pobierz plik artykułu - Inżynieria i Aparatura Chemiczna

Prosimy cytować jako: Inż. Ap. Chem. 2014, 53, 4, 318-319
INŻYNIERIA I APARATURA CHEMICZNA
str. 318
Nr 4/2014
Andrzej WILKOCKI1, Anatoli VOLK2
e-mail: [email protected]
1
Katedra Procesów i Aparatów Przemysłu Chemicznego, Białoruski Państwowy Uniwersytet Technologiczny, Mińsk, Republika Białoruś
2
Katedra Matematyki, Białoruski Państwowy Uniwersytet Technologiczny, Mińsk, Republika Białoruś
Model matematyczny hydrodynamiki wirnikowo-błonowego aparatu
absorpcyjnego do oczyszczania gazów
Wstęp
Jednym z perspektywicznych kierunków intensyfikacji procesów
przenoszenia masy jest opracowanie konstrukcji i wykorzystanie aparatów zapewniających wysokie rozwinięcie powierzchni kontaktu międzyfazowego i jej ciągłą odnowę przy kontakcie faz płynów.
Analiza problemu wskazuje, że ważną rolę wśród aparatów używanych np. do absorpcji (oprócz natryskowych i barbotażowych) odgrywają urządzenia dyspersyjno-błonowe, w których oddziaływanie faz
realizuje się w strefie intensywnego dyspergowania cieczy przez urządzenie rozpylające z dalszym kontaktem gazu z filmowym przepływem
cieczy [Gelperin, 1981; Sokolov, 1976; Shlikhting, 1969]. Zastosowanie
w takich aparatach przepływu spiralnego pozwala zintensyfikować prowadzone procesy i istotnie poprawić warunki wzajemnego oddziaływania faz przy stosunkowo niewysokim oporze hydraulicznym.
Wyniki badań hydrodynamiki przepływu błonowego mają duże znaczenie, m.in. w analizie przebiegu procesów fizykochemicznych i przy
obliczaniu optymalnych reżimów pracy aparatów (również w ochronie
środowiska) [Lyutarevich i in., 2007; 2010].
Badania teoretyczne i eksperymentalne hydrodynamiki przepływów
dwufazowych pozwalają rozszerzyć zakres stosowania filmów ciekłych oraz intensyfikować biegnące w nich procesy przenoszenia ciepła
i masy.
Reżim hydrodynamiczny określa liczba Reynoldsa dla filmu:
4Urdt c 4q
(1)
=
Red =
nc
oc
W przypadku obecności przepływu błonowego na wewnętrznej powierzchni rury, pofalowana powierzchnia cieczy rozpatrywana jest jak
nieregularna chropowatość ścianek kanału. Jako uogólnienie danych
eksperymentalnych dla współczynnika tarcia na granicy rozdziału faz
w takim przypadku otrzymano zależność [Shlikhting, 1969; Sokolov,
1976]:
2
0, 0791 t r Wr z
(2)
c1 + 300d m
xz =
0, 25
2
D
Re
Przedmiotem niniejszej pracy są badania teoretyczne stacjonarnego
laminarnego osiowo-symetrycznego ruchu warstwy lepkiej cieczy po
wewnętrznej ściance pionowego cylindra pod wpływem wirującego
strumienia gazu. Otrzymano analityczne rozwiązanie równań NavieraStokesa dla osiowej i stycznej prędkości cieczy.
2U{
= 0 . Przyjmując Ur = 0 z równ.
Ze względu na symetrię osiową
2{
(3) otrzymuje się 2Uz = 0 .
2z
W tych warunkach rozwiązanie równań Naviera-Stokesa jest jednowymiarowe [Loytyansky 1987], tzn. prędkość błony będzie tylko funkcją promienia U = U(r). Równanie Naviera-Stokesa dla składowej osiowej prędkości przyjmuje postać:
1 d c dUz mE +
2P =
(4)
n;
r
tg 0
r dr
dr
2z
Warunki brzegowe
Przy założeniu braku poślizgu na ściance cylindra oraz znajomości
naprężeń stycznych na granicy rozdziału fazy ciekłej i gazowej warunkami granicznymi będą:
dU
(5)
Uz r = R = 0 n z = - = - x z
dr r R d
Spadek ciśnienia na długości elementu przyjęto jako stały. Po wsta2P
wieniu } =
= const i scałkowaniu równania (4) otrzymuje się
2z
jako:
tg - } 2
(6)
Uz = c1 ln r r + c2
4n
Średnia grubość filmu cieczy
Wykorzystując warunki graniczne (5) oraz warunki równowagi sił
2
w postaci r (R - d) DP = 2r (R - d) lx z po wprowadzeniu zmiennych
bezwymiarowych: ru = r/R , du = d/R otrzymuje się:
2
Uz =
2Uz + 1 2U{ =
1 2
(rUr) +
0
2z
r 2r
r 2{
(7)
Wydatek objętościowy fazy ciekłej na powierzchni przekroju poprzecznego błony na jednostkę obwodu cylindra wynosi:
q=
## U rdrd{
z
2rR
= 1
R
R
1
u u
# U rdr = R # U rdr
z
z
(8)
1 - du
R-d
Po scałkowaniu otrzymuje się
2
q=
Model matematyczny procesu
Charakterystyka rozpatrywanego
przepływu
Rozpatrzono stacjonarny osiowo-symetryczny przepływ laminarny filmu lepkiej cieczy wzdłuż ścianki wewnętrznej
pionowego cylindra pod wpływem wirującego strumienia gazu. Oś cylindrycznego układu współrzędnych skierowana
jest w dół wzdłuż osi cylindra (Rys. 1).
Równanie ciągłości ma postać [Loytyansky, 1987]:
tgR
xz R
2
6 2 (1 - du ) 2 ln ru + 1 - ru2 @
(1 - ru ) +
u
4n
2n (1 d)
+
xz R
1 + - u 3+
(1 d) 2 (1 - du ) E +
8n ; 1 - du
tgR3 1 3
8 + (1 - du ) 4 - (1 - du ) 2 - (1 - du ) 4 ln (1 - du ) B
4n 4 4
(9)
Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy prowadzi do:
q=
2
x z d (1 - du + du /4)
+
2n (1 - du )
3
3
3
t gd
24 (k - 2) ! u k
3 u 2 + du +
d
d G
1 - du +
(10)
3n =
20
5 k = 4 (k + 2) !
Przyjęcie du = 0 prowadzi do szczególnego przypadku – ruchu błono-
+
/
wego w płaszczyźnie pionowej.
(3)
Rys. 1. Przepływ błonowy
na powierzchni cylindrycznej
Równanie (9) jednoznacznie określa średnią grubość filmu d przy
zadanym wydatku fazy ciekłej q i znanych naprężeń stycznych na granicy rozdziału faz. Przepływ grawitacyjny występuje przy x z = 0 .
Prosimy cytować jako: Inż. Ap. Chem. 2014, 53, 4, 318-319
INŻYNIERIA I APARATURA CHEMICZNA
Nr 4/2014
str. 319
Analiza prądu błonowego
Analiza prądu błonowego prowadzi do zależności na prędkość filmu
na granicy rozdziału faz i gradientu tej prędkości:
Uz
ru = 1 - du
= x z R c 1 u - 1 + du m +
2n 1 - d
tgR 2
6 2 (1 - du ) 2 ln (1 - du ) + 1 - (1 - du ) 2 @
4n
2
dUz = dUz = - x z ru + tgR ; (1 - du ) - u E
r
dr
Rdru
2n
ru
n (1 - du )
(11a)
(11b)
Osiowa składowa tensora naprężeń stycznych na ściance ma postać:
x
r=R
= n dUuz
Rdr
ru = 1
u2
= - x z u + tgd c1 - d m
2
1-d
(15)
można wyznaczyć stałe całkowania i składową styczną prędkości:
Rx { (1 - du ) 1
(16)
` - ruj
U{ =
2n
ru
Wartość średniej składowej stycznej prędkości wynosi:
1
Ur{ = u
d
1
#U
{
dru =
1 - du
Rx { (1 - du ) 4 (1 - du ) 2
;
(17)
- (1 - du ) ln (1 - du ) E
= 1u
2
2
d 2n
Związek między składowymi średniej prędkości Ur z filmu cieczy
i składową styczną tensora naprężeń oraz strumienia gazu, w zależności
od wielkości kąta b określono jako:
(18)
Ur{ = Ur z tg (kb) x { = x z tg (kb)
Profile składowej prędkości osiowej
Odpowiednie profile przedstawiono na rys. 2–5.
Reżim prądu zstępującego wykazuje dwa typy profilu prędkości, które otrzymywano przy różnych kierunkach składowej osiowej x z tensora naprężeń stycznych na granicy rozdziału (Rys. 2).
Reżim prądu wstępującego charakteryzuje się tym, że zwrot prędkości cieczy na granicy rozdziału faz jest przeciwległy do kierunku
strumienia głównego (Rys. 3). Przy prądzie wstępującym przepływ
wewnątrz filmu może mieć kierunek przeciwny (Rys. 4a) bądź zgodny
(Rys. 4b) z kierunkiem ruchu powierzchni.
Reżim zachłystywania ma zerowy wydatek fazy ciekłej (q = 0). W takim przypadku następuje drastyczne zwiększenie grubości filmu, co od-
Rys. 2. Profile prądu zstępującego:
а) q > 0, x z $ 0 , b) q > 0, x z < 0 , U
ru = 1 - d
$0
U
ru = 1 - du
<0
(12)
Analogicznie otrzymuje się rozwiązanie dla zakrzywionego prądu
błonowego. Przyjęto, że styczna składowa prędkości zależy tylko od
promienia U{ = U{ (r) i wówczas:
2 1 2
(13)
n 8
(rU{) B = 0
2 r r 2r
Otrzymane rozwiązanie ma postać:
c
(14)
U{ = c3 ru + u4
r
Wykorzystując warunki graniczne:
Rx {
2 U{
=U{ ru = 1 = 0 ru u c u m
2r r ru = 1 - du
n
Rys. 3. Prąd wstępujący q > 0
Rys. 5. Zachłystywanie się:
q=0
Rys. 4. Prąd wstępujący q < 0:
а),
dU
dru
ru = 1
$ 0 ; b) dUu
dr
ru = 1
<0
powiada realnemu fizycznemu zjawisku – gromadzeniu się fazy ciekłej
(Rys. 5).
Podsumowanie
Zaprezentowano nowy model matematyczny służący do określenia charakterystyk hydrodynamicznych przepływu błonowego na powierzchni cylindrycznej, wywołanego wirującym strumieniem gazu.
Przedstawiony model pozwala na charakterystykę hydrodynamiki filmu cieczy w procesach wymiany masy i ciepła oraz separacji.
Oznaczenia
l
P
q
r
R
U z , Ur , U φ
U0
β
z
δ
ψ
ν
ρ
τ
φ
– długość elementu cylindrycznego, [m]
– ciśnienie, [Pa]
3
– objętościowy wydatek fazy płynnej, [m /(m·s)]
– odległość w kierunku promieniowym w cylindrycznym
układzie współrzędnych, [m]
– promień elementu cylindrycznego, [m]
– składowe prędkości cieczy, odpowiednio: osiowa,
promieniowa i styczna, [m/s]
– prędkość odpływu cieczy, [m/s]
– kąt
– współrzędna osiowa cylindrycznego układu
współrzędnych;
– grubość błony (filmu) cieczy, [m]
– spadek ciśnienia, [Pa/m]
2
– współczynnik lepkości kinematycznej, [m /s]
3
– gęstość, [kg/m ]
2
– naprężenie styczne, [N/m ]
– kąt w cylindrycznym układzie współrzędnych
LITERATURA
Gelperin N.I., 1981. Basic processes and devices of chemical technology (in Russian). Chemistry, Moscow
Loytyansky L.G., 1987. Fluid mechanics (in Russian). Science, Moscow
Lyutarevich I.A, Markov V.A., Wilkocki A.I., 2007. Study of the hydrodynamics
of rotary dispersion-film apparatus (in Russian). Chemical Technology, 8, 1,
37-41
Lyutarevich I.A, Markov V.A., Wilkocki A.I., Volkov E.V., 2010. Investigation
of the energy characteristics of rotary dispersion-film apparatus (in Russian).
Product quality, technology and education, 196-197
Shlikhting G., 1969. Theory of the boundary layer (in Russian). Science, Moscow
Sokolov V.I., Domanski I.V., 1976. Gas-liquid reactors. (in Russian). Mechanical Engineering, Sankt Petersburg