Ginzburg
Transkrypt
Ginzburg
Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 8 Teoria Ginzburga-Landaua superconductivity made easy Jan Kaczmarczyk 08.05.2014 Wstęp Teoria Ginzburga-Landaua została sformułowana [1] w roku 1950, a więc na kilka lat przed podaniem mikroskopowej teorii nadprzewodnictwa przez Bardeena, Coopera i Schrieffera [2]. W obecnym czasie mechanizm parowania się elektronów w nadprzewodnikach nie był jeszcze do końca jasny. Ginzburg i Landau postanowili rozszerzyć teorię Landaua przejść fazowych II rodzaju na przypadek nadprzewodnictwa i otrzymali w ten sposób bardzo prostą teorię fenomenologiczną. Jak się później okazało, wiele zjawisk jest dobrze tłumaczonych właśnie przez tą teorię, a nie przez mikroskopową teorię BCS, co może dziwić, biorąc pod uwagę jej prostotę. Dodatkowo, w roku 1959 Gorkov pokazał, że formalizm Ginzburga-Landaua da się wyprowadzić z teorii mikroskopowej BCS. Piękno teorii GL polega na tym, że pozwala ona rozwiązać wiele problemów z dziedziny nadprzewodnictwa bez odwoływania się do mikroskopowej (skomplikowanej) teorii BCS. Między innymi Abrikosovi udało się na gruncie formalizmu GL pokazać, że w nadprzewodnikach II rodzaju blisko krytycznego pola magnetycznego tworzy się sieć wirów (vortexów), za co przyznana mu została nagroda Nobla (razem z Ginzburgiem i Leggettem) w roku 2003 (patrz rys. 1). W obecnym zestawie postaramy się od zera sformułować teorię Ginzburga-Landaua zaczynając od najprostszego przypadku jednorodnego i stopniowo udoskonalając model przez uwzględnienie niejednorodności oraz pola magnetycznego. Następnie poznamy przykładowe zastosowania tej prostej i równocześnie potężnej teorii. Zad. 1. Przypadek jednorodny - funkcjonał energii swobodnej Teoria przejść fazowych drugiego rodzaju rozwinięta przez Landaua w latach 30-tych wykorzystuje fakt, że takie przejścia zwykle wiążą się ze zmianą symetrii w rozważanym układzie. Przykładowo magnes w temperaturze powyżej temperatury Curie nie posiada momentu magnetycznego, natomiast poniżej tej temperatury spontanicznie pojawia sie namagnesowanie w pewnym arbitralnym kierunku. W teorii Landaua przejścia fazowe charakteryzuje parametr porządku, który jest zerowy w stanie nieuporządkowanym powyżej Tc , a staje się niezerowy dla niższych temperatur. W przypadku magnesu odpowiednim parametrem porządku jest magnetyzacja M (r). 1 Rysunek 1: Sieć wirów w nadprzewodniku (STM, NbSe2 , 1.9T , 4.3K, A. M. Troyanovski et al., Leiden University, Nature 399, 665 (1999)) i nagroda Nobla dla Abrikosova. Kluczowym krokiem w teorii Landaua przejść fazowych jest rozwinięcie energii swobodnej w pobliżu przejścia w szereg potęgowy względem parametru porządku. Zastanów się, co może być parametrem porządku w przypadku nadprzewodnika. Następnie rozwiń energię swobodną (na jednostkę objętości) w pobliżu T = Tc w szereg potęgowy względem tego parametru. Wskazówki: • Taki parametr dla nadprzewodnika jest liczbą zespoloną, natomiast energia musi być rzeczywista, • Energia musi być analityczna w pobliżu parametr porzadku = 0, • Zastanów się jaka jest najmniejsza liczba potrzebnych wyrazów, • Rozwinięcie powinno mieć postać fs (T ) = fn (T ) + ..., gdzie fs (T ) i fn (T ) to energia swobodna na jednostkę objętości dla nadprzewodnika i stanu normalnego, odpowiednio, natomiast ... oznacza wyrazy zależne od parametru porządku. Wyrazy rozwinięcia powinieneś dobrać tak, aby otrzymać zawsze minimum energii dla skończonej wartości parametru porządku oraz aby dla T < Tc rozwiązanie z niezerowym parametrem porządku miało niższą energię. Dla jakiej wartości parametru porządku wprowadzony funkcjonał energii swobodnej osiąga wartość minimalną? Jaką mamy degenerację? (Dla magnesu była degeneracja rozwiązań ze względu na obrót wektora magnetyzacji) Oblicz entropię s = S/V oraz ciepło właściwe CV = T ds/dT na jednostkę objętości. Zad. 2. Przypadek niejednorodny Sformułowanie Wystartuj z funkcjonału dla przypadku jednorodnego Ψ(r) = Ψ = const. 2 fs (T ) = fn (T ) + a(T )|Ψ|2 + b(T ) 4 |Ψ| 2 (1) i uwzględnij przestrzenne zmiany Ψ(r). Wskazówki: • Zapomnij na chwilę, że Ψ(r) jest parametrem porządku i zastanów się, jak w mechanice kwantowej zmiany przestrzenne funkcji falowej wpływają na energetykę układu (równanie Schroedingera). Jaki w związku z tym (w analogii do r. Schroedingera z Hamiltonianem cząstki swobodnej) należy dodać wyraz do naszego funkcjonału fs (T )? • Co teraz będzie wielkością, którą należy zminimalizować (w związku z tym, że fs (T ) zależy od r)? Znajdź minimum dla otrzymanego funkcjonału energii swobodnej (a raczej równanie je definiujące). W tym celu należy albo rozważyć Ψ(r) które daje minimum i małą odchyłkę od niego Ψ(r) → Ψ(r)+δΨ(r), albo zróżniczkować funkcjonał po Ψ(r) oraz Ψ(r)∗ (functional derivatives) i otrzymane pochodne przyrównać do zera. Powinieneś otrzymać równanie nieliniowe na Ψ(r). Zastosowanie - powierzchnia nadprzewodnika Ciekawym problemem jest jak parametr porządku zachowuje się w pobliżu powierzchni nadprzewodnika, a w szczególności na jakiej głębokości ξ osiąga swoją maksymalną wartość. W celu zbadania tego zjawiska rozważ jednowymiarowy problem, w którym dla x < 0 mamy próżnię i warunek brzegowy Ψ(r) = 0, natomiast dla x > 0 nadprzewodnik i Ψ(r) 6= 0. Przy takim warunku brzegowym rozwiąż równanie h̄2 d2 Ψ(r) + a(T )Ψ(r) + b(T )Ψ3 (r) = 0. (2) 2m∗ dx2 w obszarze x > 0. Co zmieni się, jeśli przyjmiemy warunek brzegowy Ψ(r) = C dla pewnej stałej C? Wskazówki: Przejdź do zmiennych bezwymiarowych, rozwiązaniem jest Ψ(r) = g(a, b) tgh(...) − Zad. 3. Uwzględnienie pola magnetycznego Sformułowanie Wystartuj z funkcjonału dla przypadku niejednorodnego z Ψ(r) Fs (T ) = Fn (T ) + ... (3) i uwzględnij pole magnetyczne B. Wskazówki: • Zapomnij na chwilę, że Ψ(r) jest parametrem porządku i zastanów się, jak w mechanice kwantowej uwzględnialiśmy pole magnetyczne :). Postąp analogicznie. • Oprócz powyższej zmiany należy jeszcze dodać do naszego funkcjonału jeden wyraz (związany z obecnością pola). Jaki? 3 Rysunek 2: Pierścień nadprzewodzący w polu magnetycznym. W domu znajdź minimum dla otrzymanego funkcjonału energii swobodnej. Teraz nie mamy na to czasu (skomplikowane różniczkowanie względem Ψ(r), Ψ(r)∗ , A(r)) :). Powinnieneś otrzymać dwa równania. Pierwsze analogiczne do (2), a drugie następujące js = − 2eh̄i ∗ (2e)2 2 ∗ (Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ ) − |Ψ| A. 2m∗ m∗ (4) Zastosowanie do obliczenia kwantu strumienia pola magnetycznego Zastosujemy teraz teorię Ginzburga-Landaua do przypadku nadprzewodzącego pierścienia, przez który przenika pole magnetyczne (patrz rys. 2). Będziemy opisywali nadprzewodnictwo przy użyciu zmiennych cylindrycznych r = (r, φ, z). Oś z ustalamy jako prostopadłą do płaszczyzny pierścienia i przechodzącą przez jego środek. Jest oczywistym, że parametr porządku musi być periodyczną funkcją φ. Zakładamy, że zmiany Ψ(r) w przekroju pierścienia są nieistotne, więc możemy zaniedbać zależność Ψ od r oraz z. Wobec tego postać parametru porządku jest następująca Ψ(φ) = Ψ0 einφ , (5) gdzie n jest liczbą całkowitą, a Ψ0 to pewna stała. 1. Zakładając, że przez pierścień przenika strumień magnetyczny Φ pokaż, że potencjał wekΦ , 0), gdzie R jest promieniem pierścienia. torowy A może być wybrany jako A(r) = (0, 2πR Wystartuj z definicji Φ. 2. Oblicz energię swobodną pierścienia dla funkcji falowej (5) oraz wprowadzonego powyżej potencjału wektorowego. Wskazówka: ∇ = ∂r er + 1r ∂φ eφ + ∂z ez 3. Dla jakich wartości strumienia magnetycznego Φ energia swobodna osiąga minimum? Wskazówka: Energia pola magnetycznego może być zapisana jako const. Φ2 Literatura [1] V. L. Ginzburg and L. D. Landau, Zh. Eksperim. i. Teor. Fiz. 20, 1064 (1950). [2] J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, Theory of Superconductivity, Phys. Rev. 108, 1175 (1957). 4