Dyskretne modele populacji
Transkrypt
Dyskretne modele populacji
Dyskretne modele populacji Michal Machtel Adam Soboczyński 17 stycznia 2007 – Typeset by FoilTEX – Dyskretne modele populacji [1] Wstep ֒ Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których nie ma zjawiska zachodzenia na siebie pokoleń. Bedziemy anali֒ zować modele opisywane przez uklady dynamiczne postaci: xn+1 = f (xn) Sztuka modelowania polega na umiejetnym dobraniu f(x) tak, aby powyżzsze ֒ równanie dobrze oddawalo obserwowane fakty. – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [2] Przyklady ważniejszych modeli • liniowy xn+1 = rxn ⇒ xn = r nx0 • liniowy logistyczny xn+1 = xn[1 + r((K − xn)/K)] – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [3] Przyklady ważniejszych modeli cd.. • ekspotencjalny logistyczny xn+1 = xn exp[r((K − xn)/K)] • z opóźnieniem(delay model) xn+1 = f (xn, xn−T ) – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [4] Prosty model rozwoju populacji Na wstepie rozważymy bardzo uogólniony model, który można za֒ stosować przy charakeryzacji rozwoju populacji prymitywnych zwierza̧t. Zakladamy, ze nasze zwierzeta rozmnażaja sie raz w roku. Znamy ֒ średnia̧ ilość potomstwa przypadaja̧cego na samice֒ (s) , oraz wspólczynnik przyżywalności zwierza̧t przez rok życia (b) . Zakladamy, że ilość samców i samic jest jednakowa, wiec ֒ możemy w naszym modelu rozważać tylko samice. Wówczas w n+1 - wszym roku życia naszej populacji jej liczbe֒ bedzie ֒ można określić równaniem: xn+1 = s(1 + b)xn – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [5] Prosty model rozwoju populacji ptaków Poprzedni model opisywal przyrost populacji bardzo prostych gatunków zwierza̧t które caly czas mialy zdolność do reprodukcji. Niestety nie jest tak u ptaków. Ptaki możemy podzielić na 3grupy, ze wzgledu na ich rozwój: • piskleta - opiekuja̧ sie nimi rodzice ֒ • mlode ptaki - już nie opiekujá sie nimi rodzice, ale nie maja̧ jeszcze zdolności do reprodukcji • dorosle ptaki - to sa̧ ptaki, które przetrwaly i maja̧ zdolność do rozmnażania – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [6] Prosty model rozwoju populacji ptaków Przy wyznaczaniu liczebności populacji musimy mieć dane nastepuja̧ce ֒ wskaźniki: • b - średnia ilość piskla̧t na doroslego osobnika • sc, sj , sa - wspólczynniki przeżycia odpowiednio piskla̧t, mlodych i doroslych osobników Cn+1 = bAn Jn+1 = scCn An+1 = sj Jn + saAn – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [7] Model rozwoju populacji ptaków Poprzednie modele mialy znacza̧ca̧ wade, ly one ֒ gdyż nie uwzglednia ֒ maksymalnej pojemności środowiska. Moglo dojść do takich sytuacji w których wielokość naszej populacji da̧żylaby do nieskończoności lub do zera, w zależnosci od naszych wspólczynników. W naszym nowym modelu mamy wartość K, która odpowiada za pojemność naszego środowiska. Wówczas nasz model bedzie mial postać: Cn+1 = bAn Jn+1 = sc(1 − PKn )Cn An+1 = sj (1 − PKn )Jn + sa(1 − PKn )An – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [8] Populacje o rozmierze stalym po kilku pokoleniach Z punktu widzenia ukladow dynamicznych i stabilonści najbardziej interesuja̧ nas modele w których bedzie można przewidzieć sytuacje populacji ֒ po n-latach. W takich modelach bedziemy szukać punktów stalych. Rozważmy nastepuja̧cy model: Cn+1 = 2An Jn+1 = 0.8Cn An An+1 = An(1 − 500 )Jn + 0.7An przy warunkach pocza̧tkowych: C0 = J0 = 0, A0 = 100 – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [9] Populacje o rozmierze stalym po kilku pokoleniach cd.. Obliczamy uklad równań postaci: C = 2A J = 0.8C A A = A(1 − 500 )J + 0.7A i otrzymujemy punkty stale postaci: (0, 0, 0), (531, 425, 266). – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [10] Prosty model dyskretny z opóźnieniem Prosty model ekspodencjalno - logistyczny z opóźnieniem T = 1 xt+1 = xt exp[r(K − xt−1/K)], r0 Po przeskalowaniu przez pojemność środowiska ut = xt/K uzyskujemy ut+1 = ut exp[r(1 − ut−1] Równanie to jest zależne od parametru r i od populacji pocza̧tkowej u0 – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [11] Prosty model dyskretny z opóźnieniem Szukamy stanów ekwilibrium (punktów stalych) u = u exp[r(1 − u)] Mamy wiec u = 0. Dla u > 0 1 = exp[r(1 − u)] ⇔ r(1 − u) = 0 ⇔ u = 1 Sa̧ to wiȩc jedyne stany ekwilibrium. 0 jest repelerem, bo dla u ∈ (0, 1) r(1 − u) > 0 ⇔ er(1−u) > 1 ⇔ ut + 1 > ut – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [12] Model dyskretny z opóźnieniem - linearyzacja Skorzystamy z dwóch metod na sprawdzenie stabilności u = 1; kryterium różniczkowego i linearyzacji. Zapisujemy ut = 1 + vt, vt ≪ 1 i otrzymujemy 1 + vt+1 = 1 + vt exp[r(−vt−1] ≈ (1 + vt)(1 − rvt−1) ≈ 1 + vt − vt−1 Sta̧d mamy vt+1 −vt +rvt−1 = 0 o równaniu charakterystycznym postaci λ2 − λ + r = 0 Mamy ∆ = 1 − 4r √i vt = Aλt1 + Bλt2. Dla r ≤ 14 pierwiastki sa̧ rzeczywiste; λ1, λ2 = [1± 21−4r] < 1. Jeśli r > 41 , to λ1 , λ2 ∈ C – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [13] Model dyskretny z opóźnieniem - linearyzacja √ Niech ρ = r, θ = tan−1(4r − 1)1/2. Wówczas λ1, λ2 = ρe±iθ . Dodatkowo λ1λ2 =| λ1 |2= ρ2 = r, wiec ֒ dla r < 1 mamy | λ1 λ2 |< 1. vt = Aλt1 + Bλt2 = Aλt1 + Bλ∗t 1 Ponieważ vt ∈ R, wiȩc B = A∗, ska̧d otrzymujemy vt = 2 | A | ρt cos(tθ + γ) −1 √ gdzie γ = arg A. Przy r → 1 θ → tan ( 3) = Π/3. Gdy r > 1, vt rośnie z t. Po cos(tΠ/3 + γ) o okresie 6 oczekujemy 6-cyklowej okresowości. Czy przy dużym r pojawi siȩ chaos? – Typeset by FoilTEX – LATEX Dyskretne modele populacji [14] Model dyskretny z opóźnieniem - kryterium różniczkowe Szukamy pochodnej f (u) = uer(1−u) f ′(u) = er(1−u) + uer(1−u)(−r) = er(1−u)(1 − ur) Mamy wiȩc • u=0 • u=1 | f ′(0) |= er (1 − 0) = er > 1 | f ′(1) |= e0(1 − r) = 1 − r Wykazuje stabilność dla r ∈ (0, 2) - różny wynik od poprzednich obliczeń! – Typeset by FoilTEX – LATEX