XIV - 1. Kiedy ciągi liczb rzeczywistych x1,x2,..., y1,y2,... oraz z1,z2

XIV - 1. Kiedy ciągi liczb rzeczywistych x1 , x2 , . . ., y1 , y2 , . . . oraz z1 , z2 , . . .
spełniające warunki zn xn+1 = 1 + yn zn , xn yn+1 = 1 + zn xn oraz yn zn+1 = 1 + xn yn
są ograniczone?
XIV - 2. Czy potrafisz obliczyć granicę limn→∞ x9n , jeśli ciąg liczb x1 , x2 , . . .
spełnia warunki xn+2 = |xn−1 | − xn ?
XIV - 3. Które ciągi liczb rzeczywistych są sumą dwu ciągów rosnących?
XIV - 4. Kiedy ciąg liczb rzeczywistych x1 , x2 , . . . spełniający warunki
xn+1 = xn
1
xn +
n
jest monotoniczny?
XIV - 5. Czy wszystkie podzbiory zbioru skończonego można ustawić w ciąg
tak, aby kolejne wyrazy różniły się dokładnie jednym elementem?
XIV - 6. Niech pn będzie prawdopodobieństwem, że w ciągu n rzutów monetą
pojawi się seria kolejnych 1000000 orłów. Ile wynosi limn→∞ pn ?
XIV - 7. Płaszczyznę pokryto rodziną pasów. Czy suma szerokości tych
pasów musi być nieskończona?
XIV - 8. Niech x1 , x2 , . . . będzie ciągiem liczb naturalnych, których rozwinięcie dziesiętne nie zawiera cyfry 0. Czy zawsze zachodzi nierówność
n
X
1
k=1
xk
< 29?
XIV - 9. Niech x1 , x2 , . . . będzie ciągiem liczb naturalnych, których rozwinięcie dziesiętne nie zawiera cyfry 9. Czy zawsze zachodzi nierówność
n
X
1
k=1
xk
< 80?
XIV - 10. Dla ustalonej liczby naturalnej k dany jest ciąg kół K1 , K2 , . . .
oraz ciąg W1 , W2 , . . . złożony z wielokątów wypukłych o k−bokach takich, że
K 1 ⊇ W1 ⊇ K 2 ⊇ W2 ⊇ . . . .
Czy ciąg promieni kół K1 , K2 , . . . musi być zbieżny do zera?