloczynie podgrup (1.10).
3. Grupy i podgrupy cykliczne.
4. Rząd elementu w grupie, własności rzędu (również te z ćwiczeń i praca domowych).
5. Iloczyn algebraiczny, warstwy grupy względem podgrupy, Tw. 1.19, 1.20
6. Indeks podgrupy, Tw. Lagrange'a (1.22), dzielnik normalny, grupa ilorazowa.
7. Homomorfizm grup, jądro i obraz homomorfizmu, monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm.
8. Tw. o obrazie homomorfizmu ( φ(G) < G ), Tw. o izomorfiźmie (G / ker φ ≈ im φ).
9. Pierścienie, jedynka i zero pierścienia, elementy odwracalne, dzielnik zera, pierścień całkowity.
podpierścień, homomorfizm pierścieni.
10. Pierścień wielomianów, stopień wielomianu, podstawowe operacje na wielomianach.
11. Ciało, charakterystyka ciała, ciało liczb zespolonych i jego interpretacja geometryczna, postać
kanoniczna liczby zespolonej, sprzężenie i moduł liczby zespolonej, podstawowe twierdzenie
algebry.
12. Postać trygonometryczna liczby zespolonej, argument główny, mnożenie liczb zespolonych w
postaci trygonometrycznej i jego interpretacja geometryczna, wzór de Moivre'a, pierwiastki liczb
zespolonych (Tw. o pierwiastkach równania xn = z).
Przykładowe zadania
Grupy, pierścienie: 66, 67, 68, 71, 72, 102, 105, 119, 120, 121, 135, 167, 169, 171, 187, 199, 218
(a,b,c,d,e), 221, 251, 252, 263, 264, 269, 279, 523, 528, 583.
(Numeracja ze zbioru zadań: „Algebra abstrakcyjna w zadaniach” - J. Rutkowski, PWN, Warszawa
2010)
Ciało liczb zespolonych: 6.1.1, 6.1.2, 6.1.3, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.8.
(Numeracja ze zbioru zadań: „Zbiór zadań z algebry” - A. I. Kostrikin, PWN, Warszawa 1995)