Egzamin z Równań Rekurencyjnych, 29 stycznia 2007 Nazwisko i

Egzamin z Równań Rekurencyjnych, 29 stycznia 2007
Nazwisko i imię: ...................................................................................... Nr indeksu: .....................
Pyt. 1. [2p] Rozwiązaniem ogólnym pewnego jednorodnego równania liniowego jest:
xn = (c1 + n c2 + n2 c3 ) · 5n .
Napisać to równanie.
ODP.:
Pyt. 2. [2p] Równanie
xn+3 = 3 xn+2 − xn
zapisać w postaci operatorowej jako zagadnienie jednorodne („zero po prawej stronie”). Można używać
operatorów I, E, ∆ oraz działań +, −, ·, ◦ i potęgowania.
ODP.:
Pyt. 3. [2p] Wykazać, że transformata odwrotna G −1 ,
G −1 (f ) = (xn )∞
n=0 dla f (z) =
∞
X
xn · z n ,
n=0
jest addytywna tzn.
G −1 (f + g) = G −1 (f ) + G −1 (g).
ODP.:
Pyt. 4. [2p] Pokazać, że schemat Newtona-Raphsona na znajdowanie miejsc zerowych funkcji g jest
identyczny ze schematem dla funkcji (−g).
ODP.:
Pyt. 5. [2p] Pokazać, że jeśli M jest macierzą ergodyczną tzn.
∃ π ∗ – rozkład ∀ π
π (n) = π M n −→ π ∗ ,
n→∞
to M 2 również jest ergodyczna.
ODP.:
PROSZĘ ODWRÓCIĆ KARTKĘ!
1
Pyt. 6. [3p] Czy możliwe jest aby liniowe jednorodne równanie rekurencyjne o współczynnikach rzeczywistych posiadało niestacjonarną orbitę okresową (tj. różną od rozwiązania stałego), która jest atraktorem? Podać krótkie uzasadnienie.
ODP.:
Pyt. 7. [3p] Niech g(x) = x2 − 3. Napisać schemat Newtona xn+1 = f (x
√n ), f : R \ {0} → R \ {0},
poszukiwania miejsc zerowych g. Wykazać, że basen przyciągania Basf (− 3) = (−∞, 0).
ODP.:

0
1
Pyt. 8. [3p] Wyznaczyć wszystkie rozkłady stacjonarne łańcucha o macierzy Markowa M = 
2
1
2
Czy macierz jest ergodyczna? Dlaczego?
ODP.:
[8p → dst, 10p → dst+, 13p → db, 16p → db+, 18p → bdb]
2
1 1
2 2
0 12
1
0
2


.