docLista 12A
download 
Reklamacja Transkrypt
Lista 12A
Uniwersyteckie Kólko Matematyczne - poziom A www.math.uni.wroc.pl/˜preisner/jg Pawel Józiak, 24 kwietnia 2010 r. 1 Rozgrzewka 1. Każdy z siedmiu braci ma po jednej siostrze. Ile jest wszystkich dzieci? 2. Ile końców maja 3 kije? 5 kijów? A 5 i pól kija? ‘ 3. Lecial klucz gesi: jedna geś na przedzie, a dwie z tylu; jedna geś z tylu, a dwie na przedzie; ‘ ‘ ‘ jedna miedzy dwiema i trzy w jednym rzedzie. Ile bylo wszystkich gesi? ‘ ‘ ‘ 4. Ślimak wspina sie na drzewo wysokie na 10 m. W ciagu dnia podnosi sie o 4 m, a w ciagu ‘ ‘ ‘ ‘ nocy zsuwa sie o 3 m. Po ilu dniach ślimak dostanie sie na wierzcholek drzewa? ‘ ‘ 5. Dwaj ojcowie i dwaj synowie zjedli razem trzy jablka, każdy po calym jablku. Jak to możliwe? 6. Dwaj chlopcy grali w szachy 4 godziny. Ile godzin gral każdy z nich? 7. 7 ludzi ma 7 kotów, każdy kot zjada 7 myszy, każda mysz zjada po 7 klosów jeczmienia, zaś ‘ z każdego klosa jeczmienia może wyrosnac 7 miar ziarna. Ile byloby wszystkich miar ziarna? ‘ ‘ 8. Jak przeprawić tratwa z jednego brzegu na drugi: koze, dwa wilki, psa i kapuste, jeśli ‘ ‘ ‘ wiadomo, że wilka nie można zostawić samopas z koza i z psem, psa z koza ani kozy z ‘ ‘ kapusta? W tratwie sa tylko trzy miejsca, wiec jednocześnie możemy zabrać ze soba co ‘ ‘ ‘ ‘ najwyżej dwa zwierzeta badź zwierze i kapuste. ‘ ‘ ‘ ‘ 2 Na poważnie 1. Dana jest lista n zdań. Zdanie o numerze k brzmi: “Na niniejszej liście jest dokladnie k zdań falszywych” (1 ≤ k ≤ n). Znajdź wszystkie zdania prawdziwe. 2. Basen opróżnia sie przez otwór w dnie w ciagu czterech godzin. Jeden z dwu kranów napelnia ‘ ‘ basen w ciagu 1 godziny. drugi zaś w ciagu 2 godzin. Oblicz, w jakim czasie napelnimy basen ‘ ‘ majac otwarte obydwa krany oraz otwór w dnie. ‘ 3. W pewnym turnieju, w którym gral każdy z każdym, uczestniczyli zawodnicy z grup A i B. Po zakończeniu turnieju okazalo sie, że każdy zawodnik polowe uzyskanych punktów zdobyl ‘ ‘ w grach z zawodnikami z grupy B. Za zwyciestwo zawodnik otrzymywal 1 punkt, zaś za ‘ porażke - zero. Udowodnij, że liczba uczestników turnieju jest kwadratem liczby naturalnej. ‘ 4. Pan Iksiński powiedzial, że gdy sume lat trojga jego dzieci pomnożymy przez jego wiek, ‘ otrzymamy liczbe 128. Wiek pana Iksińskiego jest liczba calkowita o sumie cyfr równej 5. ‘ ‘ ‘ Ile lat ma pan Iksiński, a ile jego dzieci? 5. Na Kongres Matematyczny przyjechalo wielu uczonych z calego świata. Jedni znali sie już ‘ wcześniej, inni nie. Okazalo sie, że nie ma dwóch osób, które mialyby te sama liczbe zna‘ ‘ ‘ ‘ jomych i jednocześnie mialy wspólnych znajomych. Udowodnij, że na Kongres Matematyczny przyjechal uczony, który mial dokladnie jednego znajomego wśród uczestników Kongresu. 1 6. Na brzegu jeziora o ksztalcie kola znajduja sie cztery przystanie: K, L, P, Q. Z przystani K ‘ ‘ wyplywa kajak kierujac sie do przystani Q, a z przystani L wyplywa w tym samym momencie ‘ ‘ lódka kierujac sie do przystani P . WIadomo, że gdyby zachowujac swe predkości kajak ‘ ‘ ‘ ‘ plynal w kierunku przystani P , a lódka w kierunku przystani Q, to doszloby do zderzenia. ‘ Udowodnij, że kajak i lódka dobija do celów w tym samym czasie. ‘ 7. (Zadanie Newtona) Wiadomo, że trawa na calym polu rośnie jednakowo gesto i szybko. ‘ Sześćdziesiat krów zjada trawe w ciagu 24 dni, zaś 30 krów w ciagu 60 dni. Ile krów bedzie ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ zjadalo trawe w ciagu 100 dni? ‘ ‘ 8. W czasie I wojny światowej w pobliżu pewnego zamku toczyla sie bitwa. Jeden z pocisków ‘ rozbil stojaca u wejścia do zamku statue rycerza z pika w reku. Stalo sie to ostatniego dnia ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ ‘ miesiaca. Iloczyn daty dnia, numeru miesiaca, wyrażonej w stopach dlugości piki, polowy ‘ ‘ wyrażonego w latach wieku dowódcy baterii strzelajacej do zamku oraz polowy wyrażonego ‘ w latach czasu, jaki stala statua, równa sie 451066. W którym roku postawiono statue? ‘ ‘ 9. W szkole liczacej 2010 uczniów jest n dziewczat (n < 2010). Pierwsza dziewczyna podoba ‘ ‘ sie siedmiu chlopcom z tej szkoly, druga dziewczyna - ośmiu, trzecia - dziewieciu, ..., n-ta ‘ ‘ dziewczyna - wszystkim chlopcom z tej szkoly. Policz, ilu chlopców jest w tej szkole? 10. W pewnym turnieju wzielo udzial n drużyn (n > 2). Każda drużyna rozegrala z każda ‘ ‘ dokladnie jeden mecz i nie zanotowano remisów. Udowodnij, że jeżeli pewne dwie drużyny wygraly równa ilość meczów, to znajdziemy trzy drużyny A, B, C takie, że A wygrali z B, B ‘ wygrali z C, zaś C wygrali z A. 11. Przeprawa lódka 20 km w dól rzeki i z powrotem trwala 7 godzin. Równocześnie z lódka z ‘ ‘ tego samego miejsca wyplynela tratwa, która spotkano w drodze powrotnej w odleglości 12 ‘ ‘ km od miejsca wyruszenia. Oblicz predkość pradu rzeki. ‘ ‘ 12. Uczniów bioracych udzial w olimpiadzie matematycznej należalo umieścić w salach tak, by ‘ w każdej sali byla ta sama liczba osób, przy czym nie wiecej niż 32 osoby. Kiedy najpierw ‘ w każdej sali umieszczono po 22 osoby, okazalo sie, że dla jednej osoby zabraklo miejsca. ‘ Gdy zaś z jednej z sal zrezygnowano, w pozostalych miejsc wystarczylo dla wszystkich. Ilu zawodników wzielo udzial w tej olimpiadzie i ile przygotowano dla nich sal? ‘ 13. Pewien hrabia mial osobliwy zwyczaj picia kawy. Otóż, majac filiżanke pelna kawy, wypijal ‘ ‘ ‘ pewna cześć, po czym dolewal do pelna mleka, po chwili znów upijajac nieco zawartości ‘ ‘ ‘ filiżanki i uzupelniajac brakujaca objetość plynu mlekiem, przy czym wypil dwa razy mniej ‘ ‘ ‘ niż poprzednim razem. Slowem, ilekroć napil sie z filiżanki, uzupelnial jej zawartość mlekiem, ‘ a pil dwukrotnie mniej niż poprzednim razem, aż w końcu wypil za jednym zamachem cala ‘ filiżanke. Rozstrzygnij, czy hrabia napil sie wiecej mleka czy kawy? ‘ ‘ ‘ 2
