Sprzężone oscylatory

Projekt nr B.1.10.
Sprzężone oscylatory.
Wstęp.
Rozważamy problem dwóch mas połączonych ze sobą oraz ze ściankami bocznymi sprężynami (oznaczenia na
rysunku).
W stanie spoczynku odległość obu ciał od siebie oraz każdego z nich od najbliższej ścianki jest równa długości
swobodnej sprężyny a. Ponadto ruch może odbywać się tylko w kierunku x bez tarcia.
Równanie ruchu dla pierwszego ciała jest następujące:
F1 = m1
d 2 x 1 (t)
= − k 1 (x 1 ( t ) − a ) − k 2 (a − (x 2 ( t ) − x 1 ( t ) ))
dt 2
i dla drugiego ciała:
F2 = m 2
d 2 x 2 (t)
= − k 2 (x 2 ( t ) − x 1 ( t ) − a ) − k 3 ((x 2 ( t ) − x 3 ( t ) ) + a )
dt 2
Wprowadźmy współrzędne środka masy:
X( t ) =
x 1 ( t )m1 + x 2 ( t )m 2
m1 + m 2
oraz współrzędne względne:
x(t) = x1 (t) − x 2 (t)
W szczególnym przypadku gdy k 3 m1 = k 1 m 2 rozwiązaniem równania ruchu środka masy jest trajektoria:
 k1 + k 2  a
X( t ) = A cos
t  + (k 1 + 2k 3 )
m
+
m
M
1
2 

Zadania do wykonania:
1.
2.
Używając metody Rungego-Kutty drugiego rzędu należy znaleźć trajektorie obu ciał. Jako warunki
brzegowe przyjąć można: V1 (0) = 0, V2 (0) = 0, x 1 (0) = x 10 , x 2 (0) = 2a . Narysować
przykładowe trajektorie dla różnych wartości parametrów k i m. Wyznaczyc energię całkowitą układu
oraz obu ciał i sprawdzić czy są one zachowane.
Obliczyć trajektorię środka masy przy warunku k 3 m1 = k 1 m 2 i porównać z rozwiązaniem
analitycznym. Przyjąć A =
x 10 m1
.
m1 + m 2