1. Korzystając z tw. Darboux uzasadnić, że (a) funkcja f(x) = sin x +

1. Korzystając z tw. Darboux uzasadnić, że
(a) funkcja f (x) = sin x + cos x przyjmuje wartość 0.2 na przedziale [0, π];
(b) funkcja f (x) = 2x − x2 przyjmuje wartość 0.1 na przedziale [1, 3];
(c) każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.
2. Z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji:
f (x) =
1
(x 6= 0);
x2
f (x) = shx ;
f (x) = x3
f (x) = cos x;
√
f (x) =
x (x > 0);
W przypadku funkcji sinus hiperboliczny skorzystać z definicji tej funkcji oraz granicy odpowiedniego
podstawowego wyrażenia nieoznaczonego.
3. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne funkcji:
x3 − 1
;
f (x) = 2
x +1
f (x) = ex sin(2x);
f (x) = tgx + ctgx
2
2
f (x) = ln(sin x + 1);
2sin x
f (x) = cos2 x
3
ex
f (x) = e
4. Zakładając, że funkcje f i g mają pochodne właściwe na wspólnym przedziale, wyznaczyć pochodne
podanych funkcji:
y = xf (xn );
y=
q
y = e−x f (ex );
f 2 (x) + g 2 (x);
y = tg
y = [f (x)]g(x) ;
f (x)
;
g(x)
y = ln
f (x)
.
g(x)
5. Korzystając z tw. o pochodnej funkcji odwrotnej policzyć pochodne podanych funkcji odwrotnych:
f −1 (y) = ln y (x > 0);
f −1 (y) = arctany (x ∈ R);
f −1 (y) = arcsin y (−1 < x < 1)
6. Korzystając z reguły de L’Hospitala obliczyć granice:
sin 2x
ln(1 + 3x )
;
lim
;
x→−∞
x→0 sin 5x
2x
ex + 1
ln sin x
π − 2 arctan x
lim
;
lim
;
lim
1
x→∞
x→∞
x→0+ ln tan x
x3
ln(1 + x2 )
lim
Dla pierwszej i drugiej funkcji wyznaczyć granice również inną metodą: korzystając z podstawowych
granic wyrażeń nieoznaczonych.
7. Znaleźć asymptoty pionowe i ukośne podanych funkcji:
x2 + 2x
f (x) =
;
x+1
1
(∗)f (x) = x ln e +
x
(*) Wsk.: nieoznaczoność ∞ · 0 można zamienić na nieoznaczoność 00 , a następnie skorzystać z regułu
de L’H
8. Korzystając z tw. Lagrange’a uzasadnić podane nierówności:
(a) | cos2 x − cos2 y| ≤ 2|x − y| dla dowolnych x, y ∈ R;
(b) | arcsin x − arcsin y| ≥ |x − y| dla dowolnych x, y ∈ [−1, 1];
(c)
x
1+x
≤ ln(1 + x) ≤ x dla dowolnych x > 0;
(d) 1 + x < ex dla dowolnych x > 0.
9. A) Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne dla zadanych funkcji:
(a) (x + 3)(x2 − 1),
(b)
x
,
ln x
2
(c) xe−x ,
(d)
x
,
1 − x3
1
(e) x2 e x2
B) Sprawdzić rozwiązania powyższego zadania za pomocą programu ze strony www.wolframalpha.com
wpisując np.
f(x)=(x+3)*(x^2-1), f(x)=x/ln(x),
f(x)= x*exp(-x^2) itd.
10. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia wykresów funkcji
(a) x(x + 1)(x − 2),
(b)
1
,
1 + x2
(c) ln(1 + x2 ).
11. Napisać wzory Maclaurina dla podanych funkcji z n-tą resztą Lagrange’a
(a) f (x) = xex ,
(b) f (x) = sinh x,
(c) f (x) = ln(1 + x),
(d) f (x) = cos x.
12. Oszacować dokładność podanych wzorów przybliżonych na wskazanych przedziałach
√
x x2
(a) 1 + x ≈ 1 + − ,
2
8
|x| ≤ 0.25; ,
(b) √
1
1
x
≈ − ,
2 16
4+x
Literatura:
Analiza matematyczna 1.Definicje, twierdzenia, wzory. M. Gewert, Z. Skoczylas;
Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania.M. Gewert, Z. Skoczylas
0 < x < 0.1.