„Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale`a
Transkrypt
„Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale`a
PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LXII – ZESZYT 2 – 2015 EMIL PANEK1 „SILNY” EFEKT MAGISTRALI W MODELU DYNAMIKI EKONOMICZNEJ TYPU GALE’A. ZAGADNIENIE WZROSTU DOCELOWEGO (AUTOPOPRAWKA) W artykule Panek (2013) sformułowanie lematu 1 jest nieścisłe i wymaga korekty. W konsekwencji w kilku miejscach konieczna jest także korekta dowodu twierdzenia 3. Treść twierdzenia, w tym teza, pozostaje bez zmian. Za powstałe uchybienie przepraszam Czytelników i Redakcję. Poniżej przedstawiam poprawioną wersję lematu oraz twierdzenia z naniesionymi korektami. Ich zrozumienie wymaga sięgnięcia do oryginalnego tekstu. *** Przy dowodzie „silnego” twierdzenia o magistrali (twierdzenie 3) korzystamy z wynikającej z ciągłości funkcji α następującej własności dopuszczalnych procesów [ produkcji: Jeżeli struktura nakładów w procesie (x,y) ∈ Z jest dostatecznie „bliska” [ struktury magistralnej V , wówczas z nakładów tych możliwe jest wytworzenie produkcji y ∈ N z technologiczną efektywnością dowolnie bliską optymalnej efektywności αM. Mówi o tym następujący lemat. □ Lemat 1 ܵ א ݏାା ሺͳሻߪሺݏሻ אሺͲǡͳሿ א ߜሺͲǡ ߙெ ሻ ߝᇱ Ͳ ሺԡ ݏെ ݏҧԡ ൏ ߝ ᇱ ฺ ሺݏǡ ߪሺݏሻߙெ ݏҧ ሻ ܸ אሺͳሻ ˄ ߙሺݏǡ ߪሺݏሻߙெ ݏҧሻ ߙெ െ ߜሻ, gdzie: 6 1 ^[ ! _ [ ` oraz 9 ^ [ \ = _ [ `. Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informatyki i Gospodarki Elektronicznej, Katedra Ekonomii Matematycznej, al. Niepodległości 10, 60-967 Poznań, Polska, e-mail: [email protected]. 254 Emil Panek Dowód. Najpierw pokażemy, że V 6 V VVD0 V 9 . (*) Ponieważ V ! , więc V 6 ߣሺݏሻ ൌ ሼߣȁߣݏ ؤ ݏҧሽ . Oczywiście, ߣሺݏሻ ͳ (gdyż ԡݏҧԡ ൌ ͳ ). Z własności procesu optymalnego (zob. (1), (4)) wynika, że V D 0 V 9 = . Wtedy, zważywszy na własność (III) przestrzeni produkcyjnej Z, otrzymujemy: O V V D 0 V = czyli VV VD 0 V 9 , gdzie V V O V jest ciągłą funkcją z ܵାା ሺͳሻ do (0,1], ߪሺݏҧ ሻ ൌ ͳ. Funkcja α jest nieujemna i ciągła na V(1) oraz PD[ D [ \ D 0 [ \ 9 D V D 0 V , więc א ߜሺͲǡ ߙெ ሻ ߝᇱ Ͳሺԡ ݏെ ݏҧԡ ൏ ߝ ᇱ ฺ ߙሺݏǡ ߪሺݏሻߙெ ݏҧ ሻ ߙெ െ ߜሻ. Z (*), (**) wynika teza lematu. (**) ■ „Silne” twierdzenie o magistrali głosi, że niezależnie od długości horyzontu T wszystkie (y0,t1, S ) optymalne procesy wzrostu przebiegają w dowolnie bliskim otoczeniu magistrali N wszędzie za wyjątkiem co najwyżej ich pewnej (skończonej) liczby na początku i pod koniec horyzontu. Im dłuższy jest horyzont gospodarki T, tym dłużej, w środkowej fazie, optymalny proces wzrostu przebiega w bliskim otoczeniu magistrali. Istotną rolę gra warunek (VI). □ Twierdzenie 3 („Silne” twierdzenie o magistrali) W Weźmy (y0,t1, S ) optymalny proces \ W W . Jeżeli spełnione są warunki (I) – (VI), to ^ H ! N 1 ` § \ W · W ! N ߳ݐሼ݇ǡ ݇ ͳǡ ǥ ǡ ݐଵ െ ݇ሽ ¨ V H ¸. ¨ \ W ¸ © ¹ Dowód. Wybierzmy liczbę ε > 0. Niech liczba δ(ε) ∈ (0,αM) spełnia warunek (7). Weźmy liczbę δ ∈ (0,δ(ε)) oraz odpowiadającą jej liczbę ε' ∈ (0,ε) z lematu. Zgodnie ze „słabym” twierdzeniem o magistrali istnieje taka liczba naturalna kε', że jeżeli t1 > kε', to „Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie wzrostu docelowego \ W \ W 255 (21) V H dla co najmniej jednego t ∈ T = {0,1,…,t1}. Niech t1 > 2kε' oraz τ1 będzie pierwszym, a τ2 ostatnim okresem horyzontu T = {0,1,…, t1}, w którym zachodzi warunek (21). W świetle lematu § \ W · ¨ ¸ 9 , V D V 0 ¨ \ W ¸ © ¹ czyli \ W UV D V = , 0 gdzie V V V W , V W a \ W \ W \ W , U \ W ! . Wówczas proces GOD W W GOD W W W \ W ® W W ¯UV D 0 V ^ ` W jest (y0, t1) dopuszczalny oraz z definicji optymalnego procesu \ W W : \ W ² ¢ S \ W ² t ¢ S a UV D 0W W ¢ S V ². (22) Niech k' będzie liczbą okresów między τ1, τ2, w których \ W V tH. \ W Z (2), (7), (10) otrzymujemy: W W W W N ¢ S \ W ² d D 0 G H D 0 D 0 G H N ¢ S \ W ². Łącząc (22), (23) dochodzimy do nierówności UV D 0W W ¢ S V ² d D 0 G H W W D 0W W N D 0 G H N ¢ S \ W ² , lub inaczej: N § D 0 G H · § · D0 ¨¨ ¸¸ t ¨¨ ¸¸ D0 © ¹ © D 0 G H ¹ W W UV ¢ S V ² . ¢ S \ W ² (23) 256 Emil Panek \ W , można zapisać w równo\ W Nierówność powyższą, po podstawieniu V W ważnej postaci: N § D 0 G H · § · D0 ¨¨ ¸¸ t ¨¨ ¸¸ D0 © ¹ © D 0 G H ¹ Zgodnie z lematem: W W V ¢ S V ² , ¢ S V W ² (24) D D V W V D 0 V t D 0 G , zatem D V W d V D 0 V oraz D 0 G V W d V D 0 V . Wówczas: D 0 G ¢ S V W ² d V D 0 ¢ S V ² , czyli V ¢ S V ² D 0 G . t ¢ S V W ² D0 Stąd i z (24) dostajemy: W W N § D 0 G H · § · D0 G D0 . ¨¨ ¸¸ t ¨¨ ¸¸ D0 D D G H 0 © ¹ © 0 ¹ Pamiętając, że 0 < δ(ε') < δ(ε) < αM (gdyż 0 < ε' < ε i funkcja δ jest rosnąca; zob. warunek (VI)) oraz δ ∈ (0, δ(ε)) i t1 – τ1 ≥ 0, dochodzimy do nierówności: N § D 0 G H · § · D0 ¨¨ ¸¸ ! ¨¨ ¸¸ D0 © ¹ © D 0 G H ¹ N W W D 0 G H , D0 N § D G H · ¸¸ ! lub (równoważnie) D 0 G H ! D 0N . czyli ¨¨ 0 D 0 © ¹ Jedyną nieujemną liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest k' = 0. W charakterze liczby k o której mowa w tezie twierdzenia, można przyjąć k = kε'. ■ LITERATURA Panek E., (2013), „Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie wzrostu docelowego, Przegląd Statystyczny, 60 (4), 448–458. „Silny” efekt magistrali w modelu dynamiki ekonomicznej typu Gale’a. Zagadnienie wzrostu docelowego 257 „SILNY” EFEKT MAGISTRALI W MODELU DYNAMIKI EKONOMICZNEJ TYPU GALE’A. ZAGADNIENIE WZROSTU DOCELOWEGO (AUTOPOPRAWKA) Streszczenie Artykuł zawiera korektę dowodu lematu oraz w konsekwencji „silnego” twierdzenia o magistrali przedstawionych w pracy Panek (2013). Słowa kluczowe: gospodarka Gale’a, równowaga von Neumanna, magistrala produkcyjna, „silne” twierdzenie o magistrali “STRONG” TURNPIKE EFFECT IN THE GALE ECONOMIC DYNAMICS MODEL. FINITE STATE GROWTH PROBLEM (AUTHOR’S OWN CORRECTION) Abstract The article contains a correction of lemma 1 proof and the consequently “strong” turnpike theorem 3 as presented in the work by Panek (2013). Keywords: Gale economy, von Neumann equilibrium, production turnpike, “strong” turnpike theorem