nU U n

1.2.
Potencjał prędkości
Trzecie ważne uproszczenie przyjmowane w analizie przepływów potencjalnych
dotyczy bezwirowości przepływu, zgodnie z którym wszystkie elementy płynu nie mogą
obracać się względem swoich środków ciężkości. Oznacza to, że wszystkie składowe
prędkości wirowania spełniają związek:
ωx = ω y = ωz = 0
(1.6)
Powyższa analiza będzie bardziej przekonywująca, jeżeli wprowadzimy pojęcie wektora
wirowości (rotacji) o postaci
→
→
→
→
→
→
Ω = Ω x i + Ω y j + Ω z k = curl U = ∇ U
gdzie
∂ Uz ∂ Uy 

Ω x = 2 ω x = 
−
∂ z 
 ∂ y
∂ Ux ∂ Uz 

−
Ω y = 2ω y = 
∂ x 
 ∂z
(1.6.a)
∂ Uy ∂ Ux 

Ω z = 2ω z = 
−

∂
∂
x
y


Dwie z powyższych składowych wektora wirowości muszą być równe zero dla przepływu
2D:
Ωx = Ωy = 0
ponieważ zgodnie ze wz. (1.5) albo U z = 0 lub
∂
= 0 . Dla spełnienia warunku (1.6)
∂z
wystarcza zatem założenie
Ωz = 0
(1.7)
które wymaga, aby elementy płynu w trakcie ruchu wzdłuż swoich trajektorii nie mogły
obracać się względem swoich środków masy, tzn. że jedynie ruch typu (a) jest dozwolony
(patrz rys. 1.3). Rotacja elementów płynu w przepływie płynu rzeczywistego jest najczęściej
spowodowana lepkością, co pokazano na rys. 1.3.
a)
b)
n
n
przepływ
bezwirowy
Rys.1.3.
U
U
przepływ
wirowy
Bezwirowy (a) i wirowy (b) ruch elementu płynu wzdłuż trajektorii.
W przepływie płynu idealnego (nielepkiego) obecność ściany nie zakłóca pola prędkości, i
prędkość jest zatem jednakowa na górnej i dolnej ścianie zaznaczonego na rysunku (1.3a)
elementu płynu. Element płynu nie obraca się wówczas wokół swego środka masy i ten rodzaj
ruchu nazywać możemy bezwirowym. Lepkość płynu sprawia natomiast, że prędkość na
nieruchomej ścianie spada do zera i w przepływie występuje gradient prędkości w kierunku
normalnym do ściany. Na każdym elemencie płynu znajdującym się w takim przepływie
4
gradientowym występują różnice prędkości na górnej i dolnej ścianie (rys. 1.3.b) powodujące
obrót tego elementu wokół środka masy. Założenie upraszczające dane wz. (1.6) oraz (1.7)
jest jednak uzasadnione fizycznie, gdyż jak pokazano w rozdz. 1.1 w przeważającym obszarze
przepływu poza warstwami przyściennymi lepkość nie odgrywa istotnej roli. Przyjęcie
założenia o bezwirowości przepływu oznacza, że tylko ten rodzaj ruchu, który pokazano na
rys. 1.4.a jest dozwolony w przepływach potencjalnych. Mimo zatem, iż pokazane na rys.
1.4.b zachowanie elementu płynu w trakcie przemieszczania wzdłuż trajektorii wydaje się
bardziej naturalne, to jednak płyn rzeczywisty w ruchu wzdłuż linii prądu tak się nie
zachowuje a poza tym nie może to być ruch potencjalny. Wskaźnik położenia elementu płynu
pokazuje bowiem, że wyróżniony na rys. 1.4.b element wykonuje w trakcie ruchu obrót
wokół swego środka masy, co sprzeczne jest z przyjętym przez nas założeniem (1.7).
U
U
a)
linia prądu
y
U
U
U
b)
x
U
Rys.1.4.
Ilustracja związku między wirowością pola prędkości i lepkością płynu.
Bezwirowość przepływu 2D jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla
istnienia ciągłej, analitycznej funkcji
ϕ ( x, y )
nazywanej potencjałem prędkości, która związana jest z polem prędkości zależnością:
→
U = grad ϕ = ∇ϕ
(1.8)
co zapisać można jako:
Ux =
Uy =
∂ϕ
∂ x
∂ϕ
(1.9)
∂y
Oznacza to, że wektor prędkości, który zgodnie z równ. (1.5.a) jest funkcją dwóch zmiennych
U x oraz U y , może być teraz zapisany jako funkcja zaledwie jednej zmiennej, tzn.:
→
∂ϕ r ∂ϕ r
U ( x, y ) =
i +
j
∂x
∂y
co w sposób niewątpliwy upraszcza dalszą analizę.
Potencjał prędkości jest funkcją skalarną opisującą pewne warunki, które spełnić musi
przepływ w płaszczyźnie ( x , y ) , chociaż sama funkcja ϕ ( x , y ) nie ma sensu fizycznego i
przedstawia abstrakcyjne (chociaż użyteczne) pojęcie matematyczne.
Użyteczność tego pojęcia można wykazać analizując podstawowy warunek
kinematyczny, który musi być spełniony przez pole przepływu, tzn. równanie ciągłości.
Równanie to może być dla przepływu ustalonego płynu nieściśliwego zapisane w postaci:
→ ∂U
∂Uy
x
+
=0
(1.10)
div U =
∂x
∂y
5
Założenie nieściśliwości płynu oznacza w praktyce, że analiza przepływów potencjalnych jest
właściwa dla opisu ruchu cieczy, które są nieściśliwe dla zakresów ciśnień i prędkości
spotykanych w typowych zastosowaniach technicznych. W przypadku analizy przepływu
gazów, ich prędkość musi być ograniczona do zakresu:
U < 100 m/s
ponieważ w tym zakresie zmiana gęstości ∆φ jest na tyle mała, aby spełniony był warunek
∆φ / φ < 1%, co oznacza, że spełniony jest wówczas warunek nieściśliwości.
Wprowadzenie (1.9) do równania ciągłości (1.10) daje:
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+
= ∇ 2ϕ = 0
(1.11)
2
2
∂x
∂ y
Widzimy zatem, że bezwirowy przepływ płynu nieściśliwego może być opisany przez
równanie Laplace’a dla potencjału prędkości ϕ i ta własność pola przepływu ma dalsze,
istotne następstwa.
Po pierwsze, zamiast konieczności żmudnej analizy równania ciągłości, które w
postaci (1.10) nie ma znanych rozwiązań analitycznych (i musi być rozwiązywane
indywidualnie dla każdego przepływu) możemy użyć doskonale znanych rozwiązań równania
Laplace’a. Po drugie, rozwiązaniem równania Laplace’a są funkcje harmoniczne, które są
ciągłe i mogą zatem przedstawić linie stałych wartości potencjału prędkości. Warto również
zauważyć, że warunek:
grad ϕ = 0
jest spełniony na każdej linii ekwipotencjalnej, co oznacza z kolei, że wektor prędkości musi
być prostopadły do tej linii.
Najważniejszą jednak konsekwencją zw. (1.11) jest liniowość równania Laplace’a
oznaczająca, że liniowe kombinacje rozwiązań są również rozwiązaniami tego równania. Dla
przykładu, jeżeli dwie funkcje potencjału prędkości:
ϕ 1( x, y ) ; ϕ 2 ( x, y )
spełniają (każda z osobna) równanie Laplace’a, to ich suma
ϕ = a ϕ1 + bϕ 2
gdzie a ,b - stałe
jest również rozwiązaniem równania Laplace’a. Własność ta ma bardzo istotne konsekwencje,
gdyż umożliwia uzyskiwanie rozwiązań dla złożonych przepływów poprzez ich
dekompozycję na przepływy proste lub też tworzenie przepływów złożonych przez
superpozycję przepływów prostych.
6