Algebra
Transkrypt
Algebra
Algebra Lista 5 1. Na ile istotnie ró»nych sposobów mo»na pokolorowa¢ wierzchoªki kwadratu N kolorami? Dwa pokolorowania uznajemy za istotnie ró»ne, je±li jednego z nich nie mo»na uzyska¢ z drugiego za pomoc¡ obrotu wzgl¦dem ±rodka kwadratu. Skorzystaj z lematu Burnside'a rozwa»aj¡c dziaªanie grupy obrotów kwardratu na odpowiednim zbiorze. 2. Skorzystaj z lematu Burnside'a aby wyznaczy¢ liczb¦ istotnie ró»nych naszyjników skªadaj¡cych si¦ z pi¦ciu koralików, z których ka»dy jest (a) czarny lub biaªy (b) czarny, biaªy lub czerwony. Rozwa» dwie denicje poj¦cia istotnie ró»ne naszyjniki: w pierwszej za nierozró»nialne uznamy dwa naszyjniki, z których jeden mo»na uzyska¢ z drugiego za pomoc¡ obrotu (bez podnoszenia naszyjnika), w drugiej dodatkowo uto»samiamy naszyjniki, z których jeden mo»na uzyska¢ z drugiego podnosz¡c go i odwacaj¡c na drug¡ stron¦. 3. Mówimy, »e dziaªanie grupy g ∈ G, takie »e podgrupa H. g.x = y . G na zbiorze X Zdeniuj taki zbiór pewnego elementu z 4. Niech G jest przechodnie je±li dla ka»dych i dziaªanie przechodnie G na X, x, y ∈ X istnieje Dana jest grupa aby H G i jej byªa stabilizatorem X. X , |X| > 1. dziaªa przechodnio na wszystkie elementy X Ile orbit wyznacza dziaªanie przechodnie? X : a.x 6= x Poka», »e wtedy istnieje dla wszystkich x ∈ X .Wskazówka: a ∈ G, które porusza Skorzystaj z lematu Burnside'a. Jaka jest ±rednia moc zbiorów f ix(a), po a nale»¡cych do G? 5. Udowodnij: (a) Ka»dy wspólny dzielnik (b) min jest dzielnikiem gcd(m, n). gcd(km, kn) = k · gcd(m, n). (c) Je±li gcd(k, m) = 1 (d) Je±li d|mn i gcd(d, m) = 1, oraz gcd(k, n) = 1, to to gcd(k, mn) = 1. d|n. Wskazówka. U»yj twierdzenia 70 i wniosku 72 z notatek. 6. (a) Znajd¹ wszystkie mo»liwe warto±ci (b) Udowodnij, »e je±li liczby gcd(n, n + 10) n − 1 i n2 + n + 1 dla n ∈ N. n ∈ N) (dla nie s¡ wzgl¦dnie pierwsze to ich najwi¦kszym wspólnym dzielnikiem jest 3. Wskazówka: u»yj algorytmu Euklidesa. C p-elementow¡ grup¡ cykliczn¡ generowan¡ przez g . DeC na zbiorze p-elementowych ci¡gów o wyrazach ze zbioru {1, . . . , n} przyjmuj¡c, »e g.(a1 , . . . , ap−1 , ap ) = (ap , a1 , . . . , ap−1 ). Znajd¹ orbity wyznaczone przez to dzia- 7. Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, a niujemy dziaªanie grupy ªanie. Wylicz liczb¦ orbit korzystaj¡c z lematu Burnside'a. Wywnioskuj st¡d maªe twierdzenie Fermata: je»eli liczba pierwsza 8. Niech G p rz¦du p nie dzieli n, to dzieli m liczb¡, która m-elementowym zbiorze X . np−1 − 1. p. b¦dzie liczb¡ pierwsz¡, a nie dzieli si¦ przez pn Poka», »e pewna orbita wyznaczona przez to dziaªa na Przypu±¢my, »e grupa dziaªanie jest jednoelementowa. 9. Niech G b¦dzie grup¡ rz¦du podzielnego przez liczb¦ pierwsz¡ X = {(a1 , . . . , ap ) ∈ Gp : a1 · . . . · ap = 1 ∧ ∃i ai 6= 1} p, a C grup¡ rz¦du p. W zbiorze mo»emy zdeniowa¢ dziaªanie grupy podobnie, jak w zadaniu 7. Wywnioskuj z zadania 8, »e w grupie G jest element rz¦du p. C