F6_ zasada zachowania energii 07

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Istnieje pewna wielkość, zwana energią, nie
ulegająca zmianie podczas róŜnorodnych
przemian, które zachodzą w przyrodzie.
Energia moŜe występować w róŜnych postaciach. Mamy
energie grawitacyjną, kinetyczną, spręŜystą, cieplną,
elektryczną, chemiczną, promienistą, jądrową i energię
masy.
POLE SIŁ
Polem nazywa się obszar przestrzeni, w którym
kaŜdemu
punktowi
P
jest
jednoznacznie
przyporządkowana pewna wielkość A(P).
Pole sił - obszar przestrzeni, w którym kaŜdemu
punktowi przyporządkowany jest pewien wektor
określający, jaka siła działałaby na dane ciało gdyby
umieszczono je w tym punkcie.
Stacjonarne pole sił nie zmienia się w czasie
EWR 2006/2007
F7_ zasada zachowania energii / 1
PRACA
Praca elementarna dW wykonana przez siłę F
przy przesunięciu ciała o element przyrostu drogi
ds na tyle mały, Ŝe F = const.
dW = F (r ) ⋅ dr
[1J =1Nm]
Całkowita praca
= lim
∑ Fi (ri ) ⋅ ∆ri
n
WAB
∆ri →0
n →∞ i =1
B
W AB
= ∫ F ( r ) dr
A
Praca w ruchu jednowymiarowym (1D)
dW = F(x) dx
B
WAB = ∫ F ( x)dx
A
EWR 2006/2007
F7_ zasada zachowania energii / 2
POLE ZACHOWAWCZE
W ogólnym przypadku praca wykonana przy
przesunięciu z punktu A do B zaleŜy od drogi
Ws1 ≠ Ws2 ≠ Ws3
Siły, albo pola sił mające tę własność, Ŝe praca zaleŜy
tylko od połoŜenia punktu początkowego i końcowego, a
nie zaleŜy od drogi po jakiej została wykonana
nazywamy zachowawczymi.
W zachowawczym polu sił praca po drodze
zamkniętej jest równa zeru.
∫ F (r )ds = 0
Przykładem sił zachowawczych są siły grawitacyjne lub
elektrostatyczne.
W kaŜdym punkcie pola zachowawczego moŜna określić
energię potencjalną jaką miałoby umieszczone tam ciało.
ENERGIA POTENCJALNA
Energia potencjalna to energia zmagazynowana w ciele
lub układzie ciał wskutek jego połoŜenia, kształtu lub
stanu. jest ona miarą zdolności układu do wykonania
pracy.
EWR 2006/2007
F7_ zasada zachowania energii / 3
ENERGIA POTENCJALNA
PoniewaŜ praca jest wielkością skalarną, zaleŜną tylko
od wartości całki w punktach A i B
B
WAB
= ∫ F (r )ds
A
to moŜemy określić funkcję skalarną V , taką, Ŝe
WAB
= V (rA ) − V ( rB )
B
VA − VB = ∫ F (r )ds
A
gdzie
V A ≡ V ( rA ) ,
V B ≡ V ( rB )
V ( r ) jest określone z dokładnością do stałej:
V’ = V + A spełnia równanie V '(rA ) − V '(rB ) = WAB
śeby V było określone jednoznacznie trzeba ustalić
jego wartość w którymś punkcie, np. V(∞) = 0
∞
VA = ∫ F (r )ds
A
Tak określona funkcja VA jest równa energii
potencjalnej w punkcie A
EWR 2006/2007
F7_ zasada zachowania energii / 4
SIŁA POTENCJALNA
Znając rozkład energii potencjalnej, moŜna znaleźć
siłę działającą na ciało umieszczone w danym
punkcie
F (r ) = −∇V (r )
V (r ) energia potencjalna
F ( r ) siła potencjalna
∇ - operator gradient
GRADIENT
 ∂
∂
∂ 
∇ ≡ grad =  xˆ
+ yˆ
+ zˆ 
∂y
∂z 
 ∂x
∂V ∂V ∂V
,
,
∂x ∂y ∂z
to pochodne cząstkowe
∂V dV
≡
∂x
dx
EWR 2006/2007
y = const .
z = const .
F7_ zasada zachowania energii / 5
ENERGIA KINETYCZNA *
WYPROWADZENIE
Praca wykonana nad układem ciał przy przejściu od stanu A
do stanu B
dla mi = const.
dvi
Fi = mi
dt
dsi = vi dt
dv = ∑ ∫ mi i vi dt
dt
i A
B
W AB
dx
d 2
d dx dx
( x ) = ( x ⋅ x) =
x+x
= 2x
dt
dt
dt
dt
dt
B
WAB = ∑ ∫ 12 mi
i
A
B
d 2
(vi )dt = ∑ 12 mi ∫ d (vi 2 )
dt
i
A
(
WAB = ∑ 12 mi vi ( B ) 2 − vi ( A) 2
i
)
WAB = ∑ 12 mi vi (B) 2 − ∑ 12 mi vi ( A) 2
i
i
WAB = TB - TA
EWR 2006/2007
F7_ zasada zachowania energii / 6
ENERGIA KINETYCZNA
1. Praca wykonana nad układem ciał przy przejściu od stanu
A do stanu B
WAB = TB - TA
1
TA = ∑ mi vi2 ( A)
energia kinetyczna układu w stanie A
i 2
1
2
Ti = mi vi
2
energia kinetyczna i-tego punktu
2. Praca wykonana nad układem ciał przy przejściu od stanu
A do stanu B równa się róŜnicy energii potencjalnych
WAB = VA - VB
TB - TA = VA - VB
TA + VA = TB + VB = E
EWR 2006/2007
F7_ zasada zachowania energii / 7
ZACHOWANIE ENERGII MECHANICZNEJ
Dla dwóch dowolnych stanów układu, A i B,
TA + VA = TB + VB = E
TA i TB energia kinetyczna układu w stanie A
i w stanie B
1
TA = ∑ mi vi2 ( A)
i 2
VA i VB energia potencjalna układu w stanie A
i w stanie B
∞
VA = ∫ F (r )ds
A
JeŜeli siły działające na kaŜdy z punktów
materialnych układu odizolowanego są siłami
zachowawczymi, to całkowita energia mechaniczna
układu nie ulega zmianie.
ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU
W układzie zamkniętym całkowity ładunek pozostaje
stały niezaleŜnie od przebiegających procesów
EWR 2006/2007
F7_ zasada zachowania energii / 8