Hipotezy
Transkrypt
Hipotezy
Wykład 7 Dwie niezależne próby • Często porównujemy wartości pewnej zmiennej w dwóch populacjach. • Przykłady: – Grupa zabiegowa i kontrolna – Lekarstwo a placebo – Pacjenci biorący dwa podobne lekarstwa – Mężczyźni a kobiety – Dwie różne linie genetyczne • Podstawowe pytanie: Jaka jest różnica między średnimi w populacjach: 1-2? • Idea: znaleźć PU dla 1 - 2 • y1 y 2 jest estymatorem 1- 2 i będzie środkiem przedziału ufności. • Należy jeszcze wyznaczyć SE. Niech rozkład cechy Y w populacji 1 będzie N(1, 1). Bierzemy próbę o rozmiarze n1, y1 , s1 , SE1 Niech rozkład cechy Y w populacji 2 będzie N(2, 2). Bierzemy próbę o rozmiarze n2, y2 , s2 , SE2 • Liczymy SE1 = SE2 = s2 n2 n1 • Jak policzyć SE dla y1 y 2? • Istnieją dwa sposoby: uśredniony (łączony) i nieuśredniony (niełączony) (ang. pooled, unpooled). • W obu przypadkach SE liczone jest przy pomocy s1, s2, oraz n1, n2. • Na ogół będziemy używać niełączonego SE. • Metodę łączonego SE zastosujemy, gdy będzie można założyć, że 1=2 (albo gdy o to poprosi wykładowca • Gdy n1 = n2, to obie metody dają te same wyniki. Metoda łączona • Znajdujemy sumę kwadratów odchyleń dla obu prób: SS1 (yi,1 y1)2 , SS2 (yi,2 y2)2 , uśrednioną wariancję: i osobno w obu próbach. sc2 = • Obliczamy nieuśrednione SE: 2 ( N ) SE SE1 SE2 s2 n2 Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich Metoda zwykła (niełączona) s1 s1 n1 SS1 SS2 n1 n2 2 , a następnie uśrednione (łączone) SE: 2 (U)SE= 1 1 1 1 sc2 sc . n1 n2 n1 n2 1 Przykład: • próba 1: n1 = 15, y1 = 75, SS1 = 600 • próba 2: n2 = 10, y2 = 55, SS2 = 300 • Wyniki z obu metod nie są takie same, ale są dość podobne. • Zauważmy, że mieliśmy tu s1 = 6.55 i s2 = 5.77. (Gdy s1=s2, to oba rachunki dają to samo SE i PU.) Przedział ufności dla 1 – 2 • Skonstruujemy przedział ufności dla 1 – 2 • Przypomnienie: PU dla : y t/2 SEy = (estymator) (kwantyl)(SE) • Estymator dla 1 - 2 : y1-y2 • Potrzebujemy t/2 : Ile użyć stopni swobody? (Wzoru nie trzeba pamiętać, będzie podawany.) • df= SE 2 1 SE22 2 • Tak wyliczona liczba stopni swobody jest nie większa niż n1 + n2 – 2; w przybliżonych obliczeniach często stosujemy df = n1 + n2 – 2. • Jest tez nie mniejsza niż minimum z wartości n1–1 i n2–1. • Jeżeli możemy założyć, że wariancje w obu grupach są równe, to stosujemy uśredniony estymator wariancji i df = n1 + n2 – 2. SE14 SE24 n1 1 n2 1 Przykład (cd) • Stosujemy ``nieuśredniony’’ SE, o ile w zadaniu nie będzie specjalnie wymagane użycie (U)SE. • • • • Skonstruuj 95% PU dla 1 - 2 y1 –y2 = 75 – 55 = 20 SE1 = 1.690 ; SE2 = 1.826 df= • PU na poziomie ufności (1-) dla 1 - 2: (y1-y2) t(df)/2 SE(y1-y2) 2 Przykład 2 - 95% PU dla 1 - 2 • Oblicz przedział ufności jeszcze raz wykorzystując „uśredniony’’ SE. • Rośliny hodowane w różnych warunkach oświetleniowych. Ciemno Jasno n 22 21 y 1.76 2.46 SE 0.5 0.7 Przedziały ufności: Interpretacja • “1” – populacja/próba hodowana przy słabym oświetleniu • “2” – populacja/próba hodowana przy mocnym oświetleniu • Oblicz 95% PU dla 1 - 2. • Nasz PU zawiera wartości zarówno dodatnie jak i ujemne? Co to znaczy? Testowanie hipotez Idea: • Chcemy odpowiedzieć na pytanie naukowe dotyczące populacji • Decyzję podejmujemy w oparciu o próbę dysponujemy informacją fragmentaryczną • W rezultacie możemy popełnić błąd przy podejmowaniu decyzji • Chcemy zminimalizować p-stwo błędu Typowe pytania: • Pytania o wartości parametrów • Dla populacji o rozkładzie Bernoulliego. Czy p-stwo sukcesu wynosi ½? („Czy moneta jest symetryczna/uczciwa?”) • Czy p-stwo sukcesu wynosi p0? (p0 – pewna konkretna, interesująca nas wartość) 3 • Pytania dla 1-go rozkładu normalnego: Czy średnia w populacji wynosi 0? Czy średnia w populacji wynosi 93? Czy średnia w populacji wynosi 0? • Dla dwóch populacji normalnych: Czy średnie wartości cechy w obu populacjach są równe? Czy różnica między średnimi w populacjach wynosi 0? Czy różnica między średnimi wynosi 0? • Zamiast: „Nieprawda” należałoby mówić: „Jest to mało prawdopodobne” albo: „Gdyby postawiona hipoteza była prawdziwa, to uzyskany wynik (z próby) byłby bardzo mało prawdopodobny. Dlatego odrzucamy tę hipotezę.” (Ale możemy się mylić). • Przykład:”Przeprowadzone badanie potwierdza tezę, że badane populacje różnią się średnią wartością badanej cechy.” (Odrzucamy hipotezę o równości średnich). • Wprowadzimy później ilościowy sposób motywowania takich decyzji (p-wartość). • Możemy podjąć decyzje: zostać albo uciekać • Decyzję uzależniamy od stanu wykrywaczy dymu (CICHO – zostajemy, GŁOŚNO – uciekamy). • System ostrzegania może popełnić dwa błędy: GŁOŚNO choć nie ma pożaru (na przykład przypaliliśmy grzankę) CICHO choć jest pożar (zła lokalizacja, zużyta bateria,…) • Na te pytania są możliwe odpowiedzi „tak” albo „nie” (prawda albo fałsz). • Pytania dotyczą całej populacji, do której na ogół nie mamy dostępu. Nasza decyzja, którą podejmujemy w oparciu o próbę, jest zagrożona błędem. Sposób formułowania odpowiedzi: • Zamiast: „Prawda” mówimy: „W oparciu o tę próbę nie możemy wykluczyć postawionej hipotezy”. • Przykład: „Przeprowadzone badania nie potwierdzają, że badane populacje mają różny średni poziom badanej cechy.” (Ale nie można wykluczyć, że jest różnica). Analogia: czujnik dymu • Instalujemy czujniki dymu, aby ostrzegały przed pożarem. • Czujniki reagują na cząstki dymu w powietrzu. • Mogą być w dwu możliwych stanach – CICHO i GŁOŚNO • Dom może być w dwu możliwych stanach – nie ma pożaru albo jest pożar • Na ogół nie ma pożaru i wykrywacz jest CICHO, więc nie reagujemy (dobra decyzja). • Czasami nie ma pożaru, a wykrywacz jest GŁOŚNO, więc uciekamy (błędna decyzja – strata czasu) – błąd I-go rodzaju. • Czasami jest pożar, a wykrywacz jest CICHO więc zostajemy (zła decyzja – niebezpieczeństwo) – błąd II-go rodzaju. • Czasami jest pożar i wykrywacz jest GŁOŚNO więc uciekamy (dobra decyzja). 4 Notacja: Hipotezy • Stan wyjściowy, „nie ma pożaru’’, nazywamy hipotezą zerową. • Drugi możliwy stan, „pożar’’, nazywamy hipotezą alternatywną. • H0 to skrót dla hipotezy zerowej. • HA to skrót dla hipotezy alternatywnej. • Gdy wykrywacz jest GŁOŚNO to mówimy, że wynik testu jest ``istotny’’. Definicja: Istotny wynik powoduje odrzucenie H0. • Gdy wykrywacz jest CICHO to wynik testu jest ``nieistotny’’ i nie odrzucamy H0. • Zauważmy, że H0 jest bardziej precyzyjna niż HA: np. gdy HA jest prawdziwa, to nie znana jest jeszcze skala pożaru. • Wykrywacze dymu mają pewną ustaloną czułość – reagują na określoną ilość dymu w powietrzu. • Jeżeli wykrywacz jest zbyt czuły, to będzie często powodował fałszywe alarmy (błędy I rodzaju). • Jeżeli nie jest dość czuły, to nie będzie się włączał, kiedy potrzeba (błędy II rodzaju). Decyzje • Nasze decyzje wyrażamy w odniesieniu do hipotezy zerowej H0: – Decyzja „uciekamy” odpowiada odrzuceniu H0, tzn. odrzucamy stanowisko, że nie ma pożaru. – Decyzja „zostajemy” odpowiada nieodrzuceniu H0. • Decyzję podejmujemy w oparciu o zachowanie czujnika dymu, którego rolę w dalszym ciągu przejmie statystyka testowa, czyli pewna wielkość obliczona z próby. Podsumowanie analogii • Hipotezy: H0 = nie ma pożaru, HA = pożar • Statystyka testowa: nieistotna=CICHO, istotna=GŁOŚNO • Decyzja: nie odrzucamy H0 = zostajemy, odrzucamy H0 = uciekamy • Błąd I rodzaju: odrzucamy H0, choć jest prawdziwa=uciekamy, choć nie ma pożaru • Błąd II rodzaju: nie odrzucamy H0, choć prawdziwa jest HA = zostajemy, choć jest pożar • Zwiększając czułość zmniejszamy p-stwo błędu II rodzaju, ale zwiększamy p-stwo błędu I rodzaju. • Dobór czułości testu powinien zależeć od konsekwencji błędów! • Jak opisać czułość testu? • „Poziom istotności” (α) to p-stwo błędu I rodzaju. Poziom istotności powinno się ustalić jeszcze przed przeprowadzeniem eksperymentu. • β – p-stwo błędu II rodzaju (zależy np. od wielkości pożaru) 5 Hipoteza zerowa H0 • Zwykle jest prosta i specyficzna. • To właśnie ją będziemy odrzucali albo nie. • Przykłady: • • • • • • =0 = 0 (-0 = 0) 1 = 2 (1–2 = 0) 1 - 2 = 0 p = p0 Uwaga: Aby kontrolować błąd I rodzaju należy znać rozkład statystyki testowej przy H0. • Przykłady HA: 0 > 0 < 0 1 2 (1 - 2 0) 1 > 2 (1 - 2 > 0) 1 < 2 (1 - 2 < 0) • Rozkład statystyki testowej przy HA powinien być inny niż przy H0 (wykrywacz powinien być GŁOŚNO, a nie CICHO, gdy mamy pożar). • Możemy skonstruować przedział ufności dla w oparciu o dane. Taki przedział ufności powinien zawierać . • Zatem jeżeli przedział ufności nie zawiera 5, to odrzucimy H0 na korzyść HA. • Jeżeli przedział ufności zawiera 5, to oznacza, że nie możemy odrzucić H0. Ponieważ jednak PU zawiera także wiele innych wartości niż 5, zatem nie mamy wystarczających podstaw, aby twierdzić, że H0 jest prawdziwa. Hipoteza alternatywna HA • W jakimś sensie przeciwna do H0 • Na ogół HA jest bardziej ogólna niż H0 (np. nieznany jest rozmiar pożaru) • „odrzucenie H0" oznacza, że wierzymy w HA • „nie odrzucenie H0" oznacza, że nie mamy dość silnych dowodów przemawiających za HA. Nie jest to to samo, co udowodnienie prawdziwości H0 (tego na ogół nie potrafimy zrobić przy pomocy próby). Przykład ilustracyjny • Załóżmy, że mamy próbę z populacji o rozkładzie normalnym. Niech (nieznane) oznacza jego średnią. Chcemy przetestować • H0: = 5 przeciw alternatywie • HA: 5 • PU na poziomie (1-) jest dany wzorem y t/2 SE. Sprawdzimy, czy zawiera on 5. 6 • Równoważnie wystarczy wyznaczyć statystykę testową (y – 5)/SE i sprawdzić, czy zawiera się ona w przedziale –t/2 and +t/2 • Jeżeli tak, to statystyka jest nieistotna i nie odrzucamy H0. • Jeżeli nie to statystyka jest istotna i odrzucamy H0. Zbiór (-∞ , –t/2) U (+t/2 , ∞) nazywamy obszarem krytycznym (obszarem odrzuceń). Jeżeli statystyka testowa znajdzie się w obszarze krytycznym, to odrzucamy H0. • Zauważmy, że postać statystyki testowej zależy od H0 (stąd pochodzi 5). • Zwykle statystykę testową wybieramy tak, abyśmy umieli podać jej rozkład przy H0. • Co się stanie, jeżeli prawdziwa jest HA?: • Wtedy ≠ 5 i rozkład statystyki (y-5) będzie skoncentrowany w okolicach (-5) zamiast w okolicach 0. • α wybieramy przed przystąpieniem do testowania. Typowe wartości α to 0.05, 0.01 lub 0.1. Możemy jednak stosować inne wartości. Wybór α powinien zależeć od konsekwencji błędów I-go i II-go rodzaju. • Wartość krytyczna – wartość leżąca na granicy obszaru krytycznego. • Statystyka testowa y przy H0 ma rozkład ...................... n • Zwykle nie znamy σ i zastępujemy je przez s. • Przy H0 (y-)/SE ma rozkład Studenta z n-1 stopniami swobody. • Stąd, jeżeli H0 jest prawdziwa, to = 5 i (y-5)/SE ma rozkład ...................... Poziom istotności • Poziom istotności - = P-stwo błędu I-go rodzaju (odrzucenie H0, gdy jest prawdziwa; fałszywy dodatni wynik testu). • Załóżmy, że H0 jest prawdziwa. Jakie jest pstwo, że statystyka testowa znajdzie się w zbiorze krytycznym (-∞ , –t/2) U (+t/2 ,∞)? • Rozbiliśmy tu zbiór krytyczny na (-∞ , –t/2) i (+t/2 ,∞). Postępujemy tak, bo HA: ≠ 5 , jest symetryczna (niekierunkowa). Jesteśmy zainteresowani zarówno alternatywami dla których < 5 jak i > 5. • Często rozważamy też alternatywy kierunkowe, np. HA: > 5. W tym przypadku obszar krytyczny ma postać: (+t ,∞). • Dla HA: < 5, obszar krytyczny to (-∞ , –t). 7