prawdziwie cudowny dow.d

PRAWDZIWIE CUDOWNY DOWÓD
LESZEK W. GU×A
Prace¾ Dedykuje¾ Moim Rodzicom i Mojemu Bratu
Abstract. 1. Przypuszczalny dowód Fermata, twierdzenia zwanego Wielkim
Twierdzeniem Fermata. 2. Elementarny dowód WTF.
I. WSTEP
¾
Diofantosa interesowa÷
y rozwiazania
¾
równań w Q. Obecnie równania diofantyczne
rozwiazuje
¾
sie¾ w Z. Oto zadanie 8 z drugiej ksiegi
¾ Arytmetyki Diofantosa:
’Dany kwadrat roz÷
oz·yć na [sume]
¾ dwa kwadraty.’
Rozwiazanie
¾
ilustruje wzór – dla kaz·dego a; u 2 Z:
"
#2
2
a u2 1
2au
2
+
.
(1)
a =
u2 + 1
u2 + 1
W tym w÷
aśnie miejscu, tj. na marginesie strony egzemplarza ksiegi
¾ p.t. Arytmetyka
Diofantosa, ÷
acińskiego przek÷
adu Bacheta, edycji z roku 1670, którego w÷
aścicielem by÷
Samuel de Fermat, jest odtworzony nastepuj
¾ acy
¾ dopisek Pierre de Fermata (1665):
Nie mo·zna roz÷o·zy´c ani sze´scianu na [sume]
¾ dwa sze´sciany, ani bikwadratu na
[sume]
¾ dwa bikwadraty, i w ogóle ·zadnej potegi
¾ wiekszej
¾
ni·z druga na [sume]
¾ dwie
potegi
¾ z takim samym wyk÷adnikiem. Odkry÷em naprawde¾ zadziwiajacy
¾ dowód tego
[faktu]. Margines jest na to za ma÷y. [1] Zapewne stad
¾ wzie÷
¾ o sie¾ inne t÷
umaczenie
drugiego zdania Fermata: ’Odkry÷
em prawdziwie cudowny dowód tego faktu, jednakz·e
margines ten jest zbyt waski,
¾
by go zmieścić.’ Ten niezwyk÷
y komentarz starszego
Fermata jest w zwiazku
¾
z równaniem Pitagorasa i wskazuje na istnienie dowodu jako
faktu (demonstratio sane mirabilis) na treść tegoz· dopisku-twierdzenia. [3]
Nietrudno zauwaz·yć, iz· (1) wynika z równania Diofantosa –dla kaz·dego u, 2 N1 :
(2)
u2 +
2 u2 +
2 2
2 2
= u2
2 2
= u2
2
+ 2u
2
+
2
+ (2u ) ^
u2
2
2u
2
:
2
(2) daje wszystkie trójki pitagorejskie u2
; 2u ; u2 + 2 = (x; y; z) w Z,
a wśród nich, jez·eli liczby u; sa¾ wzglednie
¾
pierwsze i liczba u
jest dodatnia i
nieparzysta – wszystkie w÷
aściwe (pierwotne) rozwiazania
¾
równania Pitagorasa w N1 .
Twierdzenie 1. Dla kaz·dej w÷
aściwej trójki pitagorejskiej (x; y; z) istnieja¾ dok÷
adnie
dwie wzglednie
¾
pierwsze liczby naturalne u > takie, z·e liczba u
jest nieparzysta.
Date : 03.03.1994 – 12.06.2013 – 13.03.2014.
1991 Mathematics Subject Classi…cation. Pierwszorzedny:
¾
11D41; Drugorzedny:
¾
11D45.
Key words and phrases. Dowód Nie Wprost, Najwiekszy
¾
Wspólny Podzielnik, Trójmian
Kwadratowy, Twierdzenie Pitagorasa, Wzór Dwumianowy Newtona.
1
2
LESZEK W . GU×A
II. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Twierdzenie 2. Dla n; X; Y; Z 2 N3 : X n +Y n = Z n nie ma rozwiazań
¾ w÷
aściwych.
Dowód. Niech istnieja¾ n; X; Y; Z 2 N3 : X n + Y n = Z n ma rozwiazania
¾
w÷
aściwe.
Wtedy X + Y > Z i X 2 + Y 2 > Z 2 i ... i X n 1 + Y n 1 > Z n 1 , gdyz· w
przeciwnym razie X n + Y n < Z n .
Z powyz·szego wynika, z·e liczby X; Z Y bed
¾ a¾ dodatnie i nieparzyste, liczba Z X
bedzie
¾
dodatnia, a liczba X + Y Z bedzie
¾
dodatnia i parzysta.
2
2
Fermat zapewne przyja÷
¾ , z·e (u
) + 2 (u
) = X, przy (u
) =Z Y:
h
i2
2
2
2
X+Z X (u
) = Y ^ X 2 + X + Z X (u
)
(Z X + X) > 0 ^
X2
p
2
2 (u
2
4
) X 2 (Z X) (u
) + (u
) >0^
p
= 2 (u
) 2 (Z X) = 4 (u
) ^ 2 2 = Z X:
W konsekwencji Fermat uzyska÷dwie fa÷
szywe sprzeczności:
2
X < X1 = (u
)
2 (u
2
) _ (u
) = X2 < X: [2]
) + 2 (u
Kaz·da liczba parzysta niebed
¾ aca
¾ poteg
¾ a¾ dwójki ma nieparzysty dzielnik pierwszy,
przeto wystarczy udowodnić WTF dla n = 4 i dla n bed
¾ acych
¾
liczbami pierwszymi
wiekszymi
¾
od dwóch [4] – zbiór tych liczb oznaczmy przez P.
A. Dowód dla n = 4. Na mocy (2) i Tw. 1 istnieja¾ dok÷adnie dwie wzglednie
¾
pierwsze liczby naturalne U > V takie, z·e U V 2 f3; 5; 7; :::g:
U2
V 2 = X 2 ^ 2U V = Y 2 ^ U 2 + V 2 = Z 2 ^ U 2 = X 2 + V 2 ^
2U 2 = X 2 + Z 2 ^ X = X V ^ Z = X + V ) (Z = X _ Z = 3X) ;
co stoi w sprzeczności przy N W D (X; Z) = 1. z
B. Dowód dla n 2 P – wnioski ogólne.
Z powyz·szego wynika, z·e dla liczby dodatniej :
2 =X
(Z
Y)=Y
(Z
n
(Z
n
X) ^ Z
Y +2 =X ^ Z
X +2 =Y ^
n
n
n
Xn ^
Y + 2 ) = (Z Y + Y )
Y ^ (Z X + 2 ) = (Z X + X)
n
n
[X + Y + ( Y )] + Y n = [X + Y + ( 2 )] = Z n :
W konsekwencji otrzymujemy koniunkcje¾ trzech równań:
n 2
(Z
Y)
=
(Z
Y
(Z
2
n 2
X)
+ (n
n 2
Y)
2 +
n
n 2
(X + Y )
n 2
= (X + Y )
1
2
( Y)+
n
1
2
2
Y)
n
1
2
+ ::: + 2n
n 3
(Z
Y)
2 n 1
+
2n
n (Z
Y + ::: + Y n
2
1 n
Y)
=
^
n
X)
( 2 )+
+
n 3
(Z
n 2
= X (Z
n 3
1) (Z
X)
+
n
n
2
1
2
1
2
n 1
(2 ) + ::: + (2 )
n 3
+
(2 )
=
n (Z X)
X)
X + ::: + X n
n 3
( Y ) + ::: + ( Y )
(Z
(X + Y )
2
2
^
n 1
=
n
n 3
(X + Y )
2
n 1
( 2 ) + ::: + ( 2 )
+
( 2 )
: [2]
n (X + Y )
CUDOWNY DOWÓD
Zatem liczby
3
; Y =2 musza¾ być nieparzyste, liczba pierwsza n j
[(n j X; Z
Z
Y; Z
Y _ n j Y; Z
n
oraz
X _ n j X + Y; Z) ^
X; X + Y j (2 ) ^ n j XY Z ^ = nmch] :
X. Istnieja¾ m; c 2 f3; 5; 7; :::g i
B.1. Dowód dla liczb nieparzystych X; Y; Z
istnieje h 2 f1; 3; 5; :::g:
nn
n - mch ^
1 n
c + 2nmch = X ^ n j X ^ hn + 2nmch = Y ^
2n mn = X + Y = nn
1 n
c + hn + 4nmch ^ nn
n
n
c + 2nmch = X ^ n j Y ^ n
n
c +Y =Z
_
n 1 n
n
2 m
hn = n n
n
n
c =n
n n 1
2 n
n 1 n
h + 2nmch = Y ^
2 m =X +Y =c +n
h + 4nmch ^ cn + Y = Z _
n
(c + 2nmch = X ^ n j X + Y; Z ^ hn + 2nmch = Y ^
)
2n nn 1 mn = X + Y = cn + hn + 4nmch ^ cn + Y = Z
2n mn
n
1 n
1 n
c + 4nmch ^ n j 2m
n 1 n
n
n
h + 4nmch ^ n j 2m
n
h ^ n2 j 2n mn
2
n
2
n
hn
n
c ^ n j2 m
_
n
c
m = c + h + 4nmch ^ n j c + h ^ n j c + h
n
)
_
mch
2
= f3; 5; 7; :::g : z
n
B.2. Dowód dla liczb parzystych Y; Z X. Istnieja¾ m; c 2 f3; 5; 7; :::g i istnieje
h 2 f1; 3; 5; :::g:
nn
n - mch ^
1 n
c + 2nmch = X ^ n j X ^ 2n hn + 2nmch = Y ^
mn = X + Y = n n
1 n
c + 2n hn + 4nmch ^ nn
n
1 n
c +Y =Z
n n 1 n
c + 2nmch = X ^ n j Y ^ 2 n
n
2n hn = nn
n
m
nn
n
n n 1 n
h + 2nmch = Y ^
m =X +Y =c +2 n
h + 4nmch ^ cn + Y = Z _
(cn + 2nmch = X ^ n j X + Y; Z ^ 2n hn + 2nmch = Y ^
nn 1 mn = X + Y = cn + 2n hn + 4nmch ^ cn + Y = Z
)
mn
n
_
1 n
c + 4nmch ^ n j m
n n 1 n
c =2 n
1
h + 4nmch ^ n j m
2h ^ n2 j mn
2
n
c ^ n jm
2n hn
n
c
mn = cn + 2n hn + 4nmch ^ n j c + 2h ^ n2 j cn + 2n hn
mch
2
= f3; 5; 7; :::g :
n
To jest dowód. Ten dowód jest równowaz·ny dowodowi WTF w Z.
_
_
)
References
[1] G÷
adki, P.: http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node135.html
[2] Gu÷
a, L.W. : http://www.ijetae.com/…les/Volume2Issue12/IJETAE_1212_14.pdf
[3] Mazur. B. : "About The Cover: Diohantus’s Arithmetica",
http://www.ams.org/journals/bull/2006-43-03/S0273-0979-06-01123-2/S0273-097906-01123-2.pdf
[4] Narkiewicz, W. : WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XXX.1, Annuals PTM, Series
II, Warszawa 1993.
Lublin-POLAND
E-mail address : [email protected]